- •1.Частные производные, дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных.
- •3. Дифференциал функции нескольких переменных.
- •4Дифференцирование сложных функций нескольких переменных.
- •5 Производная по направлению, градиент(grad)
- •6. Экстремум функции нескольких переменных (необходимое условие).
- •7. Условный экстремум функции нескольких переменных, функция Лагранжа.
- •8.Первообразная функция, Неопределенный интеграл и его св-ва.
- •15.Интегрирование иррациональных выражений
- •16.Определенный интеграл.
- •17. Св-ва опред.Интегралов.Интегральная теорема о среднем.
- •18.Формула Ньютона-Лейбница.
- •24,25, 26.Вычисление дуг линий.
- •27.Вычисление объемов тел вращения.
- •28. Несобственные интегралы первого рода.
- •31, 32 Двойные интегралы
- •33.Тройной интеграл . Вычисление тройного интеграла в дикартовых координатах.
- •34 Замена переменных в тройном интеграле.
- •35 Тройной интеграл цилиндрических поверхностях
- •36 Тройной интреграл в сферических координатах
- •37 Кри-1
- •38 Ориентированая кривая. Задачи привод к кри-2
- •39 С-ва кри-2. Вычисление кри-2. Связь между кри-1 и кри-2
- •40. Формула Грина
- •44 Ориентированная поверхность. Задачи приводящие к пи-2
- •46 Векторное поле. Поток вектора через поверхность
- •47 Формула Остроградского-Гаусса
- •48 Дивергенция векторного поля
- •50. 52. Циркуляция векторного поля. Ротор(вихрь)
- •51 Формула Стокса
- •53 Потенциальное поле. Условие потенциальности, свойства.
- •53. Векторные диф операции 1 и 2 порядка. Оператор Гамильтона
7. Условный экстремум функции нескольких переменных, функция Лагранжа.
Если необходимо найти минимум или максимум функции , на переменные которых налагаются дополнительные ограничения:–уравн. связи. То говорят, что решают задачу нахождения условного экстремума.
Решим задачу нахождения условного экстремума для функции ; переменные которого связаны уравнением связи:.Функцией Лагранжа для этой задачи будем называть функцию:
Условный экстремум для функции при выполнении условий связибудет тогда, когда существуют числачто точкабудет точкой локального экстремума для функции ЛагранжаВерно и наоборот.
8.Первообразная функция, Неопределенный интеграл и его св-ва.
Функция y=F(x) наз.первообразной для функции y=f(x) на промежутке,еслиF’(x)=f(x) для любого х
Теорема:функция y=F1(x),y=F2(x)будут первообразными для функции y=f(x) на промежутке тогда и только тогда,когдаF1(x)-F2(x)=C(с доказат.)
Неопределенным интегралом для функции f(x) будем наз.совокупность всех первообразных для данной функции и будем обозначать =F(x)+C
Св-ва неопред. интегралов:
1.-др.вид формулы
2.d(
3. (есть доказ.)
4.(есть доказ.)
5.,
10.Интегрирование по частям в неопред.интеграле.
Пусть u(x),v(x)-непрерывно диффер.и существует интеграл ,тогда существует интеграл
Замечание: это многочленn-ой степени
1)
U
dv
2)*
U dv
11.Замена переменных в неопред.интеграле
Пусть функция y=f(x) интегрируема на промежутке ,а функцияx=-непрерывна дифференцируема на промежутке, тогдаf(-интегрир.на промеж.и
или
или
.
Формула(3)наз.-формулой интегрирования с помощью поднесения под дифференц.
!
При поднесении под диффер.можно использовать равенства:
dx=d(x+C) и dx=1/C*d(Cx)
Иногда правая часть в формуле (3)вычисл.сложнее чем левая,тогда ее переписывают в виде:=
12 Интегрирование элементарных рациональных дробей.
Функция R(x)=/(частное двух многочленов),наз.рацион.функцией,при этом еслиn<m,дробь наз.правильной,если n>=m,дробь наз.неправильной,а функции ; ;;- наз.элементарными рациональными дробями.
Проинтегрируем элемент.дроби:
1)
2)
3) (
4))
Перв. интеграл вычисл. поднесением под диффер.,во втором интеграле получают регурентное соот. выраж. интеграл n-ой степени от интеграла n-1 степени.
13.Интегрирование рациональных функций.
Функция вида R(u1,u2,...,)=, где P и Q-рациональные функции(многочлены переменных ) называется рациональной
Пункт1. Интегралы вида , ,...,)dx сделаем подстановку,где s-общий знаменатель дробей ,,
Найдем x и dx
ax+b=
x(a-c)=d-b
x=
dx=
После подстановки в интеграл все корни пропадают
14.Интегрирование тригонометрических выражений.
Пункт1.
Интегралы вида -рацион.функция.В этом случае подставляемtg-универсальная тригон.подстановка.
вида -универс.тригон.подстановка.
Пункт2.
Интегр. вида ,гдеm,n-целые числа и хотя бы одно из них нечетное.В этом случае берут сомножитель в первой степени от неч.степени и подносят его под диффер.
Пункт3.
Интегр.вида ,m,n-положительные и обе степени четные. В этом случае понижают степень.
Пункт4.
Интегр.вида ,m,n,m+n=-2k-четное отрицательное.В этом случае делаю замену tgx=t
Пункт5.
Интегр.вида ,tgx=t ctgx=t
Замечание: если y=f(x)-непрерывна,то первообразная для нее всегда сущ. ,но не для всякой непрерывной функции.Эту первообразную можно выразить через элементарные функции,,