K_abit_matematika_Rus_2013_0214e
.pdf
Задача 25 |
1 балл |
|
Если L и M - несовпадающие параллельные плоскости, а плоскость |
N пересекает |
|
плоскости L и M по прямым a и b , соответственно, то |
|
|
а) |
a и b параллельные прямые |
|
б) |
a и b скрещивающиеся прямые |
|
в) |
прямые a и b пересекаются в точке, лежащей на плоскости M |
|
г) |
прямые a и b пересекаются в точке, лежащей на плоскости N |
|
Задача 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 балл |
Чему равен log |
a |
, если log |
a 2 и log |
b 3 |
? |
|
|
|
|
b |
|
|
|
||||||
10 |
10 |
10 |
|
|
|
|
|
|
|
а) 2 |
|
б) 3 |
|
в) |
|
2 |
г) log |
2 |
|
|
|
3 |
3 |
|
|||||
|
|
|
|
|
10 |
|
|||
Задача 27 |
1 балл |
Площадь правильного шестиугольника ABCDEF равна 6. Чему равна площадь треугольника ACE ?
|
|
6 |
|
3 1 |
3 |
3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) 3 |
б) |
|
|
|
в) |
2 |
|
|
г) 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
21
Задача 28 |
1 балл |
Члены последовательности натуральных чисел a1, a2 , , an удовлетворяют соотношению ak 1 2ak 1 при k 1. Найти второй член этой последовательности, если известно, что последовательность содержит только одно четное число, равное 12-ти.
а) 11 |
б) 12 |
в) 25 |
г) 51 |
Задача 29 |
|
|
1 балл |
Найти наименьшее |
значение функции |
f (x) 1 sin x cos x 2 , |
определенной на мно- |
жестве действительных чисел. |
|
|
|
а) 1 |
б) 0 |
в) 3 |
г) 1 |
Задача 30 |
1 балл |
Перпендикуляр OC опущенный из центра основания конуса на образующую делит образующую пополам. Найти площадь боковой поверхности этого конуса, если длина отрезка OC равна 3 см.K
а) 18 2 см2 |
б) 9 3 см2 |
в) 24 2 см2 |
г) 24 3 см2 |
Задача 31 |
2 балла |
Гиа имеет 28 монет достоинством в 2 и 5 тетри суммарной стоимостью 89 тетри. Сколько монет достоинством в 2 тетри имеет Гиа?
22
Задача 32 |
2 балла |
Решить квадратное неравенство
x2 11x 4 0 .
Задача 33 |
2 балла |
Вершины прямоугольника лежат на окружности радиуса 6 см. Одна из сторон прямоугольника равна радиусу этой окружности. Найти другую сторону прямоугольника.
Задача 34 |
2 балла |
Найти значения параметров k и b в уравнении |
y kx b , если известно, что прямая, |
определенная этим уравнением, пересекает оси прямоугольной системы координат Oxy в
точках (5; 0) и (0; 3) .
Задача 35 |
|
|
|
|
3 балла |
Правильный |
шестиугольник |
ABCDEF |
и |
квадрат |
|
DGHE имеют |
общую сторону |
DE |
(см. |
рисунок). Найти |
|
площадь этого шестиугольника, если |
PQ 2 , где |
P - центр |
|||
правильного шестиугольника, а Q - центр квадрата.
Задача 36 |
3 балла |
Медиана трех числовых данных на 5 больше наименьшего из данных и на 9 меньше наибольшего из данных. На сколько средняя этих данных больше их медианы?
23
Задача 37 |
3 балла |
Решить уравнение |
log2 (x 6) log2 (x 10) 4 . |
|
Задача 38 |
4 балла |
На рисунке изображена развертка правильной треугольной пирамиды на плоскости. Найти высоту этой пирамиды, опущенную на основание BMK, если BC 4 , а
CAB 90 .
Задача 39 |
4 балла |
Велосипедист каждую минуту отстает от мотоциклиста на 500 метров, поэтому на прохождение 52 км ему требуется на 2 часа и 42 минуты больше, чем мотоциклисту. Найти скорости велосипедиста и мотоциклиста, если они двигались с постоянными скоростями.
Задача 40 |
4 балла |
Для каждого значения параметра a из интервала 5 a 2 рассмотрим в прямоугольной системе координат Oxy фигуру, определенную множеством решений системы неравенств
5 a 2 y 0 |
||
|
|
|
|
|
a 2 . |
x |
||
|
|
2 |
Найти наибольшую площадь, которую может иметь эта фигура, и установить значение параметра a , при котором достигается эта наибольшая площадь.
24
Схемы оценки заданий I варианта
Задача 31 |
2 балла |
Гиа имеет 28 монет достоинством в 2 и 5 тетри суммарной стоимостью 89 тетри. Сколько монет достоинством в 2 тетри имеет Гиа?
Решение
Обозначим через x количество монет достоинством в 2 тетри, тогда количество монет достоинством в 5 тетри будет 28 x. Суммарная стоимость монет достоинством в 2 тетри равна 2x , а суммарная стоимость монет достоинством в 5 тетри равна 5(28 x) .
По условию задачи 2x 5(28 x) 89 3x 51 x 17 .
Ответ: 17.
Задача 32 |
2 балла |
Решить квадратное неравенство
x2 11x 4 0 .
Решение
x2 11x 4 0
D 121 4 4 105
x 11 105 2
Поэтому множеством решений квадратного неравенства x2 11x 4 0 будет интервал
|
11 |
105 |
|
11 |
105 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
11 |
105 |
, |
11 |
105 |
|
Ответ: |
|
|
|
|
. |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
25
Задача 33 |
2 балла |
Вершины прямоугольника лежат на окружности радиуса 6 см. Одна из сторон прямоугольника равна радиусу этой окружности. Найти другую сторону прямоугольника.
Решение 1
Центр окружности O находится в точке пересечения диаго- 
налей прямоугольника, поэтому AC 2r 12 см ( r - радиус
окружности).
Если AB r 6 , то BC |
AC2 BC2 |
6 3 см. |
Ответ: 6 3 см
Решение 2 |
|
Если AB r , то треугольник ABO равносторонний: |
AB AO BO r , поэтому |
OAB 60 и BC AB tg60 6 3 см. |
|
Ответ: 6 3 см |
|
Задача 34 2 балла
Найти значения параметров k и b в уравнении y kx b , если известно, что прямая, определенная этим уравнением, пересекает оси прямоугольной системы координат Oxy в
точках (5; 0) и (0; 3) .
Решение
По условию задачи имеем 5k b 0 и 0k+b=3. Отсюда b 3 и k 53 .
Ответ: b 3 и k 53 .
26
Задача 35 |
|
|
|
|
3 балла |
Правильный |
шестиугольник |
ABCDEF |
и |
квадрат |
|
DGHE имеют |
общую сторону |
DE |
(см. |
рисунок). Найти |
|
площадь этого шестиугольника, если |
PQ 2 , где |
P - центр |
|||
правильного шестиугольника, а Q - центр квадрата.
Решение
Длину стороны правильного шестиугольника обозначим через a . Тогда расстояние PR из центра шестиугольника
до стороны DE шестиугольника равно |
a 3 |
, а раастояние |
|||||||
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
QR из центра квадрата до стороны DE квадрата равна |
|||||||||
a 2 . Поэтому |
|
a |
3 1 |
|
|
|
|||
PQ PR QR a 3 |
a |
2 |
|
|
|||||
|
2 |
|
|||||||
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|||
a |
4 |
2 3 1 . |
|
|
|
|
|||
3 1 |
|
|
|
|
|||||
Вычислим площадь правильного шестиугольника с помощью стороны:
S 3 3 a2 6 3 1 3 |
|
2 |
12 |
|
3 2 3 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: 12 3 2 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
27
Задача 36 |
3 балла |
Медиана трех числовых данных на 5 больше наименьшего из данных и на 9 меньше наибольшего из данных. На сколько средняя этих данных больше их медианы?
Решение
Пусть x является медианой этих трех чисел, тогда наименьшее данное будет x 5 , а
наибольшее данное будет x 9 . Так как среднее равно x 5 x x 9 , то разность
3
средней и медианы будет |
x 5 x x 9 |
x |
4 . |
||
3 |
|||||
|
|
|
3 |
||
Ответ: |
4 . |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
Задача 37 |
3 балла |
Решить уравнение |
log2 (x 6) log2 (x 10) 4 . |
|
Решение
Установим множество допустимых значений данного уравнения:
x 6 0 |
x 6 . |
|
|
0 |
|
x 10 |
|
|
log |
2 |
|
|
x |
10 |
|
4 |
(x 6) |
|
x 10 |
|
16 |
x2 4x 76 |
0 . |
|
(x 6) |
|
|
|
|
|||||||||
D 4 76 80 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x1 2 4 5 , |
x2 2 4 5 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Из этих корней только x2 находится в множестве допустимых значений
Ответ: 2 4 5
28
Задача 38 4 балла
На рисунке изображена развертка правильной треугольной пирамиды на плоскости. Найти высоту этой пирамиды, опущенную на основание BMK, если BC 4 , а
CAB 90 .
Решение
Из данной развертки построим правильную треугольную пирамиду ABMK (где вершина C развертки совпадет с вершиной B ). Искомой высотой, опущенной на основание BMK , является AO (см. рисунок). Из условия следует, что на развёртке
AB BC2 2 2 , тогда
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
BK |
|
2 AB |
2 AB cos 30 16 1 |
|
2 |
|
|
8 |
|
2 |
|
3 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
BO |
2 |
|
|
2 |
BK |
|
|
|
2 |
|
1 |
BK |
2 |
|
8 |
2 |
|
|
|
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
sin 60 |
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 1 3 |
|
|
|
|
||||||||
AO |
|
AB2 BO2 8 |
8 |
2 3 |
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
AO 2 |
2 1 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: |
|
AO 2 |
2 |
1 |
3 2 |
|
6(1 |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29
Задача 39 |
4 балла |
Велосипедист каждую минуту отстает от мотоциклиста на 500 метров, поэтому на прохождение 52 км ему требуется на 2 часа и 42 минуты больше, чем мотоциклисту. Найти скорости велосипедиста и мотоциклиста, если они двигались с постоянными скоростями.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пусть скорость велосипедиста x |
км/ч = |
100x |
м/мин, а скорость мотоциклиста y |
км/ч = |
|||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 y |
|
|
м/мин. |
По условию задачи |
|
|
100 y |
100x 500 |
. Для |
прохождения |
52 км |
||||||||||||||
|
6 |
|
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
52 |
|
|
|
|
|
|||
велосипедисту |
потребовалось |
|
ч., |
а |
мотоциклисту |
|
ч. |
|
Поэтому, |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
52 |
52 2 |
42 2, 7 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
y |
60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решим систему уравнений |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
y |
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
6 |
|
6 |
|
|
y x 30 |
|
y |
x 30 |
|
|
40 |
|
|
130 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
x1 |
|
, y1 |
|
и |
|
|||||||||||||||
|
52 |
52 |
|
|
|
|
|
|
270x 5200 0 |
3 |
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
52( y x) 2, 7xy |
9x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2, 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1303 , y2 403 .
Условию задачи удовлетворяет только решение x1 403 , y1 1303 . Ответ: 403 км/ч, 1303 км/ч.
30