Общая задача линейного программирования.

Каноническая (основная) форма	Стандартная (симметрическая) форма	Общая форма
1) ограничения
Уравнения	Неравенства	Уравнения неравенства
2) условия неотрицательности
Все переменные	Все переменные	Часть переменных
3) цель задачи ()
max или min F(x)	(max F(x)) (min F(x))	max или min F(x)

 

Определение: Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется вектор , удовлетворяющий условиям 1) и 2)

   (*)

Определение: План называетсяопорным, если векторы , входящие в разложение (*) с положительными коэффициентами, являются линейно независимыми.

Определение: Опорный план называется невырожденным, если он содержит m – положительных компонентов, в противном случае опорный план называется вырожденным.

Определение: Оптимальным планом (решением) задачи линейного программирования называется план, доставляющий линейной форме наибольшее или наименьшее значение.

В большинстве задач ограничения задаются не в виде системы уравнений, а в виде системы линейных неравенств, либо система ограничений смешанная, однако любую систему ограничений можно привести к системе уравнений. Для этого достаточно к левой части каждого неравенства прибавить (для ) или отнять (для) какое-то неотрицательное число (добавочную переменную) с тем, чтобы каждое неравенство обратилось в уравнение, в результате получим эквивалентные системы уравнений и неравенств.

Основные теоремы линейного программирования

 

Теорема 1: Множество всех допустимых решений системы ограничений задачи линейного программирования,   является выпуклым.

Теорема 2: Если существует, и при том единственное,  оптимальное решение задачи линейного программирования, то оно совпадает с одной из угловых точек множества допустимых решений. Если линейная форма принимает минимальное (максимальное) значение более чем в одной угловой точке, то она достигает того же значения в любой точке, являющейся выпуклой линейной комбинацией этих точек.

Из теоремы 2 следует, что поиски оптимального решения можно ограничить перебором конечного числа угловых точек (их  число меньше , гдеn -  число неизвестных , а m – число ограничений), однако построение возможно только для двух и трёхмерных пространств, поэтому нужны аналитические методы, позволяющие находить координаты угловых точек.

 Теорема 3: Если известно, что система векторов  в разложении линейно независима и такова, что, где, то точкаявляется угловой точкой многогранника решений.

Теорема 4: Если - угловая точка многогранника решений, то векторыв разложении, соответствующие положительным, являются линейно независимыми.

Следствие 1: Так как векторы имеют размерностьm, то угловая точка многогранника решений имеет не более m  положительных компонент .

Следствие 2: Каждой угловой точке многогранника решений соответствует  линейно независимых векторов системы векторов.

 

Симплексный метод решения задачи линейного программирования.

 

Доказано, что оптимальное решение задачи линейного программирования связано с угловыми точками многоугольника решений, то есть с опорными планами. Они определяются системой m - линейно независимых векторов, содержащихся в системе из n - векторов. Количество опорных планов меньше, гдеn - число неизвестных, а m – число ограничений. При больших n и m найти все их перебором очень трудно, поэтому необходимо упорядоченный  перебор, такой схемой является симплексный метод, который позволяет исходя из известного опорного плана задачи, за конечное число шагов получить её оптимальный план. Каждый из шагов (итераций) состоит в нахождении нового плана, которому соответствует меньшее для задачи на минимум (большее для задачи на максимум) значение линейной формы, чем её значение в предыдущем плане. Процесс продолжается до получения оптимального плана. Если задача не обладает планами или её линейная форма неограниченна на многограннике решений, то симплексный метод позволяет установить это в процессе решения.