- •Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- •§1. Метрические пространства. Пространство
- •§2. Понятие функции нескольких переменных
- •§3. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •2. Повторные пределы
- •3. Непрерывность функции n переменных
- •§4. Частные производные и дифференцируемость функции нескольких переменных
- •2. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных
- •§6. Производная по направлению. Градиент
- •1. Производная по направлению
- •2. Градиент
- •§7. Производные и дифференциалы высших порядков
- •1. Частные производные высших порядков
- •2. Дифференциалы высших порядков
- •3. Формула Тейлора для функции двух переменных
- •§8. Неявные функции
- •1. Неявные функции одной переменной
- •2. Уравнения касательной и нормали к кривой
- •3. Неявные функции нескольких переменных
- •4. Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности
- •§ 9. Экстремум функции нескольких переменных
- •1. Понятие экстремума, необходимое и достаточное условия
- •2. Экстремум неявно заданной функции
- •3. Нахождение наибольших и наименьших значений
2. Дифференциалы высших порядков
Пусть z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена на области G и имеет на этой области непрерывные частные производные. Тогда она дифференцируема, и ее дифференциал равен
, где dx=Δx, dy=Δy.
Следовательно, dz – функция четырех переменных: х, у, dx, dy. Зафиксируем dx и dy. Тогда dz=φ(x;y). Если функция f на G имеет непрерывные частные производные второго порядка, то функция dz=φ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она дифференцируема на G и имеет дифференциал.
Определение. Дифференциалом второго порядка d2z функции z=f(x;y) называется дифференциал от ее дифференциала первого порядка dz:
d2z=d(dz).
.
Т.к. , то
. (6)
Символическая запись второго дифференциала: .
Если функция f на G имеет непрерывные частные производные третьего порядка, то функция d2z=ψ(x;y) на этой области имеет непрерывные частные производные, следовательно, она имеет дифференциал. Дифференциал от этой функции называется дифференциалом третьего порядка функции z=f(x;y) и обозначается d3z. Таким образом,
.
Символическая запись: .
Если функция f на G имеет непрерывные частные производные n-го порядка, то на G существует дифференциал n-го порядка, и он определяется с. о.: dnz=d(dn-1z).
.
Форма (6) записи дифференциала второго порядка неинвариантна, т. е не пригодна в случае, когда x и y являются функциями. Дифференциалы высших порядков также не обладают свойством инвариантности формы.
3. Формула Тейлора для функции двух переменных
Пусть функция F(t) в некоторой окрестности V(t0) имеет производные до (n+1)-го порядка включительно. Тогда справедлива формула Тейлора:
. (7)
Обозначим t-t0=Δt, F(t)-F(t0)=ΔF(t0),
F'(t0)(t-t0)=F'(t0)Δt=dF(t0),
F''(t0)(t-t0)2=F''(t0)(Δt)2=d2F(t0) и т.д.
Тогда (7) можно записать в виде
, где 0<θ<1. (8)
В виде (8) формула Тейлора распространяется и на случай функций нескольких переменных.
Теорема. Пусть функция z=f(x;y), где х, у – независимые переменные, определена и имеет непрерывные частные производные до (n+1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки М(х0;y0) Vδ(х0;y0). Тогда Δх, Δу, удовлетворяющих условию , имеет место формула Тейлора:
, где 0<θ<1.
(без доказательства)
Формула Тейлора имеет большое значение при вычислении приращений и значений функции с большой степенью точности.
§8. Неявные функции
1. Неявные функции одной переменной
Пусть дано уравнение F(x;y)=0, (1),
где F(x;y) определена на . Пусть, например,G=[a,b;c,d] - прямоугольник. Пусть х[a;b] существует единственное значение y, которое совместно с x удовлетворяет уравнению (1). В этом случае на [a;b] определена однозначная функция y=f(x), для которой равенство F(x;f(x))=0 верно х[a;b].
Определение. Функция y=f(x), определяемая уравнением (1), называется неявной функцией.
Если уравнение (1) разрешить относительноy, то получим явную функцию y=f(x) (функция справа известна), что далеко не всегда можно сделать. Т.о., термины «явная», «неявная» относятся к способу задания функции.
Примеры.
1) x-6y+12=0, где ,
F(x;y)=x-6y+12. Разрешим уравнение относительно х: - однозначная функция отх.
2)
F(x;y)=.Данное уравнение представляет двузначную функцию .
Если уравнение рассматривать на , то оно определяет однозначную функцию.
3) не определяет функцииy=f(x).
Из примеров видно, что уравнение F(x;y)=0 не всегда определяет функцию y=f(x) (кроме того, далеко не всегда уравнение (1) можно разрешить относительно y). Поэтому необходимо знать условия существования неявной функции.
Теорема 1. (достаточные условия существования и дифференцируемости неявной функции). Пусть дано уравнение F(x;y)=0 (1), и выполнены условия:
1) функция F(x;y) и ее частные производные определены и непрерывны в некотором прямоугольнике [x0-a, x0+a; y0-b, y0+b];
2) ;
3) .
Тогда справедливы следующие утверждения:
а) в некотором прямоугольнике (x0-, x0+; y0-, y0+) уравнение (1) определяет неявную функцию y=f(x);
б) f(x0)=y0;
в) функция y=f(x) непрерывна в промежутке [x0-; x0+];
г) функция y=f(x) в промежутке [x0-; x0+] имеет непрерывную производную, причем . (2)
(без доказательства)
Замечание 1. Формулу (2) можно получить следующим образом. Продифференцируем равенство F(x;f(x))0 по x (F – сложная функция от x):
,
(2)
Замечание 2. В уравнении (1) F(x;y)=0 переменные x и y равноправны. Следовательно, можно ставить вопрос о существовании функции . В этом случае в теореме (1) надо изменить условие 3) – требовать, чтобы. Но если одновременно, то нельзя утверждать, что уравнение (1) определяет какую-либо неявную функцию.
Пример 1. Вычислить производные первого и второго порядка функции, заданной неявно уравнением (x>0).
.
1 способ вычисления - по формуле (9).
.
2 способ вычисления . Продифференцируем данное уравнение, учитывая, что оно определяет функциюу=у(х).
(*) ,.
Найдем , учитывая, чтоу=у(х), а х – независимая переменная:
.
Далее надо преобразовать и подставить .
Второй способ вычисления - продифференцировать равенство (*).