9

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Принцип и правила проективных измерений размеров объекта

Реальный наблюдаемый размер объекта определяется не длиной одной прямой линии, а определяется поверхностью, характеризующейся площадью

(рис.5): U D H , где Н,D – высота и длина наблюдаемого объекта.

Представим объект наблюдения в виде прямоугольника, имеющего пло-

скостную поверхность U лежащую в плоскости измерений. Расположим по оси ординат Y измеритель, имеющий длину d и диаметр d, центр которого

совмещен с точкой 0. Выполним три измерения, показанные на рис.5:

- когда центр измерителя отделен от объекта только половиной диаметра

(С) МАИ, 1999 - 2009

10

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Соединив границы наблюдаемых отображений и границы объекта с точ-

кой 0 прямыми, получаем пространственные пирамиды, имеющие три парал-

лельных основания, связанные боковыми поверхностями SD и SН (SD1 , SН1 ,

SD2 , SН2 – показаны не все), являющимися одновременно ортогональными плоскостями наблюдений. Каждая из наблюдаемых сторон основания (D, Н)

лежит одновременно и в соответствующих плоскостях наблюдения и измере-

ний.

Всоответствии с основным правилом проективной геометрии Евклида

[1]на плоскости наблюдаемые размеры (D, Н) в отображениях изменяются обратно пропорционально увеличению отстояния L:

S1 S2 const

Уравнение (2.2) характеризует боковую поверхность пирамиды, ох-

ватывающей наблюдаемый объект, и которая является постоянной ве-

личиной. Уравнение (2.2) назовем правилом точки в пространстве, оно отражает принцип проективных построений наблюдаемых размеров объекта в пространстве.

Определим поверхность наблюдаемого объекта на различных отстояни-

ях:

U2L22 S2D S2H 2 .

В плоскостях измерений каждая наблюдаемая поверхность объекта U1 и

U2 является произведением соответствующих сторон и связана следующей зависимостью от отстояния:

(С) МАИ, 1999 - 2009

11

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

где L1 – отстояние объекта от ближнего (1) измерителя по оси Y;

Y – расстояние между измерителями по оси Y;

U1 и U2 – наблюдаемая площадь поверхности объекта на различных от-

стояниях;

k – закономерность пространственного изменения поверхности объекта.

Уравнение (2.4), устанавливающее связь между площадными пара-

метрами поверхностей U и S, отображаемыми в плоскостях измерений и наблюдений, и их отстоянием от измерителя L, назовем правилом по-

верхностей.

Так как измеритель имеет конечные размеры (d, d), поэтому правило

точки для секторной площади точно выполняется только при условии учета этих размеров. Для исключения влияния размера измерителя на результаты вычислений в одной плоскости необходимо вычесть его размер из размеров отображений, спроектировав его на размеры отображений, как показано на рис. 6 для двух измерителей конечных размеров, разнесенных на известную

базу Y.

Учитывая приведенные построения, когда размеры датчиков равны

d1=d2, получим, в соответствии с уравнением точки, следующие аналитиче-

ские связи построенных треугольников:

где ∆Y – размер базы совместного измерителя, состоящего из 2-х частей.

(С) МАИ, 1999 - 2009

12

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Аналогичное выражение получаем и для вертикальной плоскости на-

блюдения, тогда:

где h1=h2 – размер высоты измерителя

Таким образом, количественная оценка пространственного отображения объекта представляется через поверхность пирамиды, в основании которой лежит площадь его наблюдаемой поверхности, а поверхность ее боковых сторон зависит от реальных размеров пары измерителей (d1, h1 и ∆Y). А так как любой измеритель имеет конкретные размеры, то и при использовании только одного датчика, площадь отображения зависят от его размеров d1, h1 и

∆d.

Правило измерения полей объекта

Стационарные поля, излучаемые объектом, окружают его. Эквипотен-

циали поля охватывают пространство конгруэнтными замкнутыми линиями,

переходящими на больших расстояниях в окружности, центр которых нахо-

дится в «центре» объекта. При этом в плоскости наблюдений рядом с объек-

(С) МАИ, 1999 - 2009

13

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

том вытянутость эквипотенциалей (отношение ортогональных размеров) оп-

ределяет направленность поля и его вектора. Выбор вида источника физиче-

ского поля не принципиален. Поэтому рассмотрим в плоскости наблюдений поле, излучаемое прямоугольным объектом, имеющим ширину D и длину В,

показанное на рис.7. Измерения пространственного распределения поля вы-

полнено на галсе, проходящем параллельно стороне D источника, измери-

тельной системой, состоящей из двух измерителей, разнесенных на базе Y.

Свяжем источник поля с ортогональной системой координат Декарта

XYZ. Используем одновременно и проективную систему координат Евклида

ГYΩ, связанную с измерительной системой, датчики которой перемещается на различных отстояниях от источника поля по параллельным осям Г1, Г2.

(С) МАИ, 1999 - 2009

14

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

При этом оси Y двух систем координат совпадают, а оси Z и Ω1, Ω2 – парал-

лельны.

На рис.7 показаны штриховой линией изолинии поля, сплошной красной линией – секущие хорды D1, D2, заключенные между равными значениями потенциала, а синей линией – характер изменения наблюдаемого сигнала А,

А1, А2. Соединим хорды D1, D2 прямыми с центром источника поля в резуль-

тате выделится сектор излучений источника, размеры которого определяются его формой и размерами B и D.

Перпендикуляр к хорде, связывающий их центры с центром источника,

обозначим через R, тогда, учитывая, что размеры источника являются неиз-

менными, можно написать:

R B/2 ; D B const, тогда и D R const . (3.1)

Площади, заключенные между линиями сигналов и хордой характери-

зуют потенциал измеряемого поля U, U1, U2. Площади треугольников, лежа-

щие в горизонтальной плоскости между центром источника и соответствую-

щей хордой, обозначены S, S1, S2 и являются боковыми поверхностями пира-

мид.

Учитывая функциональную связь между площадными параметрами сиг-

нала U, U1, U2. в плоскостях измерений Г101Ω1 , Г202Ω2 системы координат

ГYΩ, для оценок потенциалов наблюдаемых сигналов можно написать сле-

дующую зависимость:

Для соответствующих площадных параметров сигнала S, S1, S2, которые являются площадями подобных треугольников, расположенных одновремен-

но в плоскостях наблюдений Г101Y1 , Г202Y2 системы координат ГYΩ, можно написать следующие зависимости:

(С) МАИ, 1999 - 2009

15

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Особенностью выражения (3.2) является наличие только одного условия

- пропорционально или соответствует, а выражение (3.3) - соответствует двум условиям: равенства и соответствует.

При отображении результатов измерений поля протяженность его сиг-

налов при удалении измерителя поля от источника увеличивается пропор-

ционально R или в системе координат ГYΩ - отстоянию L1=R1-R. Тогда из выражения (3.3б) следуют равенства:

Хорды D, D1, D2, соединяющие точки с равными значениями параметра поля, в секторе на различных отстояниях образуют подобные треугольники.

Их размеры возрастают пропорционально величине их отстояния от центра источника, то есть:

уменьшается пропорционально кубу отстояния измерителя от источника по-

ля L, то есть:

Из выражения (3.7) видно, что потенциал U в системе координат ГYΩ,

связанной с измерителем, подчиняется правилу поверхностей, но на него ли-

нейно влияет ширина источника В относительной величиной от отстояния

В/L. Амплитуда отображаемого поля компенсирует увеличение размеров отображаемой протяженности поля, сохраняя пространственное изменение

(С) МАИ, 1999 - 2009

поверхности наблюдаемого сигнала в неизменной зависимости от отстояния,

Таким образом, правило измерений размеров объекта и его полей в

проективной системе координат Евклида едино.

Измерение линейных размеров объекта выполняется с помощью дина-

мического электромагнитного поля в световом диапазоне, а измерение ста-

ционарных полей объекта выполняется с помощью статических полей. Сле-

довательно, аналитическое описание параметров отображений полей объекта в проективной системе координат Евклида не зависит от динамического или стационарного характера поля.

Рассмотрим параметры, отображаемые на измерительной оси Ω, когда плоскость наблюдений вертикальна, показанные на рис.13. В результате из-

мерений в каждой точке на оси Ω в амплитуде сигнала A одновременно ото-

бражаются: параметр измеряемого физического поля, например магнитного

F , и вертикальный размер источника H.

Рисунок 13 построен из рисунка 12, из которого удалены все отображе-

ния в горизонтальной плоскости. Физическое поле проектируется, затухая по кубическому закону, а высота объекта, уменьшается по линейному закону.

При этом они проектируется на датчики, вертикальные размеры которых одинаковы и обозначены dZ .

Тогда, полагая, что размер объекта проектируется на вертикальный раз-

мер датчика dZ=h2 и, используя линейный закон его пространственного пре-

образования, выполним оценку относительного вклада высоты источника в суммарный сигнал А.

(С) МАИ, 1999 - 2009

17

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Выполним аналогичные оценки относительных изменений амплитуды сигнала:

Обозначим k3 L1L2 3 , тогда получим:

в соответствии с полученными значениями коэффициентов, получим оценку высоты объекта Н и амплитуду его измеряемого параметра F.

Эти действия аналогичны приведению в измеренном сигнале масштабов отображения высоты и параметра физического поля, которые могут сущест-

венно различаться, к одному значению. Геометрически для этого необходимо

(С) МАИ, 1999 - 2009

18

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

вертикальный размер, полученного сигнала, обеспечить равным размеру его горизонтальной протяженности (его периода) [10].

Амплитуда измеряемого параметра F характеризует физическую посто-

янную для данного объекта величину, например магнитный момент М, кото-

рый «заключен» в секторе излучения магнита (рис.12), связанного с его раз-

мерами B,D,H. Отсюда следует, что энергия магнитного момента М, излу-

чаемая сектором из центра магнита, распределяется по боковой поверхности пирамиды S, площадь которой не зависит от отстояния, на вершине которого производят измерение магнитного поля.

Таким образом, используя в проективной системе координат Евклида ре-

зультаты оценки потенциалов, наблюдаемых сигналов, измеренных датчика-

ми на известной базе, геометрически решить обратную задачу физики и оп-

ределить: отстояние источника поля от ближнего датчика L1 и основные раз-

меры источника D,H,B.

По полученным оценкам размеров объекта D,H,B/2 и амплитуде изме-

ряемого параметра F выполним определение магнитной плотности (воспри-

имчивости) материала, из которого сделан объект, полагая ее постоянной для объекта:

Полученные результаты свидетельствуют о том, что измеряемые сигна-

лы физических полей объектов несут информацию об их основных свойст-

вах, что и подтверждается геологическими и биологическими наблюдениями.

Параметры S и U, как площадные, отражают энергетические параметры объекта наблюдения. Параметр S является постоянной величиной для данно-

го объекта. Изменение параметра U связано с изменением положения объекта относительно измерителя или изменением отстояния L. То есть изменение параметра U характеризует в физике изменение потенциальной энергии объ-

екта, которую он проявляет относительно измерителя (другого объекта), ко-

торая выражается гиперболической зависимостью от отстояния в квадрате.

(С) МАИ, 1999 - 2009