- •Интегральное исчисление функций одной переменной
- •§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
- •1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
- •2.Свойства неопределенного интеграла
- •§2. Основные методы интегрирования
- •1. Замена переменной интегрирования и подстановка
- •2. Интегрирование по частям
- •§3. Интегрирование дробно-рациональных функций
- •1. Основные понятия
- •2. Интегрирование простейших рациональных дробей
- •3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие
- •§4. Интегрирование тригонометрических выражений
- •§5. Интегрирование простейших иррациональностей
- •§6. Определённый интеграл
- •1. Понятие определённого интеграла
- •2.Формула Ньютона-Лейбница.
- •3. Свойства определенного интеграла.
- •§7. Вычисление площадей плоских фигур
Интегральное исчисление функций одной переменной
§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл
1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
Для дифференцирования существует обратное действие – интегрирование: отыскание функции по заданной её производной.
Определение 1. Функция F(х) называется первообразной функцией для функции f(x) на данном промежутке, если она дифференцируема на этом промежутке и F(х)=f(x).
Пример: Функция F(х) = х3 является первообразной функции f(x) =3х2 на всей числовой оси, т.к. при любом х (х3) =3х2 . Отметим при этом, что вместе с функцией F(х)=х3 первообразной для f(x)=3х2 является любая функция Ф(х)=х3+C, где С – произвольная константа.
Теорема 1. Если F1(х) и F2(х) - две первообразные функции для функции f(x) в некотором промежутке, то разность между ними в этом промежутке равна постоянному числу.
Доказательство.
Пусть, например, указанный промежуток – интервал (а; b). Из определения первообразной функции имеем: F1(х)= f(x) , F 2 (х) = f(x) для х из (а; b). Пусть α(x) = F2(х) - F1(х), тогда для любого х из (а; b)
α (x)=F 2 (х) - F1(х)=f(x) - f(x)=0 α(x)=С.
Подчеркнем важный факт: если производная для функции одна, т.е. операция дифференцирования однозначна, то нахождение первообразной для функции возможно лишь с точностью до некоего постоянного слагаемого.
Определение 2. Выражение F(х) + С, где F(х) – первообразная функции f(x) и С – произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом , причем f(x) называется подынтегральной функцией, f(x)dх – подынтегральным выражением, х – переменной интегрирования, знак - знаком интеграла. Таким образом, по определению, = F(х) +С, если F(х) = f(x).
Теорема 2. Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то на этом отрезке у функции f(x) существует первообразная.
2.Свойства неопределенного интеграла
Из определения неопределенного интеграла непосредственно следует его свойства
1. =f(x)
Доказательство.
= F(х) +С. Продифференцируем левую и правую части равенства по переменной х.
=(F(х) +С) ; = F(х); = f(x).
2. = F(х) +С
3. =
4. = +
Основная таблица интегралов
1. = +С; α -1
2. = ln |x| +C
3. =
4. = ex +C , = +C
5. ,
6. ,
7. = tg x + C , = tg αx + C
8. = - ctg x + C, = · ctg αx + C
9. = arctg x + C
10. = arcsin x + C
11. = ln + C
12. = ln +С
13. = arctg +C
14. =arcsin +C
15. = ln + C
§2. Основные методы интегрирования
1. Замена переменной интегрирования и подстановка
Этот способ часто бывает полезным в тех случаях, когда интеграл не может быть непосредственно преобразован к виду табличного. Сделаем подстановку: х =(t) , где (t) - функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f(x)=f((t)), dх=d(t)=(t)·dt
= (1)
Формула (1) называется формулой подстановки в неопределенном интеграле.
Пример 1. Вычислить .
Положим =t. Тогда x = t2 , = , =dt2 =(t2)·dt=2t·dt.
Получим .
Пример 2. Вычислить .
Положим ех=t , получаем е -х= , lnex=ln t, x=ln t, dx=d(ln t)=(ln t)dt= и
= = arctg t + C = arctg ех + C
Иногда вместо подстановки х=(t) лучше выбрать замену переменной вида (х)=t. Формула замены переменной имеет вид:
, (2)
где (х)dx=dt.
Применяя формулу замены переменной удобно пользоваться таблицей дифференциалов и следующим фактом:
=
Примеры.
1) = = =
2) = =
3) = =