2

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Введение

Известно [2], что использование системы координат связано с необхо-

димостью отображения в пространстве вектора или прямой линии, имеющей произвольное направление. В настоящее время объект, представляемый в ви-

де точки, имеет в системе координат Декарта 6 степеней свободы и для его точного описания необходимо составить систему из 6 уравнений. Прямая ли-

ния в этих же условиях имеет 3 степени свободы: две вращательных и одну поступательную или наоборот. Так, например, вектор электромагнитного по-

ля удовлетворяет этому условию и имеет два вращательных и одно поступа-

тельное движение. Однако система координат служит не только для про-

странственного отображения вектора, но и для сравнения величин его проек-

ций (эту функцию системы координат часто не учитывают). Сравнивать и измерять можно только отрезки прямых. Но сравнение любых прямых воз-

можно только при их расположении на плоскости. Ее реализация обеспечи-

вает точные геометрические построения и измерения в плоскостной геомет-

рии Евклида. Поэтому для построения точной модели пространства предпоч-

тительней использовать систему координат, у которой проекции расположе-

ны на одной плоскости. И такая система координат имеется, названа проек-

тивной системой координат Евклида и показана на рис.1 [4-11]. Рассмотрим ее основные свойства.

Система координат - основа косвенных геометрических измерений

В проективной системе координат Евклида реализуется принцип проек-

тивных построений (рис.2), допуская использование как параллельного, так и центрального проектирования. В ней пространство разбивается на две час-

ти, одна из которых отображается в плоскости измерений - экран, на котором все отображается Г0Ω, а другая не видимая наблюдателю – в плоскости

(С) МАИ, 1999 - 2009

3

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

Рис 1. Отображение в проективной системе координат Евклида прямоугольника

Рис. 2. Использование в проективной системе координат Евклида центрального и параллельного проектирования

Обозначения: XYZ – наблюдаемый объект;

(С) МАИ, 1999 - 2009

4

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

АВ – измеритель, с базой d и шириной

наблюдения Г0Y, в которой распространяются лучи, идущие от объекта к на-

блюдателю.

В проективной системе координат Евклида (рис.2) плоскость измере-

ний разбита на три части (1,2,3 – выделенные цветом). В боковых частях (1,2)

отображаются проекции, а в центральной (3) - их сумма. В каждой из частей имеется своя правая ортогональная система координат Г0Ω, Г101Ω1, Г202Ω2 ,а

общая измерительная ось Г у каждой системы имеет свое направление. То есть вправо от оси Ω по осям Г и Г1 отсчеты положительны, и измерения выполняются в 1 квадранте. Влево от оси Ω отсчеты по оси Г и Г2 отрица-

тельны и измерения выполняются в 3 квадранте.

Кроме того, проективная система координат Евклида характеризуется двумя фокусами (F и F’), но их положение является функцией отстояния объекта и измерителя и их размеров (рис.3). В геометрической оптике задачу косвенных геометрических измерений решают на основе допущения, что па-

раксиальные лучи, идущие от объекта, в линзе обладают свойствами парал-

лельных лучей, которые пересекают оптическую ось в постоянных точках,

названных фокусами. Как всякое допущение, оно привело к появлению трансформированной погрешности, вызываемой смещением фокусов. Одна-

ко смещения фокусов несут дополнительную информацию, которую можно использовать для повышения точности измерений размеров наблюдаемых объектов и их положения при использовании проективной системы коорди-

нат Евклида.

Из рассмотрения оптических измерений в плоскости наблюдения проек-

тивной системs координат Евклида (рис.3), следует:

где d – база измерителя;

(С) МАИ, 1999 - 2009

5

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

D – наблюдаемые размеры объекта;

L – отстояние объекта от базы измерителя;

f, f’ – переднее и заднее фокусные расстояния от базы измерителя.

Сравнение свойств проективной системы координат Евклида с пространст-

венной системой координат Декарта приведено в таблице 1.

(С) МАИ, 1999 - 2009

7

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

S L D - площадь пространства между измерителем и объектом; mD D/d - свертка длины объекта при проектировании;

mL L/ - свертка пространства перед объектом при проектировании.

Введем обозначения относительных размеров измерителя и пространст-

ва между объектом и измерителем:

d / - сектор обзора измерителем объекта;

D/ L- сектор обзора объектом измерителя.

Всоответствии с приведенными обозначениями запишем выражения (1.3) и

(1.4) в виде:

Масштаб отображений объекта – известный параметр, характеризующий изменение размеров объекта в плоскостном (площадном) отображении, хотя общепринято использовать для него отношение линейных размеров. А вот коэффициент секторных преобразований (k), характеризующий произведе-

ние разрешающей способности и чувствительности преобразования – не из-

вестен. Он отражает отношение секторов взаимного обзора объекта и изме-

рителя. Этот параметр необходимо учитывать при определении размеров объектов, находящихся на различных расстояниях от измерителя.

Таким образом, коэффициент секторного преобразования измерений k

зависит от отношения секторных или линейных относительных величин взаимодействующих объектов (измеритель-объект), а масштаб преобразова-

ния М определяется произведением линейных или отношением площадных величин этих объектов. Наличие двух характеристик проектирования более полно и точно описывает возможности использования полученного отобра-

жения.

Другая форма аналитического описания положения объекта в простран-

стве и его размеров изложено в работе [5]. Используя пример, показанный на рис 3, и применив другие обозначения к отображениям, показанные на рис.4,

(С) МАИ, 1999 - 2009

8

С.Н. Гузевич / Прикладная геометрия, вып. 12, N 23 (2009), стр. 1-22

получим следующие аналитические зависимости для определения размеров и отстояния объекта:

Число аналитических зависимостей для определения параметров L и D в

проективной системе координат Евклида определяется числом сочетаний из

3 элементов по два, то есть равно – 3.

По результатам рассмотрения сигналов электромагнитного поля в проек-

тивной системе координат Евклида в работах [8-10] приведена еще одна форма аналитического описания положения и ориентации объекта.

(С) МАИ, 1999 - 2009