5. Тригонометрические функции и

Тригонометрические функции в комплексной области просто выражаются через показательную функцию. По формуле Эйлера имеем: , откуда,.

Учитывая это, примем по определению для любого комплексного

,. (3.2.1)

Отметим, что функции (3.2.1) периодичны с периодом .

Рассмотрим функция . Эту функцию можно представит в виде суперпозиции функций:

(3.25.2)

В силу периодичности функции , она не является однолистной на всей комплексной плоскости. Можно разбить комплексную плоскостьна счетное число областей– вертикальные полосы:(рис.3.2.1).

Рисунок 3.2.1.

Функция каждую областьkпереводит на всю комплексную плоскостьс двумя выброшенными лучами:.

Если рассмотреть нижнюю полуполосу, то функцияпереводит ее на верхнюю полуплоскость.

Рассмотрим функцию . Полагая, что

(3.2.3)

получим:

. (3.2.4)

То есть отображение можно рассматривать как суперпозицию уже рассмотренных отображений.

Найдем условия его однолистности. Пусть область при отображениях (3.2.3) переходит последовательно в. Первое и третье из отображений (3.2.3) однолистны всюду. Для однолистности второго необходимо и достаточно, чтобыне содержало ни одной пары точек, для которых. Переходя с помощью формул (3.2.3) к плоскости, получим, что для однолистности (3.2.4) в областинеобходимо и достаточно, чтобыне содержало ни одной из точек, для которых, с одной стороны

(3.2.5)

и с другой

или(3.2.6)

Этим условиям удовлетворяет, например, полуполоса.Последовательные этапы её отображения изображены на рис. 3.2.2.

Рисунок 3.2.2.

Видно, что в комплексной плоскости не ограничен. Например, в лучах, он принимает действительные значения, по модулю большие единицы.

Отметим, что в (замкнутой) полосе функцияпринимает значение 0 лишь в точкахи. Учитывая нечетность и периодичность этой функции, отсюда можно заключить, что она обращается в 0 лишь на действительной оси в точках

Заметим, что отображение в силу соотношенияможно представлять, как только что рассмотренное, лишь со сдвигом.

6. Гиперболические функции и

С тригонометрическими функциями тесно связаны гиперболические функции, определяемы посредством формул

,. (3.3.1)

Эти функции всюду аналитичны. Они просто выражаются через тригонометрические функции:

,

то есть ,, и поэтому несущественно отличаются от них.

41