4. Функция

Рассмотрим основные свойства данной функции.

1. Однолистность.

Найдем условие, которому должна удовлетворять область , чтобы отображение

(3.1.1)

было однолистным в этой области.

Если , т.е., то

(3.1.2)

Следовательно, для однолистности отображения (3.1.1) необходимо и достаточно, чтобы область не содержала никакой пары различных точек, удовлетворяющих условию (3.1.2).

2. Периодичность.

По формуле Эйлера =1, то для любогоимеем.

С другой стороны, пусть . Умножая обе части наполучаемоткуда, полагая, имеем. Но тогда, то естьи=1 и, то есть, где– целое число. Таким образом,иявляются основными периодами.

3. Конформность.

Так как производная функции (3.1.1) во всех точках отлична от нуля, то отображение конформно во всех точках конечной плоскости .

4. Образы точек конечной плоскости.

Рассмотрим отображения, осуществляемые посредством этой функции. Заметим, что функция никогда не принимает значение . Это значит, что начало координат плоскостине принадлежит к образу конечной плоскостипри отображении (3.1.1). Покажем, что всякая другая конечная точка плоскостипринадлежит к этому образу. В самом деле, из уравнения, гдезадано, а– неизвестное, получаем:

, откудаи, то есть.

Итак, прообразами точек могут быть только точки вида

.

Очевидно, их бесконечно много, так как имеет бесконечное множество значений, различающиеся попарно на целые кратные. Кроме того, каждая из найденных точек действительно есть прообраз точки, так как

. (3.1.3)

Итак, множество всех корней уравнения , гдепредставляются формулой

=

Все эти точки расположены на одной прямой, параллельной мнимой оси на расстоянии друг от друга.

То есть функция (3.1.1) отображает конечную плоскость на область, получающуюся из конечной плоскостипутем исключения одной точки, при чем отображение не взаимно однозначно, так как каждая точкаимеет бесконечное множество прообразов (3.1.3).

5. Образы прямых, параллельных осям координат.

Заставим описывать какую-нибудь прямую, параллельную одной из координатных осей (Рис. 3.1.1).

Рисунок 3.1.1.

Если это будет прямая , параллельная мнимой оси, то, то естьбудет находиться на окружности с центром в начале координат и радиусом, равным. При этом, когда точкаописывает прямую однократно так, что ордината этой точки, равная, непрерывно растет от -∞ до +∞, тоописывает соответствующую окружность бесконечное множество раз в одном и том же положительном направлении.

Если же точка описывает прямую, параллельную действительной оси, то, очевидно, пробегает прямолинейный луч, выходящий из начала координат и образующий с положительной частью действительной оси угол. При этом, когда точкаописывает однократно так, что абсцисса этой точки, равная, непрерывно растет от -∞ до +∞, тоописывает соответствующий луч однократно так, что расстояние этой точки от начала координат непрерывно растет от 0до ∞ (и тот и другой пределы исключаются, так как).

Итак, при отображении плоскости посредством функциисемейство прямых, параллельных мнимой оси преобразуется в семейство окружностей с центром в начале координат, а семейство прямых, параллельных действительной оси, – в семейство прямолинейных лучей, выходящих из начала координат.

6. Образы полос, параллельных действительной оси.

Рассмотрим область , представляющую внутренность прямоугольной полосы шириной, параллельной действительной оси. Пусть эта полоса ограничена линиямии. Из установленного выше следует, что образ областив плоскостибудет область, представляющая угол растворас вершиной в начале координат, ограниченный прямолинейными лучамии(Рис. 3.1.2).

Рисунок 3.1.2.

При этом соответствие между точками областей и, устанавливаемое посредством функции (3.4.1.), будет взаимно однозначным, поскольку прообразами некоторой точкииз областимогут быть только точки, различающиеся друг от друга значениями мнимой части. Две такие точки лежат на одной прямой, параллельной мнимой оси, на расстоянии, кратном. Но полосаимеет ширину не более, поэтому она может содержать внутри лишь один прообраз точки. Итак, каждая точкаимеет лишь один образ и каждая точкалишь один прообраз внутри, что выражает взаимную однозначность отображения.

При этом показательная функция взаимно однозначно и конформно отображает полосу ширины , параллельную действительной оси, на угол растворас вершиной в начале координат. Поэтому к показательной функции прибегают каждый раз, когда надо отобразить некоторую прямолинейную полосу на внутренность угла.

7. Образ прямой, не параллельной ни одной из оси координат.

Если прямая плоскости не является параллельной какой-либо оси координат, то образ её в плоскостибудет уже не прямой и не окружностью, а логарифмической спиралью. В самом деле, если эта прямая есть (– угловой коэффициент прямой, а– ордината в начале), то образом будет кривая. Здесь,, или, исключая параметр:. Ноили полярный уголопределен только с точностью до целого кратного от. Поэтому, обозначаяснова черезполучаем:, где.

Это и есть уравнение логарифмической спирали (Рис. 3.1.3). Из того, что она является образом прямой есть пересекающей прямые, параллельные действительной оси под постоянным углом, следует в силу конформности отображения, что и логарифмическая спираль пересекается под тем же углом образы указанных прямых, то есть все лучи, выходящие из начала координат. Мы получили характеристическое свойство логарифмической спирали.

Рисунок 3.1.3.

Пример 3.1.1. Из приведенных свойств (1) и (2) вытекает, что функцияконформно отображает прямоугольник,, где,на кольцевой сектор. Частные случаи таких отображений показаны на рис. 3.1.4.

Рисунок 3.1.4.

Пример 3.1.2. Найдем образ отрезкапри отображении.

Рисунок 3.1.5.

Любая точка отрезка имеет комплексную координату ,. Поэтому её образом служит линия, параметрически заданная уравнениями. Это дуга логарифмической спирали (рис. 3.4.5).