Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
LEKCIJA_No1.docx
Скачиваний:
146
Добавлен:
30.05.2015
Размер:
506.1 Кб
Скачать

Лекция №1.

Понятие области, односвязной области, кривой Жордана. Геометрический смысл аргумента и модуля производной; понятие конформного отображения. Конформные отображения посредством дробно-линейной функции.

Теоретические вопросы:

  1. Понятие области, односвязной области, кривой Жордана.

  2. Геометрический смысл аргумента и модуля производной;

  3. Понятие конформного отображения.

Содержание лекции

Комплексными числами и функциями комплексного переменного математики пользовались в своих исследованиях уже в XVIIIвеке. Особенно велики заслуги крупнейшего математикаXVIIIвека Леонарда Эйлера, который по праву считается одним из творцов теории функций комплексного переменного и начала интегрального исчисления функций комплексного переменного.

Геометрическая теория функций комплексного переменного изучает аналитические функции, определяемые каким-либо геометрическим свойством, а также различные геометрические свойства тех или иных классов аналитических функций. Поэтому естественно, что она опирается на ряд общих геометрических понятий, встречающихся в современной математике.

Ниже будут изложены основные определения и факты, относящиеся к понятию комплексных чисел, действия с ними и их геометрической интерпретации.

Множества точек на плоскости.Множества точек на плоскости будем обозначать большими буквами; точки же плоскости обозначаем малыми буквами, а именно теми же буквами, что и соответствующие им комплексные числа.

Если точка апринадлежит множествуЕ, то это записывается так:. Если все точки множества Е принадлежат множеству F, то пишути называютEмножеством, лежащим в F, или частью F.

Каждой точке плоскости приписываются окрестности. Под окрестностью данной точкиапонимается совокупность всех внутренних точек какого-либо круга с центром ва(а иногда и любое множество точек, содержащее в себе такую круговую окрестность). Окрестность называетсядостаточно малой, если радиус круга достаточно мал.

Множество точек называется ограниченным, если оно целиком лежит внутри некоторого круга.

Точка аплоскости называетсяпредельной точкойилиточкой сгущения данного множества, если в любой окрестностиаимеются точки множества, отличные ота. Предельная точка может принадлежать, а может и не принадлежать множеству. Точка множества, не являющаяся его предельной точкой, называется изолированной точкой множества.

Если данная точка апредельная для некоторого множества, то из него можно выделить последовательность точек, сходящуюся ка.

Последовательность точек может сходиться и к бесконечно далекой точке. Для того чтобы последовательность сходилась к конечной точке, необходимо и достаточно, чтобы расстояние между любыми двумя точками этой последовательности, начиная с некоторого номера, было меньше любого данного положительного числа.

Множество точек называется замкнутым, если ему принадлежат все его предельные точки. Любое множество можно сделать замкнутым, если к нему присоединить все его предельные точки. Так полученное из множестваЕзамкнутое множество обозначается черези называетсязамыканиеммножества Е.

Расстояниеммежду двумя множествами без общих точек называется точная нижняя граница расстояний любых пар точек, взятых по одной из каждого множества.

Замкнутое множество, состоящее более чем из одной точки, называется континуумом, если оно не распадается на два непустых замкнутых множества без общих точек.

Точка некоторого множества называется внутреннейдля него, если вместе с ней этому множеству принадлежит и некоторая окрестность этой точки.

Наряду с замкнутыми множествами рассматриваются открытые множества— это множества, состоящие только, из внутренних точек. Очевидно, дополнение к замкнутому множеству на плоскости есть открытое множество, а дополнение к открытому — замкнутое.

Области и кривые.Одним из основных геометрических понятий теории функций комплексного переменного является понятие области.

Областьюназывается открытое множество, любые две точки которого можно соединить некоторой ломаной линией, целиком состоящей из точек этого множества (свойство связности).Граничными точкамиобласти называются точки плоскости, не принадлежащие области, но являющиеся для нее предельными точками.

Совокупность всех граничных точек области образует границуобласти. Граница области есть замкнутое множество. Точки плоскости, не являющиеся для области ни внутренними ни граничными точками, называются еевнешними точками. У каждой внешней точки области существует окрестность, не содержащая точек области.

Если к области присоединить ее границу, то полученное множество называется замкнутой областью. В отличие от замкнутой области, сама область иногда называетсяоткрытой областью.

Область называется односвязной, если ее граница состоит из континуума или из одной точки или же она является полной плоскостью.

В противном случае область называется многосвязной. Область будет двухсвязной, трехсвязной,n-связной, если ее граница состоит соответственно из двух, трех, континуумов без общих точек; все вместе такие области называются конечносвязными.

Наряду с областью, другим основным геометрическим объектом в теории функций комплексного переменного является функция и кривая.

Говорят, что на множестве Mточек плоскостиZзадана функция

.

если указан закон, по которому каждой точке ставится в соответствие определенная точка или совокупность точек. В первом случае функция называетсяоднозначной, во втором –многозначной.

Множество Mназывается множеством определения функции, а совокупностьNвсех значения, которыепринимает наM, –множеством её изменения.

Если положить , то задание функции комплексного переменногобудет равносильным заданию двух функций двух действительных переменных.

.

Условимся откладывать значение на одной комплексной переменной, а значение– на другой. Тогда функцию комплексного переменного можно геометрически представлять как некоторое отображение множестваMплоскостиZна множествоNплоскости.

Если функция однозначна на областиMи при этом двум различным точкамMвсегда соответствуют различные точкиN, то такое отображение называетсявзаимно однозначнымилиоднолистнымвM.

Пусть дана функция , осуществляющая множестваMна множествоN. Функция, ставящая в соответствие каждой точкеизNсовокупность всех точек, которые функциейотображаются в точку, называется обратной к функции.

Ясно, что отображение будет взаимно однозначным, тогда и только тогда, когда обе функциииоднозначны.

Пусть функция отображает множествоMнаN, амножествоNнаP. Функция, отображающаяMнаP, называется сложной функцией, составленной изfиg, а соответствующее отображениеh– суперпозицией отображенийfиg. Если, в частности, отображениевзаимно однозначно и функция– обратная кf, то.

Функция называетсянепрерывнойв точке, если она определена в точкеи некоторой её окрестности и, если.

Функция называетсянепрерывной в области ,если она непрерывна в каждой точке этой области.

Функция двух переменных, удовлетворяющая уравненям Лапласа илиназываютгармонической.

Если взять за две произвольные гармонические функции, то функция в общем случае не будет аналитической в области.

В случае если функция аналитическая, то функциииназываютсопряженнымиилисопряженными гармоническимифункциями.

Непрерывной кривойназывается множество точек плоскости, прямоугольные координатых, укоторых могут быть заданы как непрерывные функциивещественного переменногоtв некотором конечном промежутке.

Но непрерывная кривая — понятие слишком общее. Существуют непрерывные кривые, которые совершенно не соответствуют наглядному представлению о кривой, как об одномерной фигуре. Так, можно построить непрерывную кривую, проходящую через каждую точку данного квадрата. Однако, если потребовать, чтобы кривая не имела кратных точек, то в этом случае она уже будет обладать рядом наглядных свойств. Такие кривые называютсяпростыми кривымииликривыми Жордана.

Итак, непрерывная кривая или, короче, кривая

,(1)

называется кривой Жордана, если для любых двух различных значений, из [a, b) имеемТочкиимогут как совпадать, так и быть различными. В первом случае кривая называетсязамкнутой, во второмнезамкнутой.

Из незамкнутых кривых Жордана можно составить непрерывные кривые и не жорданова типа. С другой стороны, и кривая Жордана иногда оказывается понятием слишком общим и тогда для различных целей вводятся кривые более частных типов, как например, гладкие, кусочногладкие, спрямляемые кривые.

Кривая (1) называется гладкой, если всуществует производная(на концах односторонняя), непрерывная и отличная от нуля. Требование гладкости кривой, очевидно, равносильно требованию существования касательной к кривой и непрерывного вращения этой касательной при движении по кривой. Кривая, составленная из конечного числа гладких кривых, называетсякусочногладкойкривой.

Наконец, простейший тип непрерывной кривой — аналитическая кривая; эта кривая определяется уравнением, гдевблизи каждого значения, разлагается в сходящийся степенной рядс. Непрерывную кривую, составленную из конечного числа аналитических кривых, назовемкусочноаналитияеской кривой.

Иногда в области приходится проводить разрезы по различным кривым Жордана. Провести в области Bразрез по кривой Жорданазначит удалить изBвсе точки кривойL.

Разрез в области Bназываетсяпоперечным, если он соединяет две (различные или совпадающие) граничные точки областиB, являющиеся его концами, и остальными своими точками лежит вB. Оказывается, что любой поперечный разрез в конечносвязной области, соединяющий граничные точки, лежащие на различных граничных континуумах, не разделяя области на части, уменьшает связность области на единицу; любой же поперечный разрез в односвязной области делит ее на две односвязных области (характеристическое свойство односвязных областей).

Аналогично, разрез, представляющий замкнутую кривую Жордана, целиком лежащую в области B, называетсякруговым разрезом. Круговой разрез всегда делит областьBна две области; в случае односвязной областиBодна из областей, ограниченных круговым разрезом, целиком лежит вB(тоже характеристическое свойство односвязных областей).

Наконец, разрез, представляющий открытую кривую Жордана, лежащую в какой-либо области Bцеликом или исключая один из своих концов, не делитBна части.

Многие разделы теории функций комплексного переменного и, в частности, геометрическая теория функций широко используют в своих доказательствах особые свойства сходимости последовательностей аналитических функций. Благодаря этим свойствам доказательства довольно просты и изящны по сравнению с аналогичными доказательствами вещественного анализа.

Введем следующие определения. Пусть имеется последовательность однозначных функций определенных на некотором множестветочек плоскости.

Определение.Последовательность называетсясходящейсяв точкеесли последовательность чиселсходится.

Определение.Последовательность функцийназываетсясходящейся на, если она сходится во всех точках множества.

В этом случае можно говорить о предельной функцииопределенной на.

Определение.Последовательностьназываетсяравномерно сходящейся нак функции, конечной на, если для каждогосуществуеттакое, что приимеемдля всех.

Если жена, то последовательностьпо определению равномерно сходится нак, если для каждогосуществуеттакое, что придля всех. Легко доказать, что для равномерной сходимости последовательности к конечной функции необходимо и достаточно, чтобы для каждогосуществовало такое, что прии для всехвыполнялось неравенство.

Если функции определены в области, то кроме понятия равномерной сходимости последовательностив области можно рассматривать равномерную сходимость последовательностивнутри области, что означает равномерную сходимостьна каждом замкнутом множестве. Равномерная сходимость внутри– требование более слабое, чем равномерная сходимость в.

Определение.Функция, однозначная и конечная на множестве, не содержащем, называетсянепрерывной на , если, для любой точки, для любогосуществуеттакое, что еслии, то. Для последовательностей непрерывных и аналитических функций имеет место ряд теорема, которые будут рассматриваться ниже.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной

1. Сохранение угла между кривыми

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точкии пусть. Рассмотрим гладкую кривую(Рис. 1.1), проходящую через точку. Обозначимугол, образуемый касательной к кривой, в точкеи положительным направлением действительной оси (касательная считается направленной в ту же сторону, что и кривая). Тогда.

Рисунок 1.1.

Рисунок 1.2.

Пусть — образ кривойпри отображении, т. е., а точка— образ точки. По правилу дифференцирования сложной функции

(1.1)

Так как по условию и, то, т. е. криваяимеет касательную в точке. Пусть. Тогда из (1.1) находим, то есть

(1.2)

Величина называетсяуглом поворота кривой в точкепри отображении.

Из формулы (1.2) следует, что если , то угол поворота в точкене зависит от кривойи равен, т. е. все кривые, проходящие через точку, поворачиваются при отображениина один и тот же угол, равный аргументу производной в точке .

Таким образом, отображение , где— дифференцируемая в окрестности точкифункция и, сохраняет углы между кривыми, проходящими через точку, не только по величине, но и по направлению отсчета (рис. 1.2).

2. Постоянство растяжений

Пусть функция дифференцируема в некоторой окрестности точкии. Рассмотрим произвольную точкукривой, расположенную достаточно близко к точке(рис. 2.1).

Рисунок 2.1.

Обозначим ,. Из определения производнойследует, что

, гдепри,

откуда получаем

или

. (2.1).

Пусть , гдедостаточно мало, тогда из формулы (2.1) находим, что окружностьпереходит при отображениив кривую, которая мало отличается от окружности

.

Иначе говоря, отображение с точностью до малых более высокого порядка, чем, растягивает кругвраз.

Величина называетсялинейным растяжениемкривойв точкепри отображении. Следовательно, линейное растяжение в точкене зависит от вида и направления кривойи равно.

3. Определение конформного отображения

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки.

Определение.Отображениеназывается конформным в точке, если оно сохраняет углы между кривыми и обладает свойством постоянства растяжений в точке.

Из выше сказанного вытекает, что если функция дифференцируема в некоторой окрестности точки(регулярна в точке) и, то отображениеявляетсяконформным в точке .

Определение.Пусть функцияоднолистна в области D и пусть отображениеявляется конформным в каждой точке области D. Тогда это отображение называетсяконформным.

Если сохраняется не только величина углов, но и ориентация, то отображение называется конформным первого рода. Если же ориентация меняется на противоположную, то –конформным второго рода.

Из определения однолистной функции, определения конформного отображения в точке и свойств производной вытекает, что если функция

  1. дифференцируема в области D,

  2. однолистна в области D,

3. ее производная отлична от нуля в этой области,

то отображение является конформным.

Следующий материал готовить для доклада на следующем семинаре:

  1. Линейная функция;

  2. Дробно-линейнаяфункция;

  3. Функция Жуковского.

  4. Функция ;

  5. Тригонометрические функции и;

  6. Гиперболические функции и.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]