1.1. Применение решений краевых задач для уравнения диффузии в целях описания пространственно временных градиентов незаряженных химических соединений в биологических компартментах

При постановке задаче о трансмембранном переносе химических соединений один из наиболее простых подходов стоит в элементарной оценке поверхностного потока, который определяется при отсутствии заряда первым законом Фика, который в одномерном случае для химического соединения А характеризующегося концентрацией С а имеет вид.

3

л Л

аг

Сущность данного выражения состоит в том, что в области небольших перепадов значения концентрации вблизи положения равновесия системы число частиц, пересекающих единичную поверхность линейно, зависит от градиента в соответствующей точке линейного измерения, причем коэффициент пропорциональности носит название коэффициента диффузии и является важной характеристикой свойства среды. Данное соотношение представляет собой весьма действенный инструмент для описания процессов переноса вещества, поскольку переменные, стоящие в его правой и левой части представляют собой измеримые физические величины. В тоже время, необходимо отметить некоторое ограничение в применимости данного соотношения связанное не только с нелинейными эффектами во взаимосвязи потока и градиента, но и- с тем, что при рассмотрении более обширного пространства около поверхности мембраны необходимо учитывать не только

«точечные» значения* градиентов, но по* сути распределения концентрации* исследуемых химических соединений. Для этой цели необходимо воспользоваться вторым законом Фика, который в свою очередь, представляет собой частный случай диффузионного уравнения:

<*^СА _{= В} ^СА

& Ф²

Для более полного и корректного рассмотрения возможности описания изменения концентрации с использованием второго закона Фика необходимо провести обобщение для трехмерного случая и существования возможных дополнительных процессов в системе. В' сущности именно этот подход можно считать относительно универсальным при оценке макроскопического усреднения стохастического- движения множества отдельных молекул, поэтому подход, который будет рассмотрен в данном разделе можно считать в качестве основы описания пространственно-временного распределения, как концентрации малых незаряженных молекул, так и более крупных метаболитов в некотором биологическом объекте. Как уже отмечалось ранее, это направление моделирования занимает как бы промежуточное положение между системами; для которых следует использовать молекулярную динамику и* уровнем организации объекта, при котором информация- о концентрации метаболита воспринимается как исключительно обобщенный показатель и сохраняет только временную зависимость. В качестве примеров подобных «полюсов» можно привести с одной стороны рассмотренную в предыдущем разделе систему с отдельными молекулами, взаимодействующими со средой в некотором^! ограниченном, пространстве, а с другой измерение принятых в клинической биохимии показателей содержания метаболита (например, глюкозы) в крови пациентов. Каждый из этих случаев предполагает переход к другому способу описания изменений интересующих исследователя величин.

В⁴ общем виде для-биологического объекта, ограничивающего? пространство произвольной геометрии; и заключающего в і себе N метаболитов, а также регулируемого Мпараметрами, такие уравнения имеют вид; [1]:

(1.8)

В большинстве; случаев можно- рассматривать однородное; уравнение?

Ф/ , ф="0> ©тметим; что ^ подобный вид : уравнений? диффузии« справедлив

при малых; значениях термодиффузионного отношения, что соответствует такому диапазону концентраций метаболита, в котором влияние флуктуаций температуры на? величину химического потенциала в исследуемой области мало.

В самом общем случае, система; (1.8) является; нелинейной и описывает формирование градиента веществіво временш в анизотропной среде. В! силу

произвольности функций /¡^Х а (г, провести разделение;

переменных; удается только: в* весьма ограниченном: числе случаев; Краевая задача для уравнений (1.8) ставится в. виде заданий граничных и начальных условий для выбранной области. В зависимости от типа условия различают

первую краевую задачу (на границе задается- значение Х(г,і)) вторую

краевую задачу (на границе задается;значение градиента и третью

краевую задачу (на границе задано* смешанное условие). Для упрощения решения активно используется? представление о симметричности рассматриваемой области. Это позволяет свести решение трехмерной задачи к решению краевой задачи для централ ьно-симметричнош (или осесимметричной) одномерной диффузии. Тем не менее, для подавляющего

большинства задач решение необходимо искать численно. Это несколько затрудняет использование такого типа моделей, однако ^ не является неразрешимым препятствием на пути поиска пространственно-временных градиентов. В последнее время были получены численные решения неоднородных уравнений для диффузии протонов вблизи сферических и цилиндрических источников [2,3]. При разных ионных силах были получены решения диффузионных уравнений для описания особенностей распределения субстратов около мономерных и тетрамерных ацетилхолинестераз мышей [4]. С использованием диффузионного подхода удается показать, что замедленное изменение пространственного градиента концентрации АТФ может стать причиной энергетического дефицита в сердечных миофибриллах [5].

Кроме традиционного анализа изменения концентраций метаболитов в распределенных биологических системах уравнения диффузии успешно применяются в экологии: для описания распространения мутаций с учетом роста человеческой популяции [6] и для описания распространения вирусов с учетом миграции птиц [7].

Необходимо отметить, что диффузионный подход используют и для описания поведения относительно больших частиц, таких как синаптические везикулы в гиппокампальных нейронах [8].

С помощью уравнения диффузии можно даже аппроксимировать квазистационарные токи в ионных каналах [9]. И хотя, как уже отмечалось в предыдущем разделе, это предпочтительнее делать с помощью молекулярной . динамики, данный подход также представляется оправданным. Тем более, если учесть, что стохастические процессы описываются в диффузионном приближении с использованием уравнения Фоккера-Планка, которое

позволяет определить плотность вероятности обнаружить величину

а в диапазоне {а,а + с1а} в момент времени / :

ММ I V ^{Э 52} /-Л

-л ^);

где И) (а), -Оу («) представляют собой вектор смещения и тензор диффузии соответственно.

Использование подобного подхода для описания биологических процессов удается реализовать как непосредственно в представлении стохастических биологических процессов, например, в случае модели репликации плазмид [10], так и в сочетании с традиционным кинетическим подходом, как это продемонстрировано в случае описания специфичности в путях передачи внутриклеточного сигнала [11].

В некоторых случаях бывает необходимо анализировать стационарные распределения концентраций в биологических системах. В этих случаях решение системы (1.8) сводится к решению системы ОДУ второго порядка. Любопытно заметить, что существует точка зрения, в соответствии с которой реальная применимость описания биологического объекта, размер которого соответствует клетке, с помощью диффузии является существенно ограниченной [12]. Причина этого, по мнению автора, состоит в том, что структурная единица соответствующая клетке весьма строго организована и практически не предполагает наличия «больших» пространств для реализации свободного перемещения метаболитов. Следует отметить, что подобный подход верен лишь отчасти. Действительно при рассмотрении микроуровня в размерах одной клетки вклад флуктуаций в распределение

I

концентрации будет существенен, однако диффузионное приближение наиболее эффективно на тех расстояниях, когда можно рассматривать макроскопическое усреднение многих стохастических перемещений молекул даже в организованной системе. Поэтому следует скорее говорить не столько о неприменимости диффузионного подхода как такового, сколько об уточнении рамок применимости моделей по пространственному параметру.

Так очевидно, что если рассматривать формирование градиентов концентрации от момента ¡ = 1₀ на временах А/ е г; т = г₀² / 6£>, где г₀ - характерный размер исследуемого объекта, то с высокой степенью надежности можно говорить, что большинство частиц, которые к моменту ¿₀ находились внутри описываемой области, будут находиться в ней и к моменту времени ^ = ¿₀ + Л? . Так, например, если коэффициент диффузии соединения составляет 10"⁵ см² с"¹, то при характерном размере области 1 мм величина т составит 160 с. Следовательно, при рассмотрении временных интервалов, составляющих всего нескольких секунд, можно считать, что большинство диффундирующих частиц все еще находятся в пределах рассматриваемой области.

Как уже упоминалось ,выше, на сегодняшний день накоплен огромный опыт по решению задач для уравнений в частных производных [13,14]. При всей сложности данного направления в целом ряде случаев удается получать точные решения и для нелинейных уравнений. Тем не менее, для конкретных краевых задач и нелинейности, характеризующей метаболический поток первого рода, представить решение в аналитическом виде крайне затруднительно. Более того, необходимо учитывать и ограниченные ресурсы вычислительной техники, поскольку в дальнейшем желательно не только получить само решение, но и провести его привязку к конкретному биологическому объекту. Более того, в случае, рассматриваемом в данной работе, важнейшим фактором определяющим движение описываемых частиц является не столько стохастическое взаимодействие между молекулами диффундирующего вещества и другими компонентами системы, сколько взаимодействие существующих на них зарядов с внешним электромагнитным полем. В некотором смысле можно сказать, что, несмотря на всю развернутость методического подхода описания классической диффузии и все успехи в данном направлении, оценка трансмембранного потока на основании только лишь диффузионного приближения в рамках законов Фика и без учета существующего профиля, внешнего поля (потенциала на мембране) является принципиально неверным. Для устранения подобного недостатка подхода необходимо перейти к рассмотрению процессов электродиффузии, которые будут рассмотрены в следующем разделе.