tmm

ЗАДАЧИ 49–54

Определить степень подвижности механизмов. В задачах 53 и 54 все обозначения сделать самостоятельно.

поплавок

33

ГЛАВА 2. КИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МЕХАНИЗМОВ

2.1. Аналитическое определение положений, скоростей и ускорений звеньев механизмов

Кинематическое исследование механизма, т. е. изучение движения звеньев механизма без учета сил, обусловливающих это движение, состоит в основном в решении трех задач:

1)определение перемещений звеньев и траекторий, описываемых точками звеньев;

2)определение скоростей отдельных точек звеньев и угловых скоростей звеньев;

3)определение ускорений отдельных точек звеньев и угловых ус-

корений звеньев.

Функцией положения ведомого звена (или точки на нем) называется зависимость его (или ее) перемещения от перемещения ведущего звена (или точки на нем), например:

ϕk =ϕk (ϕ1) или ϕk =ϕk (s1) , …,

где φ1, s1 – перемещение (положение) ведущего звена.

Вид функции положения зависит от схемы механизма, а значения постоянных, которые входят в нее, – от размерных параметров механизма. Для того чтобы составить функцию положения механизма, следует рассмотреть фигуру, которую образуют оси его звеньев. Из геометрических свойств этой фигуры находят искомую зависимость.

Если механизм имеет одну степень подвижности, то перемещения, скорости ускорения ведомых звеньев и точек механизма являются функциями перемещений, скоростей и ускорений ведущего звена механизма, они могут быть заданы в различной форме – аналитической, графической, табличной и представлять собой некоторые функции:

–для ведущего звена, входящего во вращательную пару со стойкой:

ϕ=ϕ(t)

ω=ω(t) ;

ε= ε(t)

–для ведущего звена, входящего в поступательную пару со стойкой:

s = s(t) v = v(t) .

a = a(t)

35

При кинематическом исследовании механизмов скорости и ускорения ведомых звеньев удобно выражать в функции поворота φ или перемещения s ведущего звена. Если для некоторого звена механизма ϕk =ϕk (ϕ) , то угловая скорость этого звена

ωk = ddtϕk = ddϕϕk ddtϕ =ω ddϕϕk =ω ωϕ =ωϕk′ .

Здесь ω – угловая скорость ведущего звена, а ωϕ =ϕk′ – безразмерная

угловая скорость этого k-го звена – аналог угловой скорости. Угловое ускорение:

здесь εϕ – аналог углового ускорения. Аналогично можно получить

уравнения для скорости и ускорения какой-либо точки m звена. Пусть rm

– радиус-вектор, определяющий положение точки m. При вращательном движении ведущего звена

vm = drdtm = drdϕm ddtϕ =ω drdϕm =ω vϕ ;

при поступательном движении ведущего звена vm = drdtm = drdsm dsdt = v vs .

vϕ – аналог скорости точки m, имеющий размерность длины. vs – аналог скорости точки m, безразмерная величина.

Ускорение am в общем случае может быть представлено через следующие составляющие:

1)нормальное ускорение, направленное вдоль радиус-вектора к его началу;

2)тангенциальное ускорение, направленное перпендикулярно к ради- ус-вектору rm;

3)относительное релятивное ускорение, направленное вдоль радиусвектора;

4)кориолисово ускорение, направленное перпендикулярно к радиусвектору.

36

Здесь aϕ – аналог ускорения точки m. Имеет размерность длины.

Если ведущее звено механизма вращается с постоянной угловой скоростью ω (ε=0, такое движение носит название перманентного или основного движения механизма), то

Если же рассматривается начальный момент движения механизма, когда ω = 0 , то

Такое движение носит название начального. В общем случае

ωk =ωkп,

εk = εkп +εkн, vm = vmп ,

am = aтп + aтн .

Подобный подход был предложен Н.Е. Жуковским и позволяет исследовать движение (т. е. определять положения, скорости и ускорения) в функции обобщённой координаты механизма.

Для кинематического исследования, таким образом, достаточно вначале рассмотреть перманентное движение (считать движение ведущего звена происходящим с постоянной скоростью), а если ведущее звено в действительности движется неравномерно, то после перманентного движения следует рассмотреть дополнительно и начальное движение механизма. Поэтому в дальнейшем при кинематическом исследовании механизма будем всегда предполагать движение его ведущего звена равномерным.

Дадим определение ещё одному понятию – передаточная функция. Первая и вторая производные от функции положения ϕk =ϕk (ϕ1) по ϕ1

– их называют первая передаточная функция, или передаточная функция скорости; и вторая передаточная функция, или передаточная функ-

37

ция ускорения, также будут геометрическими характеристиками, не зависящими от абсолютных значений скоростей звеньев

F ′′(ϕ1 )= d 2ϕϕ2k .

d 1

Как видно, это те же самые аналоги скорости и ускорения, полученные ранее.

Аналогично могут быть получены и передаточные функции в случае поступательного движения ведущего звена.

В приведенном случае первая передаточная функция F ′(ϕ1 ) пред-

ставляет отношение угловой скорости k-го звена к угловой скорости звена 1.

Отношение угловой скорости ведущего звена к угловой скорости

ведомого звена называется передаточным отношением. Рекомендуемое обозначение по ГОСТу 16530-83 i.

Рассмотрим пример.

Найти выражения для функции положения и аналога скорости точки В3 звена 3 тангенсного механизма (рис. 2.1), совмещенной с точкой В1 звена 1.

38

Ведущее звено 1, положение звена 1 определяется углом ϕ1 , а положение точки В3 – расстоянием SB3 , размер h известен, звено 3 дви-

жется вдоль оси Y′.

Решение. Функцию положения точки В3 находим из геометрической фигуры, которую образуют оси звеньев данного механизма:

SB3 = h tgϕ1 .

Аналог скорости точки В3 определится:

Задачи 55–61

55.Найти выражения для функции положения и аналога скорости

точки В3 – точки звена 3 косекансного механизма, совпадающей с точкой В1 звена 1. Ведущее звено 1; положение звена 1 определяется углом φ1, а положение точки В3 – расстоянием SB3; величина h известна.

56.Найти выражение для функции положения кулисы 3 кулисного механизма Витворта. Ведущее звено 1; положения звеньев 1 и 3 определяются углами φ1 и φ3. Размеры lAB и lBC известны.

57. Найти выражение для функции положения точки С кривошип- но-ползунного механизма и ее аналога скорости. Ведущее звено 1; положение звена 1 определяется углом φ1, а положение точки С – расстоянием SС, отсчитываемым от крайнего правого положения на оси ОХ; размеры lAB и lBC известны.

39

58. У кривошипно-ползунного механизма вычислить скорость точки шарнира С. Ведущее звено 1; положение звена 1 определяется углом φ1=30º, его угловая скорость ω1=100 с–1; размеры: lAB=0,1 м и lBC=0,3 м.

59.Найти выражение для функции положения штока 2 кривошипного механизма с качающимся ползуном и аналога скорости штока. Ве-

дущее звено 1; положения звеньев 1 и 2 определяются углами φ1 и φ2. Размеры lAB и lАC известны.

60.Вычислить значения скорости и ускорения, а также их аналогов для точки В3 звена 3 синусного механизма, совпадающей с точкой В1

звена 1. Угловая скорость звена 1 ω1=100 с–1; положение звена 1 определяется углом φ1=45º, lAB=0,1 м.

61. Вычислить скорость точки В3 звена 3 тангенсного механизма, совпадающей с точкой В1 звена 1. Положение звена 1 определяется углом φ1=45º, его угловая скорость ω1=20 с–1, h=0,1 м.

40