- •111Equation Chapter 1 Section 1министерство образования и науки российской федерации
- •«Национальный исследовательский
- •Матанализ 3
- •Аннотация
- •Матанализ 3
- •130102 «Технология геологической разведки»,022000 «Экология и природопользование»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
- •I. Интегральное исчисление функции одной переменной Неопределенный интеграл
- •Определенный интеграл
- •II. Дифференциальные уравнения
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •Полезно помнить таблицу дифференциалов:
- •Непосредственное интегрирование
- •Метод подстановки
- •Метод интегрирования по частям
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Алгоритм интегрирования рациональной дроби
- •Примеры интегрирования рациональных функций
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Рассмотрим частные случаи
- •Теорема существования определенного интеграла
- •Интеграл расходится, т. К. Предел не существует. Пусть теперь функция непрерывна на интервалеи. Если существует конечный предел, то его называют несобственным интегралом второго рода и обозначают
- •Функция определена на , и то есть мы имеем дело с несобственным интегралом от функции с бесконечным разрывом. Таким образом,
- •Некоторые приложения определенного интеграла
- •1. Вычисление площади плоской фигуры
- •2. Длина дуги кривой
- •3. Объем тела
- •II. Дифференциальные уравнения Дифференциальные уравнения первого порядка
- •1. Уравнения с разделяющимися переменными
- •Умножим обе части уравнения на 2
- •2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными Уравнения вида
- •3. Однородные уравнения
- •Разделим переменные
- •4. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Решение линейного уравнения методом подстановки
- •5. Уравнение Бернулли
- •Преобразованное уравнение (26) является линейным относительно и. Решив его, найдем общий интеграл уравнения (26). Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли (24).
- •6. Уравнение в полных дифференциалах
- •Нахождение общего решения уравнения
- •III. Числовые ряды Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число, то говорят, что задана числовая последовательность.
- •1. Интегральный признак Коши
- •Следовательно, обобщенный гармонический ряд сходится прии расходится при.
- •Решение. Составим ряд из модулей Получим гармонический ряд, который расходится. Проверим условия признака Лейбница:
- •IV. Функциональные ряды
- •V. Степенные ряды
- •1. Теорема Абеля
- •Решение.
- •3. Методы разложения функций в ряд Тейлора
- •Решение. Воспользуемся формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии
- •Данное разложение имеет место для всех . Варианты заданий для контрольной работы № 6
- •Учебно-методическое обеспечение дисциплины Литература обязательная
IV. Функциональные ряды
Пусть последовательность функций, определенных на некотором множествеХ.
Определение. Ряд вида
(39)
членами которого являются функции называется функциональным.
Каждому значению соответствует числовой ряд Он может быть как сходящимся, так и расходящимся. Если ряд сходится, точканазывается точкой сходимости функционального ряда (39).
Множество всех точек сходимости функционального ряда называется егообластью сходимости. Сходимость функционального ряда в каждой точке называется поточечной сходимостью.
Определение. Функциональный ряд (39) называется равномерно сходящимся в области к функции, если для любогосуществует номер, не зависящий от, такой, что
где n-я частичная сумма ряда, сумма ряда.
Теорема (признак Вейерштрасса). Если члены ряда удовлетворяют неравенствами ряд сходится, то функциональный ряд сходится равномерно в области .
Числовой ряд , члены которого удовлетворяют неравенствам теоремы, называетсямажорантой (мажорантным рядом) для функционального ряда , а сам функциональный ряд называется в этом случаемажорируемым на множестве .Из признака Вейерштрасса следует, что условие мажорируемости ряда является достаточным для его равномерной сходимости.
Сформулируем свойства равномерно сходящихся рядов:
1. (О непрерывности суммы функционального ряда)
Если на множестве функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится равномерно, то его сумманепрерывна на
.
2. (О почленном интегрировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывными членами сходится к функции равномерно на отрезке, то его можно почленно интегрировать на любом отрезке, и справедливо неравенство:
причем ряд сходится равномерно на отрезке .
3. (О почленном дифференцировании)
Если функциональный ряд (39) с непрерывно дифференцируемыми на отрезке членами сходится к функции, а рядсходится равномерно на, то ряд (39) сходится равномерно на, его сумманепрерывно дифференцируемая функция, и справедливо неравенство:
.
V. Степенные ряды
Определение. Степенным рядом по степеням называется ряд вида:
(40)
где действительные числа,принадлежит некоторому интервалу.
Числа называются коэффициентами степенного ряда.
Если то получим ряд по степенямх.
(41)
1. Теорема Абеля
Если степенной ряд сходится в точке, то он сходится абсолютно в интервалеи сходится равномерно на отрезке, где
Следствие. Если в точке степенной рядрасходится, то он расходится во всех точках, т. к.
Таким образом, всегда существует число R > 0, при котором степенной ряд сходится абсолютно для всех и расходятся для всех. В точкахряд может как сходиться, так и расходиться.
Число называется радиусом сходимости, а интервалинтервалом сходимости степенного ряда.
Для нахождения интервала сходимости степенного ряда используют достаточные признаки сходимости Даламбера и Коши (см. разделы II, V). Радиус сходимости можно найти по одной из следующих формул:
Пример 23. Найти интервал и радиус сходимости степенного ряда:
а) b)
Решение.
а)
Для нахождения интервала сходимости воспользуемся признаком Коши и вычислим предел
Ряд сходится, если , т.е.
Решая полученное равенство, найдем интервал сходимости ряда:
В точках получаем расходящийся ряд
Таким образом, область сходимости степенного ряда интервал , радиус сходимости
b)
Найдем радиус сходимости данного ряда, для этого воспользуемся формулой
Тогда
Интервал сходимости ряда найдем, решив равенство:
В точке имеем условно сходящийся ряда в точкерасходящийся гармонический рядТаким образом, областьсходимости данного ряда есть полуинтервал , радиус сходимости.
Замечание. Из теоремы Абеля и свойств равномерной сходимости рядов следует, что на интервале сходимости степенной ряд можно рассматривать как обыкновенный многочлен.
2. Ряды Тейлора и Маклорена
Рассмотрим некоторую функцию , определенную на интервале, и пусть. Допустим также, что функцияимеет в окрестности точкипроизводные любого порядка. Поставим функциив соответствие степенной ряд, (окрестностью точкиназывается любой интервал, содержащий эту точку ),
(42)
0! = 1, n! = 1234 n, n N .
Такой ряд называется рядом Тейлора функции в точке.
Если , то ряд Тейлор имеет вид:
(43)
и называется рядом Маклорена.
Радиус сходимости ряда Тейлора может быть равен нулю или отличен от нуля. Причем, в последнем случае сумма ряда Тейлора может не совпадать с функцией. Если ряд Тейлора сходится к функции, для которой он составлен, то говорят, чторазложима в ряд Тейлора в окрестности точки.
Заметим, что частичные суммы ряда Тейлора
представляют собой многочлены Тейлора функции в точке. Если ряд сходится к функции, справедливо равенство
где многочлен Тейлора, остаточный член формулы Тейлора.
Напомним, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в одном из следующих видов:
форма Лагранжа,
форма Коши.
Имеет место необходимый и достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора.
Теорема 1. Для того, чтобы существовало разложение в ряд Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки функциинеобходимо и достаточно, чтобы
где остаточный член формулы Тейлора,
Теорема 2. (Достаточный признак разложимости функции в ряд Тейлора). Если для все производные функции , ограничены одной и той же константойМ, то ряд Тейлора сходится к функции в интервале
Теорема 3. Если степенной ряд по степеням сходится к функциив окрестности точки, то он является рядом Тейлора функциив окрестности этой точки.
Приведем примеры разложения в ряд Маклорена основных элементарных функций: