4. Указания к решению задач №2 и №3. Комплексный чертёж поверхностей
Условие задачи:
1.Построить проекции поверхности, заданной проекциями определителя.
2.Построить недостающую проекцию линии, принадлежащей поверхности. Основные положения темы:
1.Для задания поверхности на комплексном чертеже достаточно задать проекции определителя поверхности.
2.Для лучшей наглядности и удобства пользования чертежом следует построить линии обреза поверхности или ее отсека.
3.При построении проекции поверхности проекции определителя дополняются проекциями линий обреза поверхности и проекциями линий контура относительно плоскостей проекций (очерковые линии).
4.Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит линии, лежащей на поверхности.
Линия, принадлежащая поверхности должна быть по возможности графически простой. Графически простыми являются прямая и окружность. Рассмотрим несколько примеров.
4.1. Построение проекций многогранных поверхностей
Пример: ∑ (АВCD, S) – призматическая поверхность. Даны проекции определителя. Построить проекции поверхности, а также горизонтальную проекцию линии m, принадлежащей поверхности (см. рис. 5а). Алгоритмическая часть определителя: l i ∩ ABCD, l i II S.
Решение: Если направляющая ломаная линия задана четырьмя точками (призма четырехугольная), то начинать построение необходимо с проекций плоского четырехугольника ABCD. Проекции трёх любых точек, например, A,B и C берут произвольно, выдерживая примерное расположение задания, а четвёртую точку – т.D строят, как точку плоскости, определённой тремя точками A,B и C. В нашем примере для этого проведены А1 С1 и А2 С2.Т.D2 взята произвольно (примерно, как в задании).
Построения показаны на рис. 5а.
Переходим к построению проекций поверхности. Прежде всего построим проекции рёбер призмы. Горизонтальные проекции рёбер проведены параллельно S1 , а фронтальные – параллельно S2 (см. рис.5б). Поверхность призмы бесконечна, но конкретные задачи решаются с ограниченным отсеком поверхности. Поэтому ограничим длину рёбер любой произвольной точкой
(т. A 1 т. A 2 на рис. 5б).
У призматической поверхности чаще всего берут все рёбра одинаковой длины. Тогда вторая
линия обреза A,B,C,D ABCD, а, следовательно, конгруэнтны и проекции этих линий. Для
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
этого берут, например, фронтальные проекции |
│B2 |
B |
2│=│A2 A 2│=│C2 |
C |
2│=│D2 |
D |
2│, а |
||||||||||
|
A |
|
|
|
|
|
и |
|
1 строят. Построения показаны на рис. |
||||||||
горизонтальные проекции точек |
1, |
B |
1 , |
C |
1 |
D |
|||||||||||
5б. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11
12
42 =(32 )
B2
A2
B1
A1
K1
A2
L2
22
K2
D2 (12 )
31
C1
41
(D1 ) L1
A1
21 =(11 )
Ðèñ. 6
B2
C2
D2
m2
M2
(N2 )
(C2 )
N1 B1
M1 C1
m1 D1
13
Проекции поверхности на рис.5б не обладают наглядностью, т.к. не определена видимость ребер и линий обреза. Видимость определяется отдельно для горизонтальной и фронтальной проекций с помощью конкурирующих точек.
Построения выполнены на рис.6. Ребро призмы не может пересекаться с направляющей
ломаной. Следовательно, пересечение D1C1 и B1 B 1 - кажущееся, здесь две горизонтально -
конкурирующие точки 11 = 21, одна из которых принадлежит ребру B B 1, например, т.2, а другая точка т.1 – принадлежит отрезку DC. Построив фронтальные проекции точек 1 и 2, сравниваем их взаимное расположение: т.2 расположена выше т.1 и поэтому является видимой относительно горизонтальной плоскости проекций. Для определения видимости фронтальной проекции поверхности выбраны фронтально-конкурирующие точки 3 и 4.
Для получения наглядного чертежа многогранной поверхности разность высот горизонтальнопроецирующих конкурирующих точек (например, отрезок 12 22 на рис.6) и разность глубин фронтально-конкурирующих точек (например, отрезок 41 31 на рис.6) следует брать не менее
15 мм.
Без обозначения конкурирующих точек на проекциях многогранных поверхностей задание не подлежит проверке и не принимается к защите.
Решение задачи заканчивается построением проекций линии на поверхности. В нашем примере m2 дана, m1 надо строить. Линия, лежащая на нескольких гранях призмы может быть только ломаной. Поэтому, обозначив вершины этой ломаной K2 ,L2 ,M2 и N2 , построим горизонтальные проекции этих точек на проекциях соответствующих рёбер и соединим их, учитывая видимость.
4.2.Построение проекций линейчатых развертывающихся поверхностей.
Пример. ∑(m, S) – коническая поверхность общего вида. Даны проекции определителя. Построить проекции поверхности, фронтальную проекцию линии n, принадлежащей поверхности (см.рис.7а). Алгоритмическая часть определителя: li ∩ m, li כ S.
В заданиях предусмотрено построение направляющей линии m (m1 - истинный вид) по правилам построения сопряжения двух дуг окружностей дугой данного радиуса (см. рис. 8)
14
Решение представлено на рис. 7б. Построение проекций поверхности следует начать с проекций крайних образующих, т.к. направляющая кривая m-разомкнута. Это образующие SA и SB. Далее следует построить проекции линий контура (очерковых образующих) относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций. Для фронтальной проекции очерковыми образующими являются образующие SC и SD. Для горизонтальной проекции это образующие SE и SF. Очерковые линии S1 F1 и S1 E1 проводятся как касательные к кривой m1 из т. S1.
На рис.8 показано построение касательных к m1 из т. S1 для случая, когда m1 состоит из дуг окружностей.
На рис.9 аналогичные построения выполнены для случая, когда m1 – лекальная кривая. Здесь для нахождения точки касания построена кривая ошибок. Для этого из т.S1 проведено несколько секущих (не менее четырёх). Получившиеся хорды кривой делятся пополам. Точки деления определяют кривую ошибок, пересечение которой с кривой m1 даёт точку касания F1. Видимость линий обреза (образующих SA и SB) определяется отдельно относительно горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.
Рассмотрим определение видимости линий образования поверхности, т.е. образующих SA и SB относительно горизонтальной плоскости проекций. Образующие SE и SF являются очерковыми линиями контура относительно плоскости П1. Возникает вопрос, являются ли S1 B1 и S1 A1 видимыми. Видимость горизонтальной проекции показана с учётом того, что т.S
15
расположена выше всех точек кривой и наиболее удалена от плоскости П2. Если такой метод определения видимости затруднителен, можно воспользоваться конкурирующими точками. Это точки B и K на рис.7б. Аналогично решается вопрос видимости образующих SA и SB относительно плоскости П2.
Переходим к построению фронтальной проекции линии n, принадлежащей поверхности. Задана горизонтальная проекция линии n1 в виде отрезка. Это означает, что линия n – плоская кривая, следовательно n2 - тоже кривая. Выделим главные точки кривой. Главными являются точки:
1 и 8 – ограничивающие кривую,
2 и 7 – находящиеся на очерковых образующих относительно плоскости П1 -SE и SF, 3 и 6 – находящиеся на очерковых образующих относительно плоскости П2 - SD и SC.
Точки 4 и 5 являются промежуточными. Построение фронтальной проекции кривой сводится к определению проекций указанных точек на фронтальных проекциях соответствующих образующих.
16
17