Электродинамика 6
.pdf
ЛЕКЦИЯ 5
Тема 3. ЭЛЕКТРИЧЕСКАЯ ЕМКОСТЬ. КОНДЕНСАТОРЫ.
3.1. Электроемкость проводника.
ОПР. Электрической емкостью уединенного проводника называется его мера способности удерживать электрический заряд.
Электрическая емкость − заряд, повышающий потенциал на 1 В.
C = Q |
, ϕ(r →∞) = 0 |
(1) |
ϕ |
|
|
Емкость
1.Определяется геометрическими размерами проводника, его формой и электрическими свойствами окружающей среды;
2.Она не зависит от материала, от агрегатного состояния, от полостей внутри проводника (так как все избыточные заряды снаружи).
3.Наличие вблизи проводника других тел изменяет его емкость, так как потенциал проводника зависит от расположения всех зарядов в пространстве.
Единица электроемкости.
Единицей электроемкости является 1 Фарад (Ф).
ОПР. Фарад - единица электроемкости, равная емкости такого проводника, который, получая заряд 1 Кулон, изменяет свой потенциал на 1 Вольт.
3.2. Koнденсатор
ОПР. Конденсатором называется устройство, предназначенное для получения нужных величин электроемкости.
•Как правило, конденсатор состоит из двух проводящих тел (обкладок), разделенных диэлектриком. Причем его устройство обычно таково, что электрическое поле почти полностью сосредоточено между обкладками.
•Собственные емкости обкладок малы по сравнению с емкостью конденсатора, которая по определению равна
C = ∆Qϕ
где Q - положительный заряд одной из обкладок (на другой обкладке заряд отрицательный и равен -Q), а ∆ϕ - разность (или изменение) потенциалов между обкладками.
1
Если между обкладками не вакуум, а диэлектрик с проницаемостью ε, то понятно, что напряженность поля в ε раз меньше, разность потенциалов во столько же раз меньше, а емкость, соответственно, больше:
C =εC0 (3)
где С0 -емкость вакуумного конденсатора.
3.2.1. Плоский конденсатор
Он представляет собой две бесконечные параллельные пластины площадью S, находящиеся на расстоянии d друг от друга (рис. 1). Разность потенциалов в этом случае была определена ранее. !!!
Заряд на пластине Q=σS. Тогда емкость
C =ε0 dS . (4)
P.S. Строго говоря, если пластины бесконечны, то и площадь их бесконечна. Имеется в виду конденсатор, расстояние между пластинами которого намного меньше характерного размера пластин.
3.2.2. Сферический конденсатор
Он представляет собой две проводящие концентрические сферы с радиусами R1<R2. На внутренней сфере заряд +Q, на внешней -Q (рис.2). Потенциал на сферах создается как внутренней, так и внешней сферами. Потенциал внутренней сферы
ϕ1 = |
|
|
|
Q |
|
|
|
1 |
|
− |
1 |
|
|
, |
(5) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
4πε0 |
R1 |
R2 |
|
|
|
||||||||||||||
Внешней |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ϕ2 = |
|
|
|
Q |
|
|
|
1 |
− |
|
1 |
|
|
= 0 . |
(6) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4πε |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
0 |
R2 |
R2 |
|
|
|
|||||||||||||||
Следовательно, C = |
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
4πε0 R1R2 |
. (7) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
Q |
|
|
|
|
1 |
|
− |
|
|
|
R2 −R1 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
4πε |
|
|
|
R1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
0 |
|
|
|
R2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
•Если размеры сфер близки, т.е. R2-R1=d<<R, то (7) принимает вид
C = |
4πε R R |
→ |
4πε |
R2 |
= |
ε |
S |
|
|
0 1 2 |
0 |
|
0 |
|
|||
R |
−R |
d |
|
|
||||
|
|
|
|
d |
||||
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
В этом случае сферический конденсатор вырождается в плоский конденсатор.
2
•Если внешнюю сферу удалить на бесконечность (R2→∞), то емкость уединенной сферы радиуса R
C = 4πε0 R . (8)
Отсюда понятно, почему электрическая постоянная измеряется в Фарадах/метр.
•Для примера рассчитаем емкость земного шара, приняв его за проводящий шар радиусом
Rз=6370 км. Тогда в соответствии с (7) емкость Земли Сз=700 мкФ. Очень скромная величина для современных конденсаторов.
3.2.3. Цилиндрический конденсатор
Он представляет две проводящие концентрические очень длинные цилиндрические поверхности с радиусами R1<R2. (рис.3) На внутреннем цилиндре заряд +Q, на внешнем -Q.
Вспомните, что внутри проводящей цилиндрической поверхности поля нет, поэтому разность потенциалов создается только внутренним цилиндром. Она нам известна.!!!!
Заряд цилиндра Q =…. !!!!
Тогда емкость цилиндрического конденсатора
C = 2(πε0 L ). (9) ln R2 
R1
•Если размеры цилиндров близки, т.е. R2-R1=d<<R, то разлагая логарифм в ряд до первого члена, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, (10) |
и емкость конденсатора |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
C = |
2πε0 L |
2πε0 LR |
|
ε |
0 S |
. (11) |
|||||||
|
|
→ |
|
= |
|
|
d |
|||||||
|
ln (R2 R1 ) |
d |
|
|
||||||||||
Цилиндрический конденсатор вырождается в набор плоский.
3.3. Последовательное и параллельное соединения конденсаторов
Соединяя различным образом конденсаторы, можно получить большую емкость или способность выдерживать высокие напряжения. Расчет емкости при соединениях давно и хорошо известен, поэтому ограничимся формулами и схемами.
3
соединение |
параллельное |
последовательное |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
схема соединения
разность потенциалов |
U - одинаково |
U=1+U2+U3=ΣUi |
|||||||||||||||||
(напряжение) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
заряд |
Q=1+Q2+Q3=ΣQi |
|
Q - одинаков |
||||||||||||||||
емкость |
|
|
|
|
|
|
(12а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(12б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.4. Лейденская банка
В середине XVII века в Голландии, в Лейденском университете, ученые под руководством Мушенброка нашли способ накопления электрических зарядов. Таким накопителем электричества была лейденская банка (по названию университета) - стеклянный сосуд, стенки которого снаружи и изнутри оклеены свинцовой фольгой (разрез и общий вид на рис. 4). Фотография одной из первых лейденских банок на рисунке 5.
Лейденская банка, подключенная обкладками к электрической машине, могла накапливать и долго сохранять значительное количество электричества. Если ее обкладки соединяли отрезком толстой проволоки, то в месте замыкания проскакивала сильная искра, и накопленный электрический заряд мгновенно исчезал. Если же обкладки заряженного прибора соединяли тонкой проволокой, она быстро нагревалась, вспыхивала и плавилась, т.е. перегорала, как мы часто говорим сейчас. Вывод мог быть один: по проволоке течет электрический ток, источником которого является электрически
заряженная лейденская банка. Это прообраз конденсатора, рассчитанного на очень высокое напряжение. Емкость незначительна, поэтому их часто соединяют в батареи (рис.5.).
Опишем поучительный опыт с лейденской банкой. Наружная обкладка - металлическая трубка. В нее вставляется диэлектрическая трубка из кварца, а в последнюю - металлический стержень. Заземлив наружную обкладку, банку заряжают от электростатической машины, затем отсоединяют от нее и разбирают. Внутренний стержень вытягивается за изолирующую ручку, вынимается кварцевая трубка, и обе металлические обкладки приводят в соприкосновение друг с другом. Теперь на обкладках зарядов нет. Если банку собрать снова, то она опять окажется заряженной. Это доказывает, что кварцевая трубка поляризована даже тогда, когда она не окружена заряженными обкладками.
4
3.5. Конденсатор конечных размеров.
Для реального конденсатора поле не полностью сосредоточено между обкладками (рис.6). На краях пластины наблюдается дополнительная концентрация заряда, что приводит к увеличению емкости.
Если пластины представляют собой окружности радиуса R, то емкость вычисляется по формуле Кирхгофа, полученной при R>>d.(см. Ландау, т.8 стр 38).
(13)
Данную зависимость можно переписать как
, (14)
и представить эту формулу в виде
R/d |
f(R/d) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1,929 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
1,286 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Затем эту функцию f(R/d) можно легко протабулировать. Ее значения |
||||||||||||||||||
10 |
1,167 |
|||||||||||||||||
20 |
1,094 |
представлены в таблице. Видно, что отличие в емкости менее 10% |
||||||||||||||||
50 |
1,042 |
наблюдается уже при соотношении R/d>10 (данные из БКФ). |
||||||||||||||||
100 |
1,023 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.6. Энергия конденсатора
Известно, что если взять заряженный конденсатор и замкнуть его обкладки через сопротивление, то по цепи потечет ток, проводник нагреется, выделится какое-то количество теплоты. Следовательно, заряженный конденсатор обладал запасом энергии.
Перекидывая ключ на схеме (рис.7), можно периодически заряжать конденсатор от источника и разряжать его через резистор.
Лампочка при этом будет на короткое время вспыхивать.
Найдем выражение для энергии плоского конденсатора.
Нас очень выручит то, что поле между обкладками этого конденсатора однородно.
Тогда
5
Wp |
= |
1 |
(Q1ϕ1 +Q2ϕ2 )= |
1 Q(ϕ1 −ϕ2 )= |
Q |
|
∆ϕ |
|
|
(15) |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
2 |
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
Оказывается, что это выражение справедливо для любого конденсатора. Кроме того, учтем, что часто используют понятие напряжения U, как модуля разности (или изменения) потенциалов. В электростатике это справедливо. Учитывая вышесказанное, энергию конденсатора можно записать как
W = |
Q |
|
∆ϕ |
|
|
= |
QU |
= |
CU 2 |
= |
Q2 |
(16) |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2C |
|||||
2 |
|
|
2 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Все три формы записи эквивалентны и применяются при решении задач в зависимости от того, какая из величин остается постоянной.
3.7. Энергия электрического поля
Мы выяснили, что система точечных зарядов и конденсатор обладают энергией. Можно предположить, что это энергия самих зарядов, в том числе и расположенных на обкладках конденсатора. Однако можно говорить, что это энергия электрического поля, созданного системой зарядов или поля внутри конденсатора. Какая из этих точек зрения более правильная неясно. Ответ может дать только опыт, а в электростатике такой эксперимент невозможен, так как нет поля без зарядов, и зарядов без поля. Поэтому этот волнующий вопрос мы оставим без внимания до тех пор, пока не начнем изучать переменные поля.
Здесь выразим энергию конденсатора через характеристики поля, зная формулу емкости плоского конденсатора, связь между напряженностью U и потенциалом, и очевидное выражение для объема V=Sd
W = CU2 2 = εε2d0 S U 2 = εε2d0 S (Ed )2 . (17)
Таким образом, энергия равна
W = ε2εd0 S (Ed )2 = 12 εε0VE2 . (18)
Естественно, это справедливо, если нет сторонних потерь и диэлектрическая проницаемость постоянна.
Однако нетрудно догадаться, как выглядит это выражение в произвольном случае для бесконечно малого объема dV
δW = 12 εε0 E2dV = 12 DEdV
и окончательно
W = 12 ∫(DEG G)dV . (19)
6
Часто говорят об энергии единицы объема или о плотности энергии электростатического поля
w =(DEG G)
2 . (20)
Формула (20) соответствует духу теории близкодействия, так как выражает энергию через характеристики поля. Сравните с (17). Эти формулы эквивалентны.
3.7.1. Энергия заряженной сферы
Вновь вернемся к задаче о заряженной сфере. Добавим вокруг нее среду с диэлектрической проницаемостью ε. Рассчитаем еще двумя способами ее энергию. Емкость ее известна, тогда
W = |
Q2 |
= |
kQ2 |
. |
(21) |
|
2C |
2εR |
|||||
|
|
|
|
Теперь рассчитаем энергию поля, созданного этой сферой, не забыв о том, что внутри поля нет.
(22)
Как и ожидалось, результаты (22) и (22) совпадают.
Заметим, что потенциальная энергия подчиняется принципу минимума:
в любой системе проводников при фиксированных значениях потенциалов заряд распределяется таким образом, чтобы энергия, запасенная во всем поле была минимальна.
Материал для сам.работы и семинаров 1. Классический радиус электрона
Будем считать, что электрон - это маленький шарик с зарядом q=е, радиусом R и
диэлектрической проницаемостью ε1. Вокруг него среда с диэлектрической проницаемостью
ε2.
Снаружи шара все аналогично заряженной сфере, так как поля шара и сферы снаружи одинаковы. Тогда энергия поля снаружи равна
Внутри равномерно заряженного шара поле тоже известно, поэтому
Интеграл несложный. Мы легко получаем энергию поля внутри шара
7
Очевидно, что полная энергия заряженного шара
Согласно знаменитому соотношению Эйнштейна между массой и энергией
W=mc2
где m- масса электрона, с- скорость света в вакууме. Приравнивая, получаем
На коэффициент в скобках не обращают внимания, так как непонятно, что такое диэлектрическая проницаемость среды внутри электрона. Ясно, что эта величина находится в диапазоне от 0,5 до 0,6, поэтому ее для оценки считают равной единице, и определяют классический радиус электрона по формуле
Расчет показывает, что эта величина равна
Rе=2,8179380 10-15м.
Вспомним, что радиус самого маленького атома водорода - первый боровский радиус Rb=0,529 10-10 м , и убедимся, что атом в, основном, пуст, и напоминает солнечную систему в миниатюре.
2. Точечный заряд и бесконечная плоскость
Вычислим энергию, которой обладает точечный заряд вблизи заземленной проводящей плоскости. Сила, действующая на заряд известна. Вычислим работу, совершаемую этой силой, при перемещении заряда в бесконечность. При бесконечном расстоянии энергия - 0.
(23)
теперь найдем ту же самую величину как энергию взаимодействия двух точечных зарядов: самого заряда и его зеркального отображения по формуле
8
Результат получился в 2 раза больше?! Дело в том, что за плоскостью на самом деле поля нет, поэтому от полученного выражения нужно оставить только половину, что как раз и совпадает с (23).
3. Конденсатор с частичным заполнением-1
В качестве дополнительной тренировки рассчитаем силу, действующую на единице поверхности диэлектрика, если заряженный конденсатор заполнен им не полностью, а частично. Конденсатор отключен от источника питания.
Сначала рассмотрим следующую конфигурацию (рис.16.6). Данный конденсатор можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно. Тогда их емкости соответственно
|
|
и |
|
|
, а общая емкость |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Энергия конденсатора
Тогда сила
(24)
Если ε1<ε2, то Fx<0. Если ε1>ε2, то Fx>0. Очевидно, что диэлектрик втягивается в область с меньшей диэлектрической проницаемостью. Направление силы легко было определить, как силу, действующую со стороны поля на поляризационный заряд. И, наконец, если конденсатор заполнится полностью диэлектриком с большей диэлектрической проницаемостью, то его энергия станет меньше в соответствии с принципом минимума.
Выразим формулу (24) через характеристики поля, учитывая, что Q=σS=DS. Заметим, что индукции по обе стороны от границы одинаковы. Тогда
9
Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна разности плотности энергий
(25)
Эту же формулу можно получить быстрее, используя
где V1=Sx, V2=S(d-x) - объемы областей, заполненных каждым диэлектриком. При смещении границы плотности энергии не меняются. После дифференцирования вновь получаем формулу (25).
4. Конденсатор с частичным заполнением-2
Пусть теперь диэлектрик заполняет конденсатор по-другому (рис.16.7). Сторона пластины равна а. Очевидно, что такую систему можно рассмотреть как два параллельно соединенных конденсатора. Далее все делаем по аналогии и получаем следующее выражение для силы
Опять видим, что сила направлена в сторону диэлектрика с
меньшей диэлектрической проницаемостью. Учтем, что при этом распределение зарядов на пластинах конденсатора
меняется. Однако напряженности поля справа и слева от границы равны.
Через характеристики поля сила, действующая на единицу поверхности, выражается следующим образом
Можно сделать общий вывод:
Сила, действующая на границу диэлектрика, пропорциональна разности плотностей энергии электростатического поля и направлена в сторону диэлектрика с меньшей диэлектрической проницаемостью.
10