Электродинамика 9

Лекция

Магнитное поле (продолжение)

Закон Электромагнитной индукции. Энергия магнитного поля.

1. Механическая работа при перемещении проводников с током в магнитном поле

Так как на провод с током в магнитном поле действуют Рис.1 силы, то при его перемещении совершается работа.

Пусть прямолинейный проводник перемещается по рельсам, по которым течет ток, из положения 1 в 2: (рис.1)

Перемещение dx, его длина l, поле BG , перпендикулярно плоскости рамки.

Сила Ампера

FG = IG×BG F = IB

при перемещении совершает работу

dA = IlBdx = IBdS ,

где dS =ldx - площадь перемещения проводника.

Если индукция BG направлена под углом к перемещению, то работу совершает лишь сила, направленная вдоль перемещения.

а работа перпендикулярной к перемещению составляющей силы F равна нулю. Таким образом, имеем

ds/dl=dα , dS=dl l dα ,

l - расстояние элемента dl до оси вращения,

dσ– дуга,

получаем аналогичное выражение для работы

F=IdlBn,

dA=I dl Bn ldα= IBndS

1

Элементарная работа, совершаемая при произвольном движении проводника с током в магнитном поле равна:

dA=IBndS (1)

Вспомним, что величина dФ=BndS – это магнитный поток.

Магнитный поток (поток магнитной индукции) равен полному числу линий магнитной индукции, проходящих через данную поверхность

GG

Φ= ∫BdS = ∫BndS

S S

Элементарная работа, совершаемая силами магнитного поля при изменении магнитного потока, равна dA=IdФ, а полная работа при изменении магнитного потока от величины Ф1

до Ф2:

Φ2

A = ∫ IdΦ = I (Φ2 −Φ1 ) (2)

Φ1

2. Электромагнитная индукция

2

Циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна охватываемому им току

- магнитное поле - вихревое, порождается электрическими движущимися зарядами, его силовые линии всегда замкнуты, магнитных зарядов нет.

Изучая явление электромагнитной индукции, Ленц в 1833 г. установил, что индукционный

ток всегда направлен таким образом, что его действие противоположно действию причины, вызывающей этот ток.

При вдвигании магнита в соленоид индукционный ток выталкивает магнит.

Рис.4

Закон Ленца вытекает из закона сохранения энергии: индукционные токи совершают работу, т.е. возникают силы, противоположные движению.

Поэтому движения магнита должна быть совершена дополнительная работа внешних сил.

Возникновение индукционного тока показывает, что в проводнике при электромагнитной индукции появляется электродвижущая сила.

Э.Д.С. индукции появляется, когда меняется число силовых линий магнитного поля, проходящих через контур. Но полное число силовых линий магнитного поля, проходящих через какую-либо поверхность есть магнитный поток.

Таким образом, причина появления э.д.с. электромагнитной индукции есть изменение

магнитного потока.

На рисунке. 5 проиллюстрировано правило Ленца на примере неподвижного проводящего контура, который находится в однородном магнитном поле, модуль индукции которого увеличивается во времени.

В этом примере

∆Φ∆t > 0, εинд < 0 .

Индукционный ток Iинд течет навстречу выбранному положительному направлению обхода контура

Рис. 5. Иллюстрация правила Ленца.

3

Правило Ленца отражает тот экспериментальный факт, что εинд и ∆Φ∆t всегда имеют противоположные знаки (знак «минус» в формуле Фарадея).

Правило Ленца имеет глубокий физический смысл – оно выражает закон сохранения

энергии.

Напомним: Магнитный поток Φ через площадь S контура

Рис. 6. Магнитный поток черезGзамкнутый контур. Направление нормалиG n и выбранное

положительное направление l обхода контура связаны правилом правого буравчика.

Закон Фарадея: Э.Д.С. электромагнитной индукции равна скорости изменения магнитного потока через площадь, ограниченную контуром:

εинд = − ddtΦ

Знак "-" в этой формуле соответствует правилу Ленца.

Электромагнитная индукция возникает во всех случаях, когда изменяется магнитный поток, пронизывающий контур с током, в том числе, когда это изменение потока вызвано изменением тока в самом контуре.

При всяком изменении силы тока в каком-либо контуре в нем возникает ЭДС индукции, которая вызывает дополнительный ток в контуре. Это явление называется самоиндукцией.

Направление тока самоиндукции подчиняется правилу Ленца.

Напряженность магнитного поля пропорциональна силе тока в катушке. Поэтому и магнитный поток, пронизывающий катушку, будет пропорционален току:Ф=LI.

Коэффициент L называют коэффициентом самоиндукции или индуктивностью контура.

Единица магнитного потока [Вебер] = [1В*1с] - магнитный поток, при убывании которого до нуля за 1с в контуре возникает э.д.с. 1В.

Изменение магнитного потока, пронизывающего замкнутый контур, может происходить по двум причинам.

1.Магнитный поток изменяется вследствие перемещения контура или его частей в постоянном во времени магнитном поле. Это случай, когда проводники, а вместе с ними и свободные носители заряда, движутся в магнитном поле.

4

На свободные заряды на этом участке контура действует сила Лоренца. Одна из составляющих этой силы, связанная с переносной скоростьюv зарядов, направлена вдоль проводника. Эта составляющая указана на рис. 7. Она играет роль сторонней силы. Ее

модуль равен FЛ = eυB

Работа силы FЛ на пути l равна A = FЛ · l = eυBl.

По определению ЭДС εинд = Ae = eBl .

В других неподвижных частях контура сторонняя сила равна нулю. Соотношению для инд можно придать привычный вид. За времы ∆t площадь контура изменяется на ∆S = lυ∆t. Изменение магнитного потока за это время равно ∆Φ = Blυ∆t. Следовательно,

согласованные между собой по правилу правого буравчика направление нормали n и

положительное направление обхода контура l , как это сделано на рис. 7. Если это сделать, то легко прийти к формуле Фарадея.

Если сопротивление всей цепи равно R, то по ней будет протекать индукционный ток, равный Iинд = инд/R. За время ∆t на сопротивлении R выделится джоулево тепло

∆Q = RIинд2 ∆t = (vBlR )2 ∆t .

Возникает вопрос: откуда берется эта энергия, ведь сила Лоренца работы не совершает! Этот парадокс возник потому, что мы учли работу только одной составляющей силы Лоренца. При протекании индукционного тока по проводнику, находящемуся в магнитном поле, на свободные заряды действует еще одна составляющая силы Лоренца, связанная с относительной скоростью движения зарядов вдоль проводника. Эта составляющая

ответственна за появление силы Ампера FA . Для случая, изображенного на рис. 7, модуль силы Ампера равен FA = IBl. Сила Ампера направлена навстречу движения проводника;

5

поэтому она совершает отрицательную механическую работу. За время ∆t эта работа Aмех

Движущийся в магнитном поле проводник, по которому протекает индукционный ток, испытывает магнитное торможение. Полная работа силы Лоренца равна нулю.

Джоулево тепло в контуре выделяется либо за счет работы внешней силы, которая поддерживает скорость проводника неизменной, либо за счет уменьшения кинетической энергии проводника.

2. Вторая причина изменения магнитного потока, пронизывающего контур, – изменение во времени магнитного поля при неподвижном контуре. В этом случае возникновение ЭДС индукции уже нельзя объяснить действием силы Лоренца. Электроны в неподвижном проводнике могут приводиться в движение только электрическим полем. Это электрическое поле порождается изменяющимся во времени магнитным полем. Работа этого поля при перемещении единичного положительного заряда по замкнутому контуру равна ЭДС индукции в неподвижном проводнике. Следовательно, электрическое поле, порожденное изменяющимся магнитным полем, не является потенциальным. Его называют вихревым электрическим полем. Представление о вихревом электрическом поле было введено в

физику великим английским физиком Дж. Максвеллом (1861 г.).

Явление электромагнитной индукции в неподвижных проводниках, возникающее при изменении окружающего магнитного поля, также описывается формулой Фарадея.

Таким образом, явления индукции в движущихся и неподвижных проводниках протекают одинаково, но физическая причина возникновения индукционного тока оказывается в этих двух случаях различной: в случае движущихся проводников ЭДС индукции обусловлена силой Лоренца; в случае неподвижных проводников ЭДС индукции является следствием действия на свободные заряды вихревого электрического поля, возникающего при изменении магнитного поля.

3. Самоиндукция

При всяком изменении силы тока в контуре, в нем возникает э.д.с. индукции, вызывающее дополнительный индукционный ток.

Это явление самоиндукции, а токи называются токами самоиндукции.

При замыкании ключа лампочка не сразу зажигается, а постепенно, при размыкании - гаснет также постепенно. Таким образом, магнитное поле обладает энергией.

Подобно тому, как в заряженном конденсаторе имеется запас электрической энергии, в катушке, по виткам которой протекает ток, имеется запас магнитной энергии.

6

Ток в цепи возникает под действием ЭДС самоиндукции. Источником энергии, выделяющейся при этом в электрической цепи, является магнитное поле катушки.

Из закона сохранения энергии следует, что вся энергия, запасенная в катушке, выделится в виде джоулева тепла.

По закону Био-Савара величина магнитной индукции В пропорциональна току I в катушке, поэтому и магнитный поток, пронизывающий катушку, пропорционален току.

L=Ф, если I=1

Для э.д.с. индукции получаем выражение

ε= −L dIdt

-э.д.с. индукции пропорциональна скорости изменения тока.

Индуктивность L контура зависит от его формы, размеров и свойств окружающей среды.

ПРИМЕРЫ 1) Индуктивность соленоида.

Так как магнитное поле соленоидаB = µ0 (NIl ), (l -длина соленоида, N - число витков), следовательно, магнитный поток через 1 виток равен Φ1 = µ0 (NIl )S , S - площадь витка.

Индуктивность соленоида в вакууме L=Ф/I, следовательно

L = µ0 Nl2S

Из этой формулы определим единицу измерения магнитной постоянной µ0

Скорость убывания индукционного тока в контуре по 2 закону Кирхгофа

7

4. Взаимная индукция

Для двух контуров с током существует магнитная связь, т.к. линии магнитной индукции контура 1 пересекают контур 2 и наоборот.

Магнитный поток Ф21 через контур 2, создаваемой контуром 1, пропорционален току I1 в контуре 1.

Ф21=L21I1

И наоборот Ф12=L12I2 - магнитный поток в контуре 1.

Коэффициенты взаимной индукции для контуров равны

L21=L12

Коэффициент взаимной индукции двух однослойных тороидальных катушек, намотанных на один каркас.

Напряженность магнитного поля катушки 1:

.

Поток через катушку 2: Φ1 = B1S = µ0 N1I1S /1 - через 1 виток.

Через все витки катушки 2 магнитный поток Φ21 = N2Φ1 = µ0 N1N2 SI1 /1.

Коэффициент взаимной индукции

L12 = µ0 N1N2 S = L21

Изменение магнитного потока, пронизывающего обе катушки по какой-либо причине, вызывает появление в них Э.Д.С

ε1 = −N1 ddtΦ, ε2 = −N2 ddtΦ

Если изменение потока dФ/dt вызвано, например, изменением тока в катушке 1, то отношение Э.Д.С ε2 в катушке 2 к ε1:

ε2/ε1=N2/N3=k

называется коэффициентом трансформации Э.Д.С.

Такое устройство называется трансформатором.

Схематическое устройство трансформатора. 1 — первичная обмотка, 2 — вторичная

Согласно закону сохранения энергии, мощности токов в обеих обмотках трансформаторов должны быть одинаковыми.

8

ε1I1=ε2I2

т.е.

ε2/ε1=I1/I2=k

Трансформатор повышает (понижает) ток и э.д.с. при изменении э.д.с. в первичной обмотке.

5. Энергия магнитного поля

Магнитное поле порождается током и исчезает вместе с ним. Следовательно, часть энергии тока всегда идет на создание магнитного поля.

Магнитное поле обладает энергией, равной работе, затраченной током на его создание. Электромагнитная индукция обусловлена взаимным превращением энергии электрического тока и магнитного поля.

Пусть в контуре изменяется ток, что сопровождается изменением магнитного потока

dФ=LdI

При изменении потока ток совершает работу

dA=IdФ=LIdI

Полная работа тока по созданию магнитного потока от 0 до Ф (т.е. нарастания тока от 0 до I) равна

Следовательно, энергия магнитного поля, связанного с контуром

= LI 2 Wm 2

(полная работа, необходимая для установления в цепи тока I).

Для увеличения тока в электрической цепи необходима некоторая работа. Эту работу производит источник тока, включенный в цепь.

При уменьшении тока в цепи освобождается некоторая энергия, и источник тока совершает меньшую работу, чем при постоянном токе.

При выключении источника тока такая же работа выполняется токами самоиндукции. То есть данное выражение описывает энергию, запасаемую контуром с током. Эта энергия получила название собственной энергии тока.

Энергия однородного магнитного поля, заключенного в объеме V:

W=µH2V/8π.

9

Плотность энергии:

u=W/V.

Если поле не однородно, то энергия находится с помощью интегрирования по всему объему, занимаемому полем:

Wm =V∫µ8Hπ2 dV

Пример - Энергия магнитного поля в соленоиде:

Напряженность магнитного поля соленоида

H=NI/l → I=Hl/N,

индуктивность соленоида

L = µ0 Nl2S .

Тогда энергия магнитного поля в соленоиде будет равна

,

а плотность энергии магнитного поля равна

.

Индуктивность катушки, намотанной на сердечник

L = µ0 µ Nl2 S

где:

µ0 — магнитная постоянная µ — относительная магнитная проницаемость материала сердечника

s — площадь сечения сердечника

l — длина средней линии сердечника N — число витков

При последовательном соединении катушек общая индуктивность равна сумме индуктивностей всех соединённых катушек

L= ∑Li

i=1

При параллельном соединении катушек общая индуктивность равна

10