4. Контрольные вопросы и задания

1. Каковы должны быть экспериментальные условия для наблюдения дифракции Фраунгофера?

2. Почему возможно наблюдение картины дифракции Фраунгофера при конечных расстояниях между источником света, препятствиями и экраном?

3. Как оценить диаметр тонкой проволочки, используя картину дифракции лазерного излучения на этой проволочке?

4. Каким образом влияют на вид дифракционной картины в случае дифракции на двух щелях ширина отдельной щели и расстояние между ними?

5. От каких параметров, характеризующих решетку, зависит положение главных максимумов дифракционной картины?

6. Выведите условия побочных максимумов для дифракционной решетки.

7. Каким условием определяется наибольший порядок спектра m_max ?

8. Какую максимальную длину волны можно наблюдать при дифракции на решетке с периодом d ?

9. Определите характер спектров дифракционной решетки, если ее постоянная равна: а) удвоенной, б) утроенной, в) учетверенной ширине щели.

10. Как изменится дифракционная картина при наклонном падении плоской монохроматической световой волны на дифракционную решетку?

11. При каком условии m-й главный максимум для дифракционной решетки с периодом d и шириной щели b обращается в нуль?

12. Какой максимальный порядок спектра может наблюдаться при дифракции света длины волны l на решетке с периодом d ?

13. В каких направлениях дифракционная решетка дает минимальную интенсивность света?

14. Определите минимальное число штрихов в решетке, которая может разрешить натриевый дуплет в спектре первого порядка (l₁ = 589,0 нм; l₂ = 589,6 нм).

Поляризация света

Лабораторная работа

Линейный электрооптический эффект (эффект поккельса)

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение линейного электрооптического эффекта и закономерностей прохождения поляризованного света через анизотропную среду.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: маломощный непрерывный лазер, электрооптический модулятор, источник питания модулятора, поляризатор, фотоприемник, оптическая скамья.

1. Теоретическая часть

Электрооптический эффект состоит в изменении показателя преломления среды под действием электрического поля. Это изменение может быть как первого (линейный электрооптический эффект Поккельса), так и второго (квадратичный электрооптический эффект Керра) порядков относительно приложенного поля.

Изменение показателя преломления среды под действием электрического поля широко используется в лазерной физике и технике. Сюда следует отнести электрооптические затворы для модуляции добротности лазеров, системы сканирования световых пучков, модуляция света в приемо-передающих устройствах систем оптической связи и т.д.

1.1. Распространение света в анизотропной среде [1¸6, 10]

В изотропной среде связь между вектором напряженности электрического поля E и вектором индукции D дается соотношением

(1)

где e – постоянная скалярная величина, не зависящая от направления распространения волны, называемая диэлектрической проницаемостью. Поэтому вектор D совпадает по направлению с вектором E.

В случае анизотропной среды каждая компонента D зависит от величины всех трех составляющих электрического поля E :

(2)

(Индексы i, j=1,2,3 соответствуют декартовым координатам x,y,z.)

Коэффициенты e_ij являются компонентами тензора второго ранга –тензора диэлектрической проницаемости. Всю совокупность возможных значений диэлектрической проницаемости можно представить при помощи трехосного эллипсоида с осями x, y, z. Значение диэлектрической проницаемости для любого направления выражается длиной радиус-вектора эллипсоида, проведенного по этому направлению. Три значения диэлектрической проницаемости e_x, e_y, e_z , соответствующие полуосям эллипсоида, называются главными значениями диэлектрической проницаемости.

Используя связь между D и E, характеризующую анизотропию среды, можно решить систему уравнений Максвелла, причем в качестве осей координат удобно выбрать главные направления диэлектрической проницаемости (главные оси кристалла) ([1] ¸ [6]). Распространяющаяся в анизотропной среде электромагнитная волна обладает следующими особенностями [2]:

1. По заданному направлению r могут распространяться две плоских линейно поляризованных волны с двумя различными фазовыми скоростями, соответствующими двум различным плоскостям колебания электрического вектора волны. Эти две плоскости колебания определяются свойствами кристалла (тензором диэлектрической проницаемости) и всегда взаимно перпендикулярны.

Рис. 1

2. В плоскости волнового фронта, т.е. в плоскости, перпендикулярной r, расположен вектор индукции D и вектор напряженности магнитного поля H, совпадающий по направлению с вектором магнитной индукции B = mH (не будем рассматривать магнитную анизотропию, т.к. она в оптическом диапазоне встречается и используется крайне редко). Вектор же напряженности электрического поля E в анизотропной среде не совпадает с D и образует некоторый угол a (рис.1).

Плоскость фронта волны, распространяющейся вдоль вектора e_n есть плоскость DH. Плоскость EH, обладающая тем свойством, что перпендикуляр к ней совпадает с направлением энергии световой волны (вектором Пойнтинга), повернута относительно DH на угол a. Таким образом, в анизотропной среде в общем случае направление энергии (луча) e_s не совпадает с направлением волновой нормали . Совпадение имеет место только в том случае, если e_n направлено вдоль одного из трех главных осей кристалла.

В оптике обычно имеют дело не с диэлектрической проницаемостью среды, а с показателем преломления n = e^1/2 , определяющем фазовую скорость распространения света v = c/n .

Для нахождения показателя преломления в анизотропной среде строят эллипсоид, называемый оптической индикатрисой. Если X,Y,Z – главные оси кристалла, то уравнение оптической индикатрисы имеет вид:

(3)

где –главные показатели преломления среды.

Рис. 2

Оптическая индикатриса имеет следующее важное свойство. Проведем из начала координат прямую OR в произвольном направлении (рис.2). Построив центральное сечение индикатрисы, перпендикулярное этой прямой, получим эллипс. Тогда показатели преломления для двух волн с волновой нормалью OR равны длинам полуосей этого эллипса OA и OB. Направление поляризаций волн совпадает с направлением осей эллипса. Вектор индукции D в плоско поляризованной волне, показатель преломления для которой равен OA, колеблется параллельно OA. Аналогично в волне для которой показатель преломления равен OB, вектор D колеблется параллельно OB. Отсюда, как частный случай, следует, что для волн с волновой нормалью X показатели преломления равны n_y и n_z, а вектор D в этих волнах параллелен соответственно Y или Z.

Симметрия кристалла налагает определенные требования на форму и ориентацию оптической индикатрисы. Например, для кубических кристаллов симметричными преобразованиями (т.е. такими преобразованиями, после которых кристалл переходит сам в себя) являются повороты относительно всех трех его осей. Отсюда следует, что оптическая индикатриса кубических кристаллов является сферой. Т.к. все центральные сечения индикатрисы в этом случае представляют окружности, эти кристаллы не обладают анизотропией.

Для гексагональных, тетрагональных (к этому классу относятся кристаллы дигидрофосфата калия KH₂PO₄ (сокращенно KDP)) и тригональных (ниобат лития LiNbO₃) кристаллов индикатриса представляет собой эллипсоид вращения вокруг главной оси симметрии. Принимая эту ось за ось z, уравнение индикатрисы можно записать в виде:

(4)

Центральное сечение, перпендикулярное главной оси (и только это сечение), есть окружность радиуса n_o. Поэтому для света с волновой нормалью, направленной вдоль главной оси Z, двулучепреломление отсутствует. В направлении, перпендикулярном плоскости кругового сечения, всем волнам соответствует одна и та же скорость, поляризация может быть любой. Направление, перпендикулярное круговому сечению, называется оптической осью кристалла. Для волн, идущих вдоль оптической оси среда ведет себя как изотропная. Такие кристаллы с одним круговым сечением индикатрисы называются одноосными.

Для трех остальных кристаллографических систем (орторомбической, моноклинной и триклинной) индикатриса является трехосным эллипсоидом. Она имеет два круговых сечения. Такие кристаллы называются двуосными.

Плоскость, проходящая через луч, направленный под углом к оптической оси и оптическую ось, называется главной. Из этого определения и определения главной оси следует, что у волны, вектор E которой направлен перпендикулярно главной плоскости, скорость не зависит от направления. Такая волна называется обыкновенной. Соответствующие ее параметры (скорость, показатель преломления) обозначаются индексом “о” (“ordinary”). У волны, вектор E которой лежит в главной плоскости, скорость зависит от направления, т.к. соответствующая полуось эллипса в сечении эллипсоида изменяется с изменением направления волны. Такая волна называется необыкновенной. Соответствующие ей параметры (скорость, показатель преломления) обозначаются индексом “е” (“extraordinary”) . Т.е., показатель преломления необыкновенной волны – величина переменная, зависящая от направления. Значение n_e, приводящееся для данного кристалла в справочной литературе – это максимально отличающееся от “обыкновенного” показателя преломления n_o значение. Кристалл называется положительным, если n_e – n_o > 0, и отрицательным при n_e – n_o < 0 (кристаллы KDP и ниобата лития являются отрицательными).

Рассмотрим распространение поляризованного излучения в кристаллической пластинке. Линейно поляризованный свет, падая на кристалл, дает начало двум когерентным волнам, распространяющимся с различной скоростью и приобретающим после прохождения пластинки разность фаз, зависящую от толщины кристалла и различия в показателях преломления обеих волн. Так как колебания в этих волнах взаимно перпендикулярны, то они в общем случае ведут к образованию эллиптически поляризованного света. В точках, соответствующих различным разностям хода, форма и ориентация эллипсов могут быть различными, но интенсивность света везде одна и та же. Поместив после кристалла анализатор, мы от каждой волны пропускаем лишь ту компоненту колебания, которая параллельна его плоскости поляризации. Разность фаз между рассматриваемыми волнами на выходе кристаллической пластинки толщиной l определяется формулой:

(5)

где n₁ , n₂ – показатели преломления для двух волн, l – длина волны света.

1.2. Эффект Поккельса

Эффект Поккельса возможен лишь в кристаллах, не имеющих центра симметрии. В кристаллах, имеющих центр симметрии, возможен только квадратичный эффект Керра.

В результате наложения электрического поля на кристалл происходят поворот и деформация оптической индикатрисы. Если в качестве координатных осей выбрать главные оси кристалла, то в отсутствие электрического поля уравнение оптической индикатрисы можно записать в виде:

(6)

где , а индекс “0” отражает тот факт, что на кристалл не наложено поле.

При наложении электрического поля E = {E_x; E_y; E_z} уравнение индикатрисы принимает вид:

(7)

где коэффициенты a_ij зависят от поля следующим образом:

(8)

Коэффициенты r_ij называются электрооптическими коэффициентами, максимальное число их равно 18, однако число отличных от нуля и число независимых электрооптических постоянных значительно меньше и определяется симметрией кристалла.

Рассмотрим электрооптический эффект в кристалле ниобата лития. Это одноосный кристалл (a₁₀ = a₂₀), у которого отличны от нуля следующие электрооптические коэффициенты: r₁₃ = r₂₃; r₃₃; r₄₂ = – r₅₁; r₂₂ = – r₁₂ = – r₆₁ . Уравнение оптической индикатрисы для ниобата лития при произвольном направлении электрического поля имеет вид:

(9)

Видно, что при наличии электрического поля оси эллипсоида x^’, y^’, z^’ не совпадают с исходными кристаллографическими осями x, y, z. Для того, чтобы найти новые направления осей, необходимо привести (9) к каноническому виду.

Рассмотрим наиболее интересный в практическом отношении случай. Пусть электрическое поле перпендикулярно оптической оси z, т.е. E_z = 0; E_y ¹ 0; E_x ¹ 0. В этом случае уравнение индикатрисы принимает вид:

(10)

Если свет распространяется вдоль оптической оси кристалла (случай, когда поле приложено перпендикулярно направлению распространения света, называется поперечным электрооптическим эффектом), то для нахождения главных показателей преломления необходимо рассмотреть сечение оптической индикатрисы плоскостью, перпендикулярной z. Это сечение является эллипсом, удовлетворяющим уравнению:

(11)

Главные оси эллипса x^’, y^’ повернуты на угол a относительно кристаллографических осей x, y, причем

(12)

В главных осях уравнение эллипса (11) запишется в виде:

(13)

где . Т.о., показатели преломления для света, поляризованного в главных направлениях, равны:

(14)

Тогда, согласно (5), разность фаз между волнами после прохождения пластинки толщиной l равна:

(15)

где U – приложенное напряжение; d – размеры кристалла вдоль поля. Следует отметить, что если свет распространяется не точно по оптической оси, то в (15) появляется начальный сдвиг фаз

(16)

обусловленный естественной, не связанной с полем анизотропией. Индекс “е” вверху означает текущее (при произвольном угле между волной и оптической осью) значение показателя преломления для необыкновенной волны, которое может изменяться от n_o до n_e.

1.3. Статическая модуляционная характеристика электрооптического модулятора

Как уже указывалось, если на кристаллическую пластинку падает линейно поляризованный свет, то на выходе ее получается свет эллиптически поляризованный в общем случае. Прикладывая электрическое поле к кристаллу, мы меняем форму и ориентацию эллипса, т.е. осуществляем модуляцию света по поляризации, но интенсивность света остается неизменной. Для получения модуляции интенсивности света необходимо кристалл поместить между поляризатором и анализатором, как это показано на рис.3. Если анализатор скрещен с поляризатором, то интенсивность на выходе такого модулятора равна:

(17)

где I₀ – максимальная интенсивность проходящего света.

Рис. 3

Рис. 4

Зависимость интенсивности света от статического напряжения U изображена на рис.4. Для изменения интенсивности света от нуля до максимального значения необходимо приложить к кристаллу напряжение U_l/2 . Это напряжение называется полуволновым , т.к. разность хода между обыкновенной и необыкновенной волнами в этом случае равна l/2. Из (15) нетрудно определить связь между полуволновым напряжением и параметрами кристалла:

(18)

При другой конфигурации поля и осей кристалла аналогичные формулы, естественно, будут иметь иной вид.