Лабораторная работа № 1

Средние величины

Цель работы:

1. Изучить основные виды средних величин, свойства средней арифметической, правило выбора средней величины.

2. Научиться рассчитывать средние величины с учетом имеющихся данных.

Теоретические вопросы.

1. Средняя арифметическая величина. Свойства средней величины

2. Другие формы средних величин. Применение средней величины

Рекомендации для решения задач

Средняя величина – это обобщающий показатель, характеризующий типический уровень явления в конкретных условиях места и времени. Он выражает величину признака, отнесенную к единице совокупности.

Все виды средних величин принадлежат к общему типу степенных средних. Различаются они лишь показателем. Степенная средняя степени k есть корень к-той степени из частного от деления суммы индивидуальных значений признака в к-й степени на число индивидуальных значений:

При к=1 получаем арифметическую среднюю, при к=2 - квадратическую среднюю, при к=3 - кубическую, при к=0 - геометрическую, при к= -1 - гармоническую. Чем выше показатель степени к, тем больше значение средней величины. Если все исходные значения признака равны, то все средние равны этой константе. Итак, имеем следующее соотношение, которое называется правилом мжорантности средних:

Все виды средних можно представить в следующей таблице:

Значение k	Наименование средней	Формула
		простая	взвешенная
-1	гармоническая
 0	геометрическая
1	арифметическая
2	квадратическая

Вопрос о выборе средней решается в каждом отдельном случае, исходя из задачи исследования, материального содержания изучаемого явления и наличия исходной информации. Главное требование к формулам расчета среднего значения состоит в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержание: полученное среднее значение может заменить все индивидуальные значения признака без нарушения связи индивидуального и сводного показателя. Итоговый сводный показатель называется определяющим, поскольку характер его взаимосвязи с индивидуальными значениями определяет конкретную формулу расчета средней величины. При выборе показателя используют следующее правило: определяют три взаимосвязанных показателя, включая и тот, по которому требуется рассчитать среднее значение. Если имеются первичные данные по двум каким-либо показателям из этого списка, то отсутствующий третий и будет определяющим. Если имеются данные по всем трем, то исследователь вправе использовать формулу как средней арифметической, так и средней гармонической, результат должен совпасть.

Примеры решения задач

Задача 1.

Результаты торгов на российских биржах 1 июля 1996 г. характеризуется следующими данными:

Биржа	Курс доллара США, руб	Объем продаж, млн. долл.
Московская	5115	8,79
Санкт-Петербургская	5138	7,84
Самарская	5126	1,88
Уральская	5129	6,21
Азиатско-Тихоокеанская	5100	2,79
Ростовская	5137	0,55
Нижегородская	5125	0,03
Сибирская	5108	2,48

Рассчитайте средний курс доллара

Решение:

Так как исходные данные не группированы, то необходимо воспользоваться формулой простой средней арифметической:

руб.

Задача 2.

Имеются следующие данные о распределении населения одной из областей Западной Сибири по среднедушевым денежным доходам (в %):

Группы населения по денежным доходам на душу населения в среднем за месяц, тыс. руб.	1995	1996
Всего	100	100
в том числе:
до 100,0	3,7	0,9
100,0 - 150,0	10,5	3,5
150,0 - 200,0	14,4	6,3
200,0 - 250,0	14,5	8,2
250,0 - 300,0	12,7	9
300,0 - 350,0	10,4	8,9
350,0 - 400,0	8,1	8,4
400,0 - 450,0	6,2	7,6
450,0 - 500,0	4,7	6,7
500,0 - 600,0	6,2	10,9
600,0 - 700,0	3,5	8,9
700,0 - 800,0	2,0	5,8
800,0 - 900,0	1,2	4,2
900,0 - 1000,0	0,7	3,0
свыше 1000,0	1,2	7,7

Определите среднедушевой месячный доход населения области в 1995 и 1996 годах, сравните результаты.

Решение:

Среднедушевой месячный доход населения в общем случае определяется как:

Ср. душевой доход = Совокупные денежные доходы всего населения

Общая численность населения

Введем условные обозначения:

х_i – денежные доходы на душу населения;

w_i - доля населения в общем итоге;

x_i^/ - середины интервалов.

Денежные доходы населения представлены в виде групп, причем первый и последний интервал является открытым. Для расчета совокупных денежных доходов в группировках интервалы заменяют на их середины (при этом исходят из предположения, что внутри интервала значения признака распределено равномерно), а открытые интервалы закрывают. При этом величина первого интервала условно приравнивается к величине второго, тогда его нижняя граница будет равна 50 тыс. руб. Величина последнего интервала условно приравнивается к величине предпоследнего, тогда его верхняя граница составит 1100 тыс. руб. Роль численности населения в данном случае выполняет его доля в общем итоге, выраженная в процентах. Для расчета среднего душевого дохода необходимо воспользоваться средней арифметической взвешенной. Все вспомогательные расчеты проведем в таблице:

Группы населения по денежным доходам на душу населения в среднем за месяц, тыс. руб	середины интервалов xi/	1995 wi	xi/ . wi	1996 wi	xi/ . wi
50,0 – 100,0	75	3,7	277,5	0,9	67,5
100,0 - 150,0	125	10,5	1312,5	3,5	437,5
150,0 - 200,0	175	14,4	2520	6,3	1102,5
200,0 - 250,0	225	14,5	3262,5	8,2	1845
250,0 - 300,0	275	12,7	3492,5	9	2475
300,0 - 350,0	35	10,4	3380	8,9	2892,5
350,0 - 400,0	375	8,1	3037,5	8,4	3150
400,0 - 450,0	425	6,2	2635	7,6	3230
450,0 - 500,0	475	4,7	2232,5	6,7	3182,5
500,0 - 600,0	550	6,2	3410	10,9	5995
600,0 - 700,0	650	3,5	2275	8,9	5785
700,0 - 800,0	750	2,0	1500	5,8	4350
800,0 - 900,0	850	1,2	1020	4,2	3570
900,0 - 1000,0	950	0,7	665	3,0	2850
1000,0 – 1100,0	1050	1,2	1260	7,7	8085
Итого		100	32280		49017,5

руб.

руб.

Следовательно среднедушевой доход населения увеличился в 1996 году в 1,5 раза.