Дифракция фраунгофера

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение дифракции Фраунгофера на одной щели, на двух щелях и амплитудной дифракционной решетке.

ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: маломощный непрерывный лазер, раздвижная щель типа спектральной щели, пластина с двумя близко расположенными прозрачными щелями, амплитудная дифракционная решетка, экран, линейка, оптическая скамья с набором рейтеров.

1. Теоретическая часть

1.1. Область дифракции Фраунгофера

Явления дифракции принято классифицировать в зависимости от расстояния источника и точки наблюдения (экрана) до препятствия, поставленного на пути распространения света, а также длины волны дифрагирующего излучения. Обычно рассматривают два типа дифракции – Фраунгофера и Френеля. Проведем разграничение этих типов на примере дифракции световой волны на круглом отверстии радиуса R. В оценке этого разграничения основную роль будет играть отношение площади центральной зоны Френеля (см. лабораторную работу «Зоны Френеля») к площади отверстия. Площадь центральной зоны Френеля приближенно можно оценить из формулы, в которой учтено, что расстояние от источника света до отверстия a₁ по порядку величины совпадает с расстоянием a₂ от отверстия до плоскости наблюдения дифракционной картины:

(1)

где L ~ a₁ ~ a₂, l – длина волны света.

Площадь отверстия радиуса R равна

(2)

Введем величину D, равную отношению этих двух площадей и называемую волновым параметром:

(3)

Волновой параметр играет большую роль в задачах дифракции. Можно выделить три случая:

1. D << 1. Отверстие имеет размеры много больше размеров центральной зоны Френеля. В этом случае – случае большого отверстия (или очень малых длин волн) – выявить дифракционные, т.е. волновые проявления света достаточно трудно и можно говорить о соблюдении законов геометрической оптики.

2. D ~ 1. При этом условии дифракционные эффекты начинают играть существенную роль. Например, если отверстие совпадает с центральной зоной Френеля, то интенсивность света в центре дифракционной картины в 4 раза больше интенсивности света в той же точке, создаваемой полностью открытым фронтом. Этот случай соответствует дифракции Френеля.

3. D >> 1. Размеры препятствия много меньше размеров центральной зоны Френеля. Этот случай наблюдается или при очень больших длинах волн (как правило, это соответствует радиодиапазону), или при большом удалении источника света от препятствия, когда можно считать, что на препятствие падает практически плоская волна. Поэтому этот случай называется дифракцией в параллельных лучах, дифракцией в дальней зоне или чаще дифракцией Фраунгофера.

Именно дифракция Фраунгофера играет основную роль для расчетов большинства оптических приборов. Практически для осуществления дифракции Фраунгофера точечный источник монохроматического света помещают в фокусе собирающей линзы (коллиматора), тогда на препятствие после коллиматора падает практически параллельный пучок света. Или в качестве источника плоской монохроматической волны используют лазер, который имеет малую расходимость пучка, например, гелий-неоновый (He-Ne) лазер. Дифракционная картина наблюдается, в общем случае, на бесконечности или на фокальной плоскости линзы, установленной после препятствия (часто для наблюдения используют зрительную трубу, установленную «на бесконечность»). При достаточно малых размерах препятствий (начиная с ~0,1 мм для видимого диапазона дифрагирующих волн) дифракционная картина хорошо наблюдается и на коротких расстояниях ( ~1 м).

1.2. Дифракция Фраунгофера на одной щели

Рис. 1

Рассмотрим падение плоской монохроматической световой волны на бесконечную щель шириной b (рис.1). Световое поле за щелью найдется по принципу Гюйгенса-Френеля как результат интерференции когерентных вторичных волн, исходящих из различных точек волнового фронта на щели. При таком рассмотрении, по сути предполагается выполнимость граничных условий Кирхгофа для дифракции, согласно которым непрозрачная часть препятствия предполагается неизлучающей вторичные волны.

Участок dx, находящийся на расстоянии x от левого края щели (начала координат), в направлении Z’ излучает плоскую волну с запаздыванием фазы относительно точки О на kx×sinj. Угол j отсчитывается от оси Z – нормали к щели (первоначального направления падающей волны), k – волновое число падающей волны. При записи амплитуды волны учтем, что вся щель в направлении j = 0 посылает излучение с амплитудой E₀. Предполагая равномерное распределение амплитуды по щели, получим, что участок dx щели пошлет в направлении Z’ волну dE₁ с амплитудой E₀dx/b :

(4)

Отсюда имеем для амплитуды волны от всей щели:

(5)

После несложного интегрирования и перехода от поля к интенсивности, получаем интенсивность дифракционной картины:

(6)

где I₀ = E₀² ; I₁ = E₁² ; . (7)

Проанализируем выражение (6).

1. При j = 0 u =0. Используя соотношение , получаем, что в центре дифракционной картины интенсивность максимальна и равнаI₀ .

2. При углах j, для которых sinu = 0, а u ¹ 0 интенсивность света обращается в нуль. Тогда условие минимума дифракционной картины на одиночной щели принимает вид:

(8)

3. Основная часть потока энергии сосредоточена в пределах изменения угла дифракции j между первыми (n = ±1) симметричными максимумами. График зависимости (6) приведен на рис.2.

4. Чем уже щель, тем шире центральный максимум. Нетрудно заметить, что при b » l центральный максимум расплывается на всю полуплоскость (j » p/2). Дальнейшее уменьшение щели приводит лишь к монотонному уменьшению интенсивности прошедшего света.

Рис. 2

Изучение картины дифракции дает информацию о ширине щели, если известна длина волны используемого света. Наоборот, зная ширину щели, можно найти длину волны. Таким образом, дифракционная картина от данного объекта имеет характерный вид, позволяющий получать информацию о размерах этого объекта. Отмеченное обстоятельство носит достаточно общий характер и лежит в основе метрологического применения дифракционных явлений.

1.3. Дифракция Фраунгофера на двух одинаковых щелях

В этом случае плоская монохроматическая волна падает нормально на экран с двумя одинаковыми щелями, каждая из которых имеет ширину b, а расстояние между ними – d (рис.3). Расчет дифракционной картины проходит точно так же, как и для случая одной щели. Отличие заключается в том, что выражение для поля от двух щелей, аналогичное (5) состоит из суммы двух интегралов, один из которых имеет пределы [0; b], а другой – [d; d+b]. В итоге интенсивность дифракционной картины примет вид:

(9)

Рис. 3

Рис. 4

где I₀ – интенсивность света, возникающего в центре дифракционного пятна в том случае, когда открыта только одна из щелей. Из (9) видно, что зависимость распадается на произведение двух сомножителей. Первый из них описывает распределение интенсивности в дифракционной картине Фраунгофера от одной щели. Второй сомножитель обусловлен интерференцией световых волн, приходящих в точку наблюдения от разных щелей. Вид дифракционной картины для дан­ного случая показан на рис.4.

Практический интерес представляют яркие интерференционные полосы (максимумы), расположенные в пре­делах центрального дифракционного максимума огибающей. Условие этих максиму­мов вытекает из вида второго сомножителя в (9):

(10)

В пределах центрального максимума огибающей располагается 2d/b таких интерференционных максимумов.

1.4. Дифракция Фраунгофера на дифракционной решетке

Прозрачная (амплитудная) дифракционная решетка представляет собой правильную плоскую структуру из большого количества параллельных щелей с шириной каждой щели b и расстоянием d между соседними щелями. Расстояние d чаще называют периодом или постоянной дифракционной решетки (рис.5). Пусть на эту решетку нормально падает плоская монохроматическая волна. Найдем интенсивность света I в дифракционной картине.

Рис. 5

Методика расчета и система обозначений та же, что и для одиночной щели. От элемента dx какой-то n-й щели в исследуемом направлении распространяется волна вида:

(11)

Вся n-я щель пошлет волну вида:

(12)

Для учета действия всех щелей по принципу суперпозиции можно сложить все образовавшиеся напряженности поля:

(13)

где N – полное число щелей, участвующих в дифракции.

Множитель с интегралом был посчитан выше для случая одной щели. Он не зависит от n и может быть вынесен за знак суммы. Введем обозначение:

(14)

Сумма в (13) представляет собой сумму N членов геометрической прогрессии. Тогда (13) перепишется в виде

(15)

Интенсивность света в дифракционной картине получается умножением (15) на комплексно сопряженную величину I=EE^* :

(16)

Рис. 6

Рис. 6.

Множитель (sinu/u)² характеризует распределение интенсивности в результате дифракции плоской волны на каждой щели и является огибающей всей дифракционной картины, а множитель (sinNd/sind)² учитывает интерференцию между волнами, исходящими от всех щелей. Множитель I₀ определяет интенсивность света, излучаемого в направлении j = 0, которая зависит от потока энергии, падающего на решетку света. Вид дифракционной картины показан на рис.6.

Величина dsinj равна разности хода между волнами, испускаемыми двумя эквивалентными точками соседних щелей. Условие главных максимумов для дифракционной решетки определяется формулой (10). А условие (8) определяет положение минимумов огибающей.