ответы на 26
.docxБилет 26. Эргодические и поглощающие цепи
Все множество состояний системы можно разбить на подмножества сообщающихся состояний. Эти подмножества находятся в иерархической зависимости между собой, которая отражает динамику переходов состояний системы в течение времени.
Самое низшее подмножество состояний называется эргодическим множеством. Остальные подмножества называются невозвратными.
В частном случае эргодическое множество может состоять из одного состояния, которое называется поглощающим.
В соответствии с таким разделением различают эргодические и поглощающие цепи Маркова.
Эргодические цепи Маркова
Для этих цепей характерно то, что при достаточно большом количестве шагов k наступает стационарный режим, при котором Pi(k) независимы от времени и равны Pi. Вектор (Pi)n – вектор финальных стационарных вероятностей. До наступления стационарного режима имеет место переходной режим, длительность которого можно определить задавшись величиной i=|Pi -Pi(k)|, если i>доп – условие наступления стационарного процесса.
Каждая компонента Pi характеризует среднюю долю времени, в течение которого система находилась в состоянии Si.
Условием эргодичности однородной Марковской цепи является то, что все ее состояния являются сообщающимися, а граф системы сильно связан (возможен переход SiSj за конечное число шагов).
Для определения стационарных вероятностей нужно составить систему из n алгебраических уравнений:
Pi = Pj*Pji , i=1, n, (6.15)
Pj = 1. (6.16)
В левой части – вероятности состояния соответствующие рассматриваемым вершинам графа.
В правой части – сумма произведений, число слагаемых равно числу дуг. Слагаемое – произведение вероятности того состояния, из которого выходит дуга, на вероятность соответствующего перехода.
P1 = P2P21 + P3P31
P1 = P2P21 + P3P31
(6.17)
P1 = P2P21 + P3P31
P1 + P2 + ... + Pn = 1
Поглощающие цепи Маркова
Поглощающие цепи характеризуются тем, что их эргодическое состояние является поглощающим. В установившемся режиме независимо от начального состояния вероятность нахождения такой Марковской цепи в поглощающем состоянии равна 1, а вероятности всех остальных близки к нулю. В этой связи в поглощающих Марковских цепях интерес представляет переходный процесс в отличие от эргодических, где интерес – установившийся режим, так как задачей анализа Марковских цепей является расчет вероятностей нахождения системы в одном из ее состояний в определенный момент времени t.