functional_analysis

1 Метрические пространства

Многие важные понятия и утверждения математического анализа, в частности, связанные с пределами и непрерывностью, опираются на понятие расстояния. Причем сами определения этих понятий, а также формулировки и доказательства соответствующих утверждений во многих случаях не зависят от конкретного способа задания расстояния. В них используются лишь основные свойства расстояния: неотрицательность, симметрия и неравенство треугольника. Формализация этих свойств расстояния приводит к понятию метрического пространства.

Пусть X произвольное множество.

Определение 1. Метрикой называется числовая функция X £ X ! ! R которая любой упорядоченной паре (x,y) элементов x, y 2 G ставит в соответствие однозначно определенное значение r(x,y) 2 R расстояние

îò x äî y, обладающая свойствами: а) r(x,y) = 0 , x = y,

á) r(x,y) = r(y,x) (аксиома симметрии),

â) r(x,z) 6 r(x,y) + r(y,z) (аксиома треугольника), ãäå x, y, z произвольные элементы X .

Множество, на котором задана некоторая метрика, называется метрическим пространством. Элементы метрического пространства называются точками.

Понятия метрического пространства введено в науку в начале XX столетия французским математиком М. Фреше. Приведем примеры метри- ческих пространств.

Пример 1. Множество действительных чисел с расстоянием r(x,y) = jx ¡yj

образует метрическое пространство.

Пример 2. n-мерное евклидово пространство Rn, элементами (точками) которого являются всевозможные упорядоченные совокупности из n

действительных чисел x = (x1,x2,:::,xn) è y = (y1,y2,:::,yn) с расстоянием

s

1

Пример 3. Рассмотрим то же самое множество, упорядоченных

Обозначим это метрическое пространство символом Rn.

1

Пример 4. Возьмем множество, что и в примерах 2 и 3, и определим расстояние между его элементами формулой

r1(x,y) = max jxk ¡ykj:

16k6n

Это пространство, которое мы обозначим Rn

1, во многих вопросах анализа не менее удобно, чем евклидово пространство Rn.

Последние три примера показывают, что на одном и том же множестве можно задавать разные метрики, в результате получаются разные метрические пространства. Отметим также, что, и наоборот, на разных множествах метрика может быть задана по одному и тому же правилу.

Пример 5. Пространство непрерывных функций. Множество всех непрерывных действительных функции, определенных на сегменте [a,b], с расстоянием

образует метрическое пространство.

Аксиомы а), б) метрики, очевидно, выполнены, а неравенство треугольника следует из того, что

jf (t) ¡g(t)j 6 jf (t) ¡h(t)j + jh(t) ¡g(t)j 6 r( f ,h) + r(h,g),

ò. å.

r( f ,g) = max jf (t) ¡g(t)j 6 r( f ,h) + r(h,g):

a6t6b

Это пространство играет очень важную роль в анализе. Мы будем его обозначать символом C[a,b].

Метрика (1), так называемая равномерная метрика в C[a,b], используется тогда, когда мы желаем заменить одну, функцию, другой, например полиномом, по которой можно было бы вычислять значения первой

функции с нужной точностью в любой точке t 2 [a,b]. Величина r( f ,g) как раз характеризует точность такого приближенного расчета.

2

Пример 6. Рассмотрим тоже множество функций, что и в предыдущем примере, но с интегральной метрикой:

r( f ,g) = Zb jf (t) ¡g(t)jdt:

a

Обозначим это метрическое пространство C1[a,b].

Пример 7. В множестве C(k)[a,b] функции, определенных на [a,b] и имеющих на этом отрезке непрерывные производные до порядка k вклю- чительно, можно определить следующую метрику:

äëÿ íèõ ìàëà.

Пример 8. Укажем еще один пример метрического пространства. Его элементами являются всевозможные последовательности действи-

тельных чисел x = (x1,x2,:::,xn,:::), такие, что

å1

jxkjp < 1,

k=1

ãäå p > 1 некоторое фиксированное число, а расстояние определяется

Это метрическое пространство обозначим lp.

3

2 Геометрия метрического пространства.

Мы введем здесь некоторые понятия теории метрических пространств. Эти понятия мы неоднократно используем в дальнейшем. Перенесем сначала из трехмерного евклидова пространства в произвольное метрическое пространство понятие шара.

Открытым шаром B(x0,r) в метрическом пространстве X мы будем называть совокупность точек x 2 X , удовлетворяющих условию

B(x0,r) = fx 2 X j r(x,x0) < rg:

Точка x0 называется центром этого шара, а число r его радиусом. Открытый шар радиуса e с центром x0 мы будем называть также e-окрестностью точки x0.

Замкнутым шаром B[x0,r] мы назовем совокупность точек x 2 X , óäî-

влетворяющих условию r(x,x0) 6 r:

 R1, т. е. на числовой прямой, открытый шар будет интервалом (x0 ¡

Множество точек метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в каком нибудь шаре.

3 Сходимость в метрическом пространстве

Наличие расстояния позволяет определить в метрическом пространстве понятие предела.

4

Пусть fxng последовательность точек в метрическом пространстве X . Говорят, что эта последовательность сходится к точке x èç X , åñëè

= 0:

nlim!1 r(x,xn)

Будем писать в этом случае xn ! x ïðè n ! 1 èëè lim = x.

n!1 xn

Теорема 1. Последовательность точек fxng метрического пространства не может иметь двух различных пределов.

Доказательство. Пусть xn ! x è xn ! y. По аксиоме треугольника r(x,y) 6 r(x,xn) + r(xn,y). Но правая часть стремится к нулю при n ! 1, а левая неотрицательна, следовательно, r(x,y) = 0 è x = y.

Выясним смысл сходимости в C[a,b], fn ! f â C[a,b] означает, что

max jfn(t) ¡ f (t)j ! 0, т. е. сходимость равносильна равномерной сходи-

a6t6b

мости функций.

Сходимость в C1[a,b] накладывает менее тяжелые требования на функции. Например, если положить

Тогда в метрике пространства C1[a,b], ïðè f (t) ´ 0,

5

4 Полные метрические пространства

Представление о числовой оси как о множестве полном (на ней нет ¾дыр¿, она вся заполнена вещественными числами) выражается в математическом анализе удобнее всего с помощью известного критерия Коши. Эта же идея лежат в основе понятия полноты метрического пространства.

Начнем со следующего важного определения.

Определение 2. Последовательность fxng точек метрического пространства X мы будем называть фундаментальной, åñëè r(xn,xm) ! 0 ïðè n,m ! 0.

Теорема 2. Если последовательность fxng сходится к пределу x, то она фундаментальна.

Доказательство. Пусть xn ! x. Тогда

r(xn,xm) 6 r(xn,x) + r(x,xm) ¡¡¡¡¡¡!

m,n!0 0,

ò. å. fxng фундаментальна.

Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если любая фундаментальная последовательность его точек имеет предел в этом пространстве.

Âпротивном случае метрическое пространство называется непол-

íûì.

Âобщем случае обратное утверждение является неверным. Например, если из множества R удалить, например, число 0, то в стандартной

метрике множество R n f0g уже не будет полным пространством. Дей-

r( f ,g) = max jf (t) ¡g(t)j:

06t61

6

Рассмотрим произвольную фундаментальную последовательность ffn(t)g, r( fn, fm) ! 0 ïðè m,n ! 1. Это означает, что

8e 9N : 8m,n > N,8t 2 [0,1] ) jfm(t) ¡ fn(t)j < e:

Из этого следует, что при любом фиксированном t 2 [0,1] числовая последовательность ffn(t)g является фундаментальной, и поэтому имеет предел (с силу полноты R). Перейдя к пределу при m ! 1, получим, что

8e 9N : 8n > N,8t 2 [0,1] ) jfn(t) ¡ f (t)j 6 e,

ãäå f (t) некоторая функция. Это означает, что

r( fn, f ) ! 0:

Докажем, что f (t) непрерывная функция. Фиксируем точку t0 2 [0,1] и проверим непрерывность функции f в этой точке. Пусть t такое, что t 2 2 [0,1]. Тогда

jf (t) ¡ f (t0)j = jf (t) ¡ fn(t) + fn(t) ¡ fn(t0) + fn(t0) ¡ f (t0)j 6 jf (t) ¡ fn(t)j + jfn(t) ¡ fn(t0)j + jfn(t0) ¡ f (t0)j

берем такое n, ÷òî r( fn, f ) < e

<e + jfn(t) ¡ fn(t0)j + e:

Âсилу непрерывности fn 9d : jt ¡t0j < d ) jfn(t) ¡ fn(t0)j < e. Таким образом, получаем, что

8e 9d : jt ¡t0j < d ) jf (t) ¡ f (t0)j < 3e,

следовательно, f (t) непрерывно.

Рассмотрим еще пример неполного метрического пространства.

Пример 10. В множестве функций, определенных и непрерывных на отрезке [¡1,1], введем метрику по формуле

r( f ,g) = Z1 jf (t) ¡g(t)jdt:

¡1

7

Очевидно, для любых n è m (n > m)

и поэтому последовательность непрерывных функций фундаментальна относительно метрики.

Покажем, что в множестве непрерывных функций предела нет, ибо если бы непрерывная функция f 2 C[¡1,1] была пределом указанной

последовательности в смысле интегральной метрики, то на промежутке ¡1 6 t < 0 функция f должна была бы быть постоянной, равной ¡1, à

на промежутке 0 < t 6 1 постоянной, равной 1, что несовместимо с непрерывностью f в точке t = 0, если f некоторая функция C[¡1,1] è

8

следует, что r( fn, f ) 6!0 ïðè n ! 1.

5 Непрерывные отображения метрических пространств.

Пусть (X ,r1) è (Y ,r2) два метрических пространства и f отображение пространства X â Y . Это отображение называется непрерывным в точке a 2 X , åñëè

8e > 0 9d > 0 : 8x 2 X : r1(x,a) < d ) r2( f (x), f (a)) < e:

Можно также дать определение непрерывности отображения, использую ¾язык последовательностей¿.

Отображение f : X ! Y называется непрерывным в точке a 2 X , если для любой последовательности fxng точек из X , сходящейся к a, последовательность точек ff (xn)g, сходится к f (a).

Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X , то говорят, что f непрерывно на X .

6Принцип сжимающих отображений и его применения

Здесь будет установлен принцип, который, несмотря на всю свою простоту, оказывается средством эффективного доказательства многих теорем существования.

Пусть X метрическое пространство.

Определение 4 (сжимающиe отображение). Отображение A пространства X в себя называется сжимающим отображением если существует такое число a 2 (0,1), что для любых двух точек x,y 2 X

выполняется неравенство

9

Всякое сжимающее отображение непрерывно. Действительно, если xn ! x, òî â ñèëó (3) è Axn ! Ax.

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, åñëè Ax = x. Иначе говоря, неподвижные точки это решения уравнения Ax = x.

Теорема 3 (Принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве X , имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство. Пусть x0 произвольная точка в X . Положим x1 = Ax0, x2 = Ax1, :::, xn = Axn¡1, :::

Покажем, что последовательность fxng фундаментальная. Отображение A сжимающее, поэтому в силу (3)

r(x1,x2) = r(Ax0,Ax1) 6 ar(x0,x1),

r(x2,x3) = r(Ax1,Ax2) 6 ar(x1,x2) 6 a2r(x0,x1),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

r(xn,xn+1) 6 anr(x0,x1),

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Далее, считая для определенности m > n,

r(xn,xm) = r(xn,xn+1) + r(xn+1,xn+2) + ::: + r(xm¡1,xm) 6

6(an + an+1 + ::: + am¡1)r(x0,x1) =

6an(1 + a + a2 + a3 + ::: + am¡n¡1)r(x0,x1) =

Ò. ê. a < 1, то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты X последовательность fxng, будучи фундаментальной,

имеет предел. Положим

x = lim :

n!1 xn

Тогда в силу непрерывности отображения A

10