functional_analysis

После введения метрики определяется сходимость последовательности элементов fxng ê x, а именно

xn ! x, åñëè kxn ¡xk ! 0 ïðè n ! 1:

Определенная таким образом сходимость в линейном нормированном пространстве называется сходимостью по норме.

Перейдем теперь к определению банахова пространства.

Определение 8. Банаховым пространством B называется нормированное пространство, полное относительно метрики r(x,y) = kx ¡ yk,

определяемой его нормой.

В качестве следствия из неравенства (7) сразу можно получить, что норма kxk непрерывная функция от x в том смысле, что если xn !

! x, òî kxnk ! kxk и в частности, что kxnk есть ограниченная числовая

последовательность.

Покажем, что основные алгебраические операции в нормированном пространстве непрерывны.

Действительно, из соотношений

k(xn + yn) ¡(x + y)k = kxn ¡x + yn ¡yk 6 kxn ¡xk + kyn ¡yk, klnxn ¡lxk = klnxn ¡lnx + lnx ¡lxk =

= kln(xn ¡x) + (ln ¡l)xk 6 6 jlnjkxn ¡xk + jln ¡ljkxk

следует, что при xn ! x, yn ! y, ln ! l (ln в совокупности ограничены),

имеем

xn + yn ! x + y, lnxn ! lx:

Так как линейное нормированное пространство есть метрическое пространство, то для такого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах (шар, ограниченное множество и т. д.), а также имеют место все теоремы, доказанные для таких пространств.

11 Евклидовы пространства

При изучении аналитической геометрии вводится важное понятие скалярного произведения векторов. Это понятие позволяет развить

21

многие практически важные вопросы евклидовой трехмерной геометрии. Напомним, что скалярным произведением в действительном линейном пространстве E называется действительная функция (x,y), опреде-

ленная для каждой пары элементов x,y 2 E и удовлетворяющая следую-

щим условиям:

à) (x,y) = (y,x),

á) (x + y,z) = (x,z) + (y,z), â) (lx,y) = l(x,y),

ã) (x,x) > 0, причем (x,x) = 0 только при x = 0.

Линейное пространство с фиксированным в нем скалярным произведением называется евклидовым пространством.

В евклидовом пространстве E вводится норма с помощью формулы

p

kxk = (x,x):

Проверим, что при таком определении нормы E оказывается нормированным пространством.

Для проверки аксиомы треугольника, установим для скалярного произведения неравенство Коши-Буняковского.

Рассмотрим квадратный трехчлен от действительной переменной t:

j(t) = (tx + y,tx + y) = t2(x,x) + 2t(x,y) + (y,y) = = kxk2t2 + 2(x,y)t + kyk2:

Так как это выражение представляет собой скалярный квадрат некоторого вектора, то всегда j(t) > 0. Следовательно, дискриминант этого трехчле-

на меньше или равен нулю

(x,y)2 ¡kxk2kyk2 6 0:

Таким образом,

j(x,y)j 6 kxk¢kyk:

Докажем теперь аксиому треугольника. Имеем

kx + yk2 = (x + y,x + y) = (x,x) + (x,y) + (y,x) + (y,y) =

=kxk2 + 2(x,y) + kyk2 6 kxk2 + 2kxk¢kyk + kyk2 =

=(kxk + kyk)2,

22

и потому kx + yk 6 kxk + kyk.

Отметим, что скалярное произведение непрерывно по обоим аргументам, т. е. если xn ! x, yn ! y (в смысле сходимости по норме), то (xn,yn) !

! (x,y). Имеем

j(xn,yn) ¡(x,y)j = j(xn,yn) ¡(xn,y) + (xn,y) ¡(x,y)j 6 6 j(xn,yn) ¡(xn,y)j + j(xn,y) ¡(x,y)j =

=j(xn,yn ¡y)j + j(xn ¡x,y)j 6

=kxnk¢kyn ¡yk + kxn ¡xk¢kyk:

Полное евклидово пространство бесконечного числа измерений называется гильбертовым пространством.

Таким образом, гильбертовым пространством называется совокупность H элементов f ,g,::: произвольной природы, удовлетворяющая

следующим условиям (аксиомам).

I. H åñòü евклидово пространство (т. е. линейное пространство с заданным в нем скалярным произведением).

II. Пространство H полно в смысле метрики r( f ,g) = kf ¡gk.

III. Пространство бесконечномерно, т. е. в нем для любого n можно найти n линейно независимых элементов.

Гильбертово пространство это частный случай банахова пространства.

Во всяком пространстве со скалярным произведением справедливо следующее равенство, которое можно трактовать как известное в геометрии сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон:

kx + yk2 + kx ¡yk2 = 2(kxk2 + kyk2) 8x,y 2 H:

Действительно,

kx + yk2 = (x + y,x + y) = kxk2 + kyk2 + 2(x,y),

kx ¡yk2 = (x ¡y,x ¡y) = kxk2 + kyk2 ¡2(x,y):

Тождество параллелограмма является характеристическим свойством пространства со скалярным произведением в том смысле, что всякое линейное нормированное пространство, в котором выполняется тождество параллелограмма, является пространством со скалярным произведением.

23

Пример 18. Рассмотрим пространство непрерывных функций на отрезке [0,1] в котором норма элемента f определяется как его расстоя-

íèå äî íóëÿ, ò. å. kf k = r( f ,0) = max jf (t)j. Докажем, что это банахово

06t61

пространство, а не гильбертово. Действительно, рассмотрим в C[0,1] две функции:

Имеем

kf k = kgk = 1

è

kf + gk = 1, kf ¡gk = 1:

Если существует соответствующее скалярное произведение, то выполнено тождество параллелограмма, но 12 + 12 = 2(12 + 12). Таким образом,

норму пространства C[0,1] нельзя задать с помощью какого бы то ни было скалярного произведения.

Система ненулевых векторов fxig èç E называется ортогональной,

åñëè

(xi,xj) = 0 ïðè i 6= j:

Система векторов feig называется ортонормированной, åñëè

(0 ïðè i =6 j,

(ei,ej) =

1 ïðè i = j:

Понятие ортогональности лежит в основе одной из древнейших теорем.

Теорема 4 (Пифагор). Пусть x1,:::,xn ортогональный набор векторов из E и x = x1 + ::: + xn. Тогда

kxk2 = kx1k2 + ::: + kxnk2:

24

ãäå K(t,s) непрерывная в квадрате 0 6 t,s 6 1 функция. Если x(t) 2 2 C[0,1], то, очевидно, y(t) 2 C[0,1].

13 Непрерывные линейные операторы.

Пусть X è Y линейные нормированные пространства и A: X ! Y ,

A линейный оператор, всюду заданный в X .

Оператор A называется непрерывным в точке x0 2 X , åñëè

Ax ! Ax0 ïðè x ! x0,

8e > 0 9d > 0 : 8x 2 X : kx ¡x0k < d ) kAx ¡Ax0k < e:

Легко видеть, что линейный оператор A непрерывен в любой точке X , если он непрерывен в точке x = 0. Действительно, если x0 2 X è x 2 X ,

òî x ¡x0 2 X è

Ax ¡Ax0 = A(x ¡x0):

Поэтому если оператор A непрерывен в точке x = 0, òî A(x ¡x0) ! 0 ïðè x ¡x0 ! 0, и, следовательно, Ax ! Ax0 ïðè x ! x0.

14 Ограниченные линейные операторы.

Оператор A называется ограниченным, если существует такая постоянная M, ÷òî

Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 5. Для того чтобы линейный оператор A был непрерывен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен.

Доказательство. Необходимость. Пусть A непрерывный оператор. Допустим, что он не ограничен. Тогда найдется последовательность эле-

ментов fxng такая, что

kAxnk > nkxnk:

Построим элементы

yn = nkxxnnk;

26

yn ! 0, òàê êàê

Пусть xn ! x, ò. å. kxn ¡xk ! 0, тогда и

kAxn ¡Axk = kA(xn ¡x)k 6 Mkxn ¡xk ! 0,

ò. å. Axn ! Ax, следовательно, A непрерывен.

15 Норма оператора.

Определение 10. Нормой ограниченного линейного оператора A: X ! Y называется число

kAk = sup kAxk:

kxk61

Здесь k¢k обозначает три различные нормы: оператора A, вектора Ax 2 2 Y и вектора x 2 X .

Отметим, что имеет место неравенство

справедливое для любого x 2 X .

Åñëè kxk = 0, то обе части равны нулю и неравенство верно. Если

27

Таким образом, kAk является наименьшей из констант в неравен-

стве (8), и, значит, оценка (9) является наилучшей. Если установлена оценка kAxk 6 Mkxk, òî kAk 6 M.

Пример 21. Найти норму оператора A, действующего в пространстве

C[0,1] (kxk = max jx(t)j):

06t61

Ax = t ¢x(t):

Легко проверить, что для x(t) ´ 1 норма kAk = max jtj = 1, следовательно,

06t61

kAk = sup kAxk = 1.

kxk61

15.1 Пространства линейных ограниченных операторов

Множество L (X ,Y ) всех ограниченных линейных операторов, отоб-

ражающих линейное нормированное пространство X в линейное нормированное пространство Y , с естественными операциями сложения двух операторов и умножения оператора на число является линейным пространством, а норма оператора является нормой в этом линейном пространстве.

Действительно, если A и B линейные операторы, действующие из X в Y , то для любых чисел a и b оператор C = aA + bB, определяемый

равенством

Cx = aAx + bBx 8x 2 X ,

тоже линеен, так как

C(l1x + l2y) = aA(l1x + l2y) + bB(l1x + l2y)

=a(l1Ax + l2Ay) + b(l1Bx + l2By)

=l1(aAx + bBx) + l2(aAy + bBy)

=l1Cx + l2Cy:

Для каждого линейного ограниченного оператора A определена норма kAk = sup kAxk. Покажем, что эта норма удовлетворяет трем аксиомам

kxk61

нормы. Действительно,

28

à) kAk = sup kAxk > 0. Åñëè kAk = 0 äëÿ âñåõ x таких, что kxk 6 1.

kxk61

Но тогда, в силу однородности, Ax = 0 8x 2 X , и, следовательно, A = 0. á) kA + Bk = sup kAx + Bxk 6 sup (kAxk + kBxk) 6 sup kAxk +

â) kaAk = sup kaAxk = jaj sup kAxk = jaj¢kAk:

kxk61 kxk61

Проверим, что C ограниченный оператор, если операторы A è B ограничены. Действительно,

kCxk = kaAx + bBxk 6 jaj¢kAxk + jbj¢kBxk 6 (jaj¢kAk + jbj¢kBk) ¢kxk:

Таким образом, L (X ,Y ) линейное нормированное пространство.

Сделаем следующее полезное дополнение. Если A è B ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор AB ограничен, причем

kABk 6 kAk¢kBk:

Действительно,

kA(Bx)k 6 kAk¢kBxk 6 kAk¢kBk¢kxk:

Пример 22. Рассмотрим такие операторы A, B, действующие в нормированном пространстве C[0,1], ÷òî kABk < kAk¢kBk.

29

Таким образом, AB =6 BA.

Теорема 6. Если Y полно, то пространство линейных ограниченных операторов будет также полным пространством и, следовательно, пространством Банаха.

Доказательство. Пусть дана фундаментальная последовательность линейных операторов fAng, такая, что kAn ¡Amk ! 0 ïðè n, m ! 1. Тогда

для любого x

kAnx ¡Amxk 6 kAn ¡Amk¢kxk ! 0

ïðè n, m ! 1.

Поэтому для каждого фиксированного x последовательность fAnxg

элементов пространства Y фундаментальна. В силу полноты пространства Y последовательность fAnxg имеет некоторый предел y.

Итак, каждому x 2 X ставится в соответствие y 2 Y , и мы получаем некоторый оператор A, определяемый равенством y = Ax. Этот оператор линейный:

30