functional_analysis

Покажем, что A ограниченный оператор. По условию

т. е. числовая последовательность fkAnkg фундаментальна и, следо-

вательно, ограничена. Поэтому существует такая постоянная M, ÷òî kAnk 6 M äëÿ âñåõ n. Отсюда

kAnxk 6 kAnk¢kxk 6 Mkxk,

т. е. в силу того, что функция, определяющая норму, непрерывна, имеем

kAxk = lim kAnxk 6 Mkxk

n!1

è A линейный ограниченный оператор.

Докажем, что A есть предел последовательности fAng в смысле сходимости по норме в пространстве линейных операторов.

ïðè n ! 1, т. е. это пространство банахово.

16 Последовательности линейных операторов

Для многих приложений весьма важную роль играет изучение последовательностей линейных операторов, к которому мы сейчас и переходим. Пространства X è Y считаем нормированными.

Определение 11. Если последовательность линейных операторов An сходится при n ! 1 по норме к оператору A, ò. å. kAn ¡Ak ! 0, n ! 1,

то говорят, что, при n ! 1 An сходится к A равномерно.

В этом же пространстве операторов L (X ,Y ) можно ввести и другую сходимость, называемую поточечной.

31

Определение 12. Будем говорить, что последовательность операторов An ïðè n ! 1 сходится к оператору A в смысле поточечной сходимо-

ñòè в пространстве линейных ограниченных операторов, если Anx ! Ax для любого x 2 X .

Очевидно, если An ! A ïðè n ! 1 равномерно, то An ! A ïðè n ! 1

поточечно. Следующий пример показывает, что обратное утверждение является неверным.

Пример 23. В пространстве l2 последовательностей x = (x1, :::, xn,

:::) с нормой s

å1

kxk = jxij2 i=1

рассмотрим оператор проектирования y = Pnx, который последовательно-

i=n+1

ïðè n ! 1 для любой последовательности x 2 l2. Следовательно, Pn ! I ïðè n ! 1 поточечно, где I тождественный оператор в l2 Однако эта сходимость не будет равномерной. Действительно, если возьмем теперь

при каждом n элемент en+1 = (0,:::,0 :::,0), ken+1k = 1 è Pnen+1 = 0.

| {z },1,0,

kPn ¡Ik = sup kPnx ¡xk > kPnen+1 ¡en+1k = ken+1k = 1 6!0

kxk61

ïðè n ! 1, т. е. равномерной сходимости последовательности операторов Pn ê I íåò.

Пример 24. Последовательность (Anx)(t) = tnx(t) не сходится в C[0,1],

ибо для произвольно фиксированной функции x(t) â C[0,1] такой, что x(1) =6 0, последовательность ftnx(t)g сходится поточечно к функции

32

которая разрывна и не принадлежит пространству C[0,1]. Следовательно, поточечной, а значит, и равномерной сходимости последовательности

операторов fAng íåò.

Пример 25. Последовательность (Anx)(t) = tn(1 ¡t)x(t) сходится равномерно к нулевому оператору. Действительно, для любой функции x(t) 2

Следующая теорема имеет важное значение в теории операторов, ее относят к одному из основных принципов функционального анализа, так называемому принципу равномерной ограниченности.

Теорема 7 (Банаха Штейнхауса). Если последовательность An линейных ограниченных операторов, переводящих банахово пространство X в нормированное пространство Y , ограниченна в каждой точке, т. е. если kAnxk < C(x), 8x 2 X , то нормы этих операторов ограниченны в

совокупности: kAnk < C, n =

17 Обратные операторы

Рассмотрим линейный оператор A, отображающий линейное нормированное пространство X в линейное нормированное пространство Y .

Непосредственно из определения следует

Теорема 8. Оператор A¡1, обратный линейному оператору A, так-

же линеен.

Доказательство. В самом деле, еслиу y1,y2 2 Y , òî y1 = Ax1, y2 = Ax2

33

è

x1 = A¡1y1, x2 = A¡1y2:

Поэтому на основании соотношения (10), будем иметь

A¡1(a1y1 + a2y2) = A¡1A(a1x1 + a2x2) = a1A¡1y1 + a2A¡1y2,

ò. å. A¡1 линейный оператор.

Отметим, что, если оператор A отображает X íà Y взаимно однознач- но, тогда, сопоставляя элементу y 2 Y его прообраз, т. е. такой элемент

x 2 X , ÷òî Ax = y, мы получаем оператор B, отображающий Y íà X , который по смыслу своего определения удовлетворяет условиям

BAx = By = x, ABx = Ax = y,

а из этих условий вытекает линейность оператора B, ò. å. B = A¡1.

Отметим, что из этих соотношений вытекает, что обратный оператор существует и может быть только один.

Понятие обратного оператора можно рассмотреть еще с одной точки зрения. Пусть имеется уравнение

ãäå y произвольный, но фиксированный элемент из Y , à x искомый элемент пространства X . Тогда, если существует обратный оператор A¡1

то уравнение (11) имеет единственное решение, которое записывается в явном виде: x = A¡1y.

В практических задачах функция y получается в результате измерений и, следовательно, с некоторой погрешностью, т. е. практически вместо точного решениях уравнения (11) находим решение x~ приближенного

уравнения Ax~ = y~. Может оказаться, что, несмотря на то, что y близко к

y~, решение x~ сильно отличается от x. Решение приближенного уравнения имеет смысл только тогда, когда для близких y решения близки. Так как x = A¡1y, x~ = A¡1y~, то требование непрерывной зависимости решения от

правой части является фактически требованием непрерывности оператора A¡1.

Таким образом, важное значение приобретает теперь выявление условий, при выполнении которых обратный оператор существует и обладает теми или иными свойствами.

34

Оператор A определен на всем пространстве, причем, как нетрудно проверить, kAk 6 1 + jlj, ò. å. A 2 L (C[0,1],C[0,1]). Кроме того, простран-

ñòâî C[0,1] банахово.

Покажем, что при каждом y 2 C[0,1] уравнение

(Ax)(t) ´ x(t) ¡l Z1 ttx(t)dt = y(t):

0

имеет единственное решение. Заметим, что если x(t) решение этого уравнения, то

x(t) = y(t) + alt,

Следовательно, при любой правой части y(t) решение исходного уравнения имеет вид

18 Линейные функционалы

Числовую функцию f , определенную на некотором линейном пространстве L, мы будем называть функционалом. Функционал f называется аддитивным, если

f (x + y) = f (x) + f (y) äëÿ âñåõ x,y 2 L;

он называется однородным, если

f (lx) = l f (x), l произвольное число.

Аддитивный однородный функционал называется линейным функционалом.

Мы видим, что линейный функционал является частным случаем линейного оператора. В частности, для линейного функционала справедливы все понятия и теоремы. Приведем некоторые из этих понятий.

36

Линейный функционал на нормированном пространстве X называется ограниченным, если существует постоянная M > 0 такая, что справед-

ливо неравенство

jf (x)j 6 Mkxk:

Нормой ограниченного линейного функционала f называется наименьшая из констант M, при которых справедливо неравенство ограни- ченности, т. е.

kf k = infM = sup jf (x)j:

kxk61

Пространство L (X ,R) линейных ограниченных функционалов на X называется сопряженным к пространству X и обозначается X ¤.

Согласно теореме 6, сопряженное пространства является полным нормированным пространством.

Пример 27. Интеграл

Zb

I(x) = a x(t)dt

Этот функционал ограничен, а его норма равна b ¡a. Действительно,

причем при x(t) ´ 1 достигается равенство.

19Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах

Для многих конкретных функциональных пространств можно указать общий вид линейных функционалов, определенных на этих простран-

37

ствах. Знание общего вида линейных функционалов может оказаться полезным при различных исследованиях функциональных пространств.

Пусть Rn конечномерное нормированное пространство с базисом e1,

e2, :::, en. Тогда любой элемент x представляется в виде x = x1e1 + x2e2 +

::: + xnen.

n

ãäå xi = f (ei). Полагая x = å xiei, имеем f (x) = (x,x). Из неравенства

i=1

Коши-Буняковского получаем оценку jf (x)j 6 kxk¢kxk, которая показыва-

ет, что в конечномерном нормированном, пространстве любой линейный функционал f ограничен.

Пусть H есть гильбертово пространство и a какой-либо фиксированный вектор в нем. Скалярное произведение

f (x) = (a,x),

ãäå x пробегает все H, представляет собой, очевидно, линейный функционал на H. В силу неравенства Коши Буняковского

jf (x)j = j(a,x)j 6 kak¢kxk,

следовательно, этот функционал ограничен, а значит, и непрерывен на H. Из неравенства получаем, что kf k 6 kak Но положив x = a=kak, находим

f (a=kak) = (a,a=kak) = kak:

Поэтому kf k = kak.

Теорема 11 (Рисc). Всякий линейный функционал f (x), определенный в гильбертовом пространстве, имеет вид

f (x) = (a,x),

где элемент a однозначно определяется функционалом f . При этом

kf k = kak:

Значения линейных функционалов в Rn являются координатами точ-

êè x в некоторой системе координат. С этой точки зрения можно рассматривать и линейные ограниченные функционалы в нормированном пространстве, т. е. значения линейных ограниченных функционалов в точке

38

x считать координатами точки x и вместо x рассматривать ее ¾координаты¿ f (x). Поэтому можно считать, что введение сопряженного X ¤ ê áåñ-

конечномерному нормированному пространствуй аналогично введению координат в геометрическом пространстве. Для обоснования правомерности такой точки зрения нужно прежде всего показать, что линейных ограниченных функционалов на нормированном пространстве достаточ- но много в том смысле, что по значениям всех линейных ограниченных

функционалов точка x 2 X определяется однозначно, нужно выяснить,

разделяют ли ограниченные линейные функционалы точки нормированного пространства.

Задача о том, достаточно ли много на нормированном пространстве линейных ограниченных функционалов, сводится к задаче о продолжении линейного функционала с подпространства на все пространство. Утверждение о возможности такого продолжения, теорема Хана-Банаха, дает решение этих задач. Эта теорема, как уже отмечалось, относится к числу трех основных принципов функционального анализа.

Теорема 12 (Банаха-Хана). Всякий линейный функционал f (x), определенный на линейном подпространстве L линейного нормированного пространства E, можно продолжить на все пространство с сохранением нормы, т. е. можно построить линейный функционал F(x), определенный на E и такой, что

à) F(x) = f (x) äëÿ x 2 L, á) kFkE = kf kL.

С помощью ограниченных линейных функционалов в банаховом пространстве вводится новый тип сходящихся последовательностей.

Определение 14. Последовательность xn точек банахова пространства X слабо сходится к точке x 2 X , если для любого f 2 X ¤ выполнено

f(xn) ! f (x) ïðè n ! 1.

Âотличие от слабо сходящихся последовательностей, последовательности, сходящиеся в X , т. е. сходящиеся но норме X , иногда называют

сильно сходящимися.

Теорема 13. Если последовательность xn сходится к x по норме, то она сходится слабо.

39

Доказательство. Доказательство вытекает из оценки jf (xn)¡ f (x)j =

jf (xn ¡x)j 6 kf kkxn ¡xk.

Обратное утверждение неверно. Покажем на примере, что слабо сходящаяся последовательность может не сходится по норме.

Пример 28. В пространстве l2 последовательность ek = (0,:::,0

| {z }, 1, 0,

Следовательно, fekg не является фундаментальной, а значит, и сходящейся в l2.

Часто бывает полезной

Теорема 14 (Мазур). Åñëè xn ! x, n ! 1, слабо в банаховом про-

странстве X , то существует такая последовательность выпуклых линейных комбинаций точек xk

÷òî x~n ! x, n ! 1, сильно.

Эта теорема применяется при решении линейных операторных уравнений. Переход к координатам позволяет сначала из ограниченной последовательности приближенных решений выбрать подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторому обобщенному решению. Существование сильно сходящейся к нему последовательности линейных комбинаций приближенных решений дает возможность получить решение, удовлетворяющее нужным условиям.

40