Kursovaya_rabota_po_matematicheskomu_analizu
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Вариант 28 |
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Найти интегралы. |
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1. |
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dx |
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2. |
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2 ln x − 3 |
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dx. |
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3 |
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R |
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2 |
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1 |
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2 |
+ |
2x |
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3 |
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R |
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1 + tg2−x |
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3 |
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dx. |
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3. |
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p x |
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dx. 4. |
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p |
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R |
√x3 |
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+ √x3 |
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R |
x 3 ln2 x 11 ln x + 2 |
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(3 |
(1−+ |
√4 |
x)2 |
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(4 + tg |
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x |
) tg |
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x |
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x x + 1) (x + 1) |
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R |
p |
x √x5 |
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R |
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√x2 + x + 1 |
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√x + 2 |
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dx |
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dx |
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x3 + 4x |
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− |
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5. |
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dx. |
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6. |
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R |
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R |
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− |
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− |
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x |
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x2exdx |
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7. |
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√2 ch 2x |
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e |
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. |
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8. |
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(x |
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1) |
10 dx. |
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R |
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R |
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cos3 x3 |
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9. |
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10. |
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tg x√tg x + 1dx. |
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(x + 2) |
2 |
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R |
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R |
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√edx |
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11. |
R |
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x |
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dx. |
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12. |
R |
ln(sin x + 1) tg xdx. |
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xxdx |
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+ 1 |
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x |
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1 |
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13. |
R |
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√ |
x2 |
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. |
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14. |
R |
arcsin(sin x)dx. |
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earctg x |
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a |
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1+ b |
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1 |
−3 |
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15. |
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16. |
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dx. |
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17 |
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+ x2)√1 + x2 |
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18 x |
− |
ln x(pln + ) |
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R |
cos x |
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R |
√x |
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1 + 3 |
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(x + 1)2 |
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. |
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dx. |
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− |
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a |
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x b dx. |
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(1 ln x |
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x + sh x + ch x |
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19. |
R |
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dx. |
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20. |
R |
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ch x |
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sh x |
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dx. |
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√ |
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√ |
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1dx. |
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2 |
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21. |
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p |
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6 |
3 tg2 x |
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22. |
√6 − x − √3 x + 1dx. |
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arccos |
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1 x |
− |
1 |
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R0 |
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tg2 x +−5 |
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R11 |
√ |
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+ √3 |
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− 1 |
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6 + x |
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x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
23. R0 |
ln(sin x + 2)dx. |
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24. R0 |
arctg(x + √ |
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)dx. |
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x |
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25. Пусть функция f |
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непрерывна на отрезке [a, b] |
и для любых x1 и x2 |
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из [a, b] справедливо неравенство f(x1+2 x2 ) |
≤ |
f(x )+f(x ) |
. Доказать, что тогда |
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b |
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f(a)+f(b) |
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f(a+2 b )(b − a) ≤ Ra |
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f(x)dx ≤ |
(b − a). |
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5 |
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26. Вычислить интеграл от разрывной ограниченной функции R0 |
[ex]dx. |
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27.Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = 1 + t − t3, y(t) = 1 − 15t2.
28.Найти√площадь области между кривыми x4 + y4 = 2(x2 + y2),
x2/3 + y2/3 = 3 2.
29.Найти длину дуги кривой (x2 )2/3 + (y3 )2/3 = 1.
30.Найти объем тела, образованного вращением кривой x4 +y4 = x2 вокруг оси ОХ, оси ОУ.
32
Вариант 29
Найти интегралы. |
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R |
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dx |
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2 |
x3 + 3x2 |
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1. |
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3 |
) |
5/3 . |
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R |
x |
(2 + x |
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(4 |
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− 2) |
5( |
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4 |
3 |
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||||||||||||||||||
3. |
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|
x |
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|
3 |
x |
2− |
|
|
|
2 |
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dx. |
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|||||||||||||||||||
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+ 1) |
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||||
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|
+ |
x |
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
|
q(1 2√5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
sh xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
|
√3 th2 x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
R |
|
(√ |
tg xdx− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
9. |
|
|
|
|
|
|
|
− 1)2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
cos5 x ln(tg x |
− |
1) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin3 x |
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|||||||||||||||||||
|
R |
x arcsin |
q |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
13. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
15. |
R |
|
cos2 x(1 + √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
sin |
|
x |
cos |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
arctg |
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
19. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
(1 + x ln |x| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
17. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
ex)√ex |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
√10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
(1 −3 x2)√ |
x2 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 tg x + 5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
R √3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
21. |
|
|
|
(5 |
|
|
− |
|
tg x) sin 2xdx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2. |
|
(sin2 x |
− sin x + 1) |
cos x |
dx. |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
2 sin x |
|
−cos x |
|
2 |
dx. |
||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
p |
− |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
R |
|
(2 |
|
|
|
cos2 x)3 |
||||||||||||||||||||||
(2 cos x − 3 sin x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x32+ 2x2 |
+−3x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
6. |
|
√ x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
√x2 |
+ x + 1. |
||||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
e2xdx− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
||||
8. |
|
|
|
|
|
|
(x |
|
1)10 |
|
|
|
dx. |
|||||||||||||||
10. R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
(3 − ex2 )3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
12. |
|
|
ep1 − sin x |
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
R |
|
|
|
1 − cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
√x + 1 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
14. R |
arccos(cos x)dx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
16. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|||||||||||
|
x arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
R |
|
(x + 1)2 |
− |
x + 1 |
|
|||||||||||||||||||||||
18. |
|
(1 x ln x |
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
20. R1 |
|
|
|
|
+ ax |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
(ln x + 1)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
R0 |
|
√ |
|
|
|
√ |
|
dx. |
|||||||||||||||||||
|
|
4 − x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||
22. |
|
+ |
|
2 − x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
√4 − x2 + |
|
√2 + x |
||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
1 |
|
23. R0 |
sin(x + √ |
|
)dx. |
24. R0 |
sin2(ln x)dx. |
x |
25. Функция f имеет на [0, 1] ограниченную производную. Доказать, что существует постоянная c такая, что для любого n N выполняется неравенство
0 |
f(x)dx − n1 k=1 f |
nk |
< nc . |
|
|
|
|
||||||
1 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
P |
|
|
|
1 |
19 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
||||
|
26. Доказать, что |
|
20 √2 |
R0 |
√1+x6 |
dx < |
|
|
. |
||||
|
20 |
||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
27.Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = t2 − 1, y(t) = t3 − t.
28.Найти площадь области из первого квадранта, ограниченной кривой
r2 = 8 sin2 2ϕ и лежащей вне кривой x4 + y4 = x2 + y2.
3 √ √ √
29. Найти длину дуги кривой x + y = a.
30.Найти площадь поверхности, образованной вращением дуги АВ кривой x = t2, y = 13 t(3 − t2), A(0, 0), B(3, 0) вокруг оси ОУ.
33
Вариант 30
Найти интегралы.
R√
1. |
x cos |
|
|
xdx. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
R |
|
|
3 |
|
|
x2 + x |
− |
5 |
|
2 |
dx. |
||||||||||
3 |
( |
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
5 4 2 |
|
|
||||||||||||||||
3. |
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
1)(x |
2 |
+ 1) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
5. |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
|
||||||||
(1x2√3 x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
√x ) |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
sh xdx |
|
|
|
|
|
|
||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
ch |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
|
√ |
|
|
|
x + √ch 2x. |
|
|
|||||||||||||
9. R |
x tg x(√ |
|
+ 1)dx. |
|
|||||||||||||||||
x |
|
||||||||||||||||||||
Re3x
11. |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
|
|||
cos |
3 |
x |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
13. |
|
|
4cos 2x − 3 |
|
2 |
|
dx. |
|||||
R |
x sin x + cos− x |
|
|
x |
||||||||
R |
cos |
|
x |
|
4 ctg |
|
||||||
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
||||
15. |
|
|
|
|
p2 |
dx. |
||||||
19. R |
xx(1 + ln x)dx. |
|
|
|
|
|||||||
17. |
x arctg x ln(1 + x )dx. |
|||||||||||
21. R |
0 |
|
|
3 tg2 x − 50dx. |
||||||||
− |
|
R |
|
√10 |
|
|
|
|
||||
|
arccos |
1 |
|
2 tg x + 7 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23. R0 |
cos(x + √ |
|
)dx. |
|
|
|||||||
x |
|
|
||||||||||
2. |
2 cos3 x − |
sin 2x + 2 cos x dx. |
||||||||||||||||||||||||||||
R |
1 + 3 sin2 x |
−+ 2 sin x cos x |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
sin7 x |
|
|
|||||||||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x − 2 cos x |
|
|
|
||||||||||||||||
6. |
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
|
+11 |
dx |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
R |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
R |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x + 1 + √x |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
sin3 x + tg x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
8. |
|
x |
2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
+ 1 |
√1 + x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
R |
|
|
3 |
|
|
√x |
− 2√3 x + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
10. |
|
|
|
cos3 x |
|
|
|
ctg x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
√x + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
12. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
14. R |
[x] ln xdx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
16. |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
x 2)3(x + 1)5 |
|
|||||||||||||||||||||||
18. |
p |
( |
2 |
|
|
|
|
√ |
|
|
2 . |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg− |
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
R1 |
|
(ax |
|
+ b) |
|
ax |
|
+ b |
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x + 1 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
√1 x + |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
20. R |
√3 x arcsin(√x2 |
+ 1)dx. |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
R0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
√1 + x − |
√2x − 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
22. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
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3 |
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dx. |
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||||
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24. R0 |
cos2(ln x)dx. |
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25. |
Доказать, что если функция f дважды непрерывно дифференцируема |
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на [0 1], то n→∞ |
1 |
( ) − n k=0 |
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n |
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= |
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2 |
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. |
||||||||
0 |
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f(1) |
f(0) |
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R |
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n−1 |
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, |
lim n |
f t dt |
1 |
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f |
k |
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− |
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1 |
x9P |
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1 |
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|||||||
26. |
Доказать, что |
101√ |
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< R0 |
√ |
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dx < |
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. |
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10 |
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2 |
1+x |
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27.Найти площадь, ограниченную кривыми, заданными параметрически x(t) = t − t2, y(t) = t2 − t3.
28.Найти площадь области, лежащей между кривыми (x2+y2)2 = 3(x2−y2)
и(x2 + y2)2 = 12(x2 − y2).
29.Найти длину дуги кривой (y − arcsin x)2 = 1 − x2.
30.Найти объем тела, образованного вращением фигуры 2y3 = x4, y−x = 32 вокруг прямой y − x = 32 .
34
Составители: |
Половинкин Игорь Петрович, |
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Попков Александр Васильевич, |
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Рогова Наталия Владимировна, |
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Рыжков Александр Витальевич, |
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Шашкин Александр Иванович |
Редактор |
Золотарева К.А. |