задачник

Настоящая разработка предназначена для лабораторных работ и самостоятельной работы студентов при изучении курса "Функциональный анализ и интегральные уравнения", а также при подготовке к зачетам и экзамену по этому курсу. При подборке задач и упражнений использовалась приведенная ниже литература. Некоторые задачи и упражнения являются новыми.

В разработке приняты следующие сокращения:

МП – метрическое пространство, ЛП – линейное пространство, ЛМ – линейное многообразие,

ЛНП – линейное нормированное пространство, БП – банахово пространство, ПСП – пространство со скалярным произведением, ГП – гильбертово пространство, ММН – множество меры нуль,

ЛОО – линейный ограниченный оператор, ЛОФ – линейный ограниченный функционал.

Литература

1.Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. – M.: Наука. 1989.

2.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Краткий курс функционального анализа. – M.: Высшая школа. 1982.

3.Треногин В.А. Функциональный анализ. – M.: Наука. 1993.

4.Шилов Г.Е. Математический анализ. Специальный курс. –

M.: Физматгиз, 1960.

5.Шилов Г.Е., Гуревич Б.Л. Интеграл, мера и производная. – M.: Наука, 1967.

6.Антоневич А.Б., Князев П.Н., Радыно Я.В. Задачи и упражнения по функциональному анализу. – Минск: Вышэйшая школа, 1978.

7.Городецкий В.Г., Нагнибеда Н.И., Настасиев П.П. Методы решения задач по функциональному анализу.- Киев: Выща школа, 1990.

8.Очан Ю.С. Сборник задач по математическому анализу. –

М.: Просвещение. 1981.

9.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи

иупражнения по функциональному анализу.– М.: Наука, 1984.

3

1.Метрические пространства (определения)

1.1.Для любых чисел u ¸ 0, v ¸ 0, " > 0, p > 1 доказать неравенство

ju + vjp · 2p (jujp + jvjp):

1.3. Пусть ½(x; y) – метрика в X. Показать, что метриками в X являются:

1.4. Показать, что аксиомы метрики эквивалентны двум условиям:

1) ½(x; y) = 0 () x = y; 2) ½(x; y) · ½(x; z) + ½(y; z):

1.5.Показать, что ½(x; y) = jarctg(x ¡ y)j является метрикой на R1.

1.6.Пусть функция '(t) определена и дважды непрерывно дифференцируема при t ¸ 0. Кроме того, '(0) = 0, '0(t) > 0 и '00(t) · 0. Показать, что ½(x; y) = '(jx ¡ yj) является метрикой на R1.

1.7.Пусть X – МП с метрикой ½(x; y). Показать, что для любых элементов x; y; u; v 2 X:

a) j½(x; y) ¡ ½(x; u)j · ½(y; u); б) j½(x; u) ¡ ½(y; v)j · ½(x; y) + ½(u; v):

построить замкнутые шары B[(0; 0); 1].

1.9.Может ли в метрическом пространстве шар радиуса 4 быть строгим подмножеством шара радиуса 3 ?

1.10.Показать, что если шар радиуса 7 в метрическом пространстве содержится в шаре радиуса 3, то эти шары совпадают.

1.11.Пусть множество M ½ X – МП ограничено. Показать, что

(8xo 2 X)(9r > 0)(M ½ B[xo; r]):

1.12.Пусть множества A и B ограничены в X – МП. Показать, что множество A [ B также ограничено в X.

1.13.Доказать, что множество M ½ C[a; b] ограничено тогда и только тогда, когда (9K > 0)(8x 2 M)(8t 2 [a; b])(jx(t)j · K):

4

1.14.Доказать, что множество функций fx(t)g, дифференцируемых на

[a; b] и (9K1 ¸ 0)(9K2 ¸ 0)(8x)(8t 2 [a; b]) [(jx(a)j · K1) V(jx0(t)j · K2)];

ограничено в пространстве C[a; b].

2.Сходимость в метрических пространствах

2.1. Показать, что если в метрическом пространстве при n ! 1 выполня-

ется xn ! x и ½(xn; yn) ! 0, то yn ! x.

2.2. В пространстве C[0; 1] проверить сходимость при n ! 1 последовательностей:

m и l2, сходилась в m и не сходилась в l2.

2.5. Доказать, что всякая фундаментальная последовательность в метрическом пространстве ограничена.

2.6. Пусть fxng – фундаментальная последовательность в метрическом пространстве такая, что некоторая ее подпоследовательность fxnk g сходится при k ! 1 к элементу xo. Доказать, что xn ! xo.

фундаментальна.

2.8. Пусть fxng, fyng – фундаментальные последовательности в метрическом пространстве. Доказать, что при n ! 1 последовательность чисел ¸n = ½(xn; yn) сходится.

2.9.Доказать, что всякое метрическое пространство с конечным числом элементов является полным.

2.10.Доказать полноту пространства s.

2.11.Доказать полноту пространства m.

2.12.Доказать, что множество N натуральных чилел с расстоянием ½(n; m) = jn ¡ mj(nm)¡1 является неполным метрическим пространством.

5

2.13.Пусть X и Y – метрические пространства с метриками ½X и ½Y соответственно. Доказать, что:

а) множество X £ Y является метрическим пространством с расстоянием

½((x1; y1); (x2; y2)) = ½X(x1; x2) + ½Y (y1; y2) ;

б) если пространства X и Y полные, то X £ Y – полное метрическое пространство.

3.Замкнутые и открытые множества

3.1.Доказать, что для любых множеств A и B в метрическом пространстве выполняется A \ B ½ A \ B. Привести пример строгого включения.

3.2.Показать, что в дискретном метрическом пространстве X с метрикой

всякое множество замкнуто.

3.3.Показать, что замыкание открытого шара в метрическом пространстве содержится в соответствующем замкнутом шаре, но может с ним не совпадать.

3.4.Доказать замкнутость в метрическом пространстве любого конечного множества.

3.5.В X – МП даны две точки a; b 2 X. Доказать замкнутость множества fx 2 Xj ½(x; a) = ½(x; b)g.

3.6.Пусть f(x) – непрерывная на R1 функция. Доказать, что для любого a 2 R1 в R1 замкнуто множество fx 2 R1j f(x) · ag.

3.7.Доказать, что для любой функции xo 2 C[a; b] в пространстве C[a; b]

замкнуто множество fx 2 C[a; b] j (8t 2 [a; b])[x(t) · xo(t)]g:

3.8. Пусть Q – метрическое пространство рациональных чисел с метрикой ½(x; y) = jx ¡ yj. Доказать, что в Q замкнуто множество

fx 2 Qj 2 < x2 < 3g:

3.9.Доказать, что в пространстве C[a; b] замкнуто множество fx 2 C[a; b] j [jx(t)j · 1] ^ [x(a) = x(b) = 0]g:

3.10.Построить счетную последовательность замкнутых множеств, объединение которых не является замкнутым.

3.11.В пространстве C[¡1; 1] даны множество A и элемент xo. Проверить, что xo является для A внутренней точкой:

а) A = fxj (8t 2 [¡1; 1])[x(t) · 1]g; xo(t) = sin t;

б) A = fxj (8t 2 [¡1; 1])[jx(t)j · 1]g; xo(t) = t=2;

в) A = fxj (8t 2 [¡1; 1])[x(t) < t]g; xo(t) = t ¡ 1:

7

4.Непрерывные отображения метрических пространств

4.1.Проверить непрерывность следующих функций, действующих в пространстве R21, где x = (x1; x2) :

1) f(x) = (2x1; x1 ¡ x2), 2) f(x) = (x21; x22), 3) f(x) = (sin x2; x1),

4)f(x) = (x2; tg x2), 5) f(x) = (x1=x2; x2=x1).

4.2.Проверить непрерывность действующих в пространстве C[0; 1] функ-

3)f(x)(t) = arctg x(t), 4) f(x)(t) = (1 + t2)¡1 x(t).

4.3.Доказать, что в задаче 4.1 функции 1) и 3) удовлетворяют условию Липшица.

4.4.Доказать, что в задаче 4.2 функции 1), 3) и 4) удовлетворяют условию Липшица.

4.5.Пусть X, Y – МП-ва и функция f : X ! Y . Доказать, что функция f непрерывна на X тогда и только тогда, когда

(8A ½ X)(f[A] ½ f[A]).

4.6.Доказать, что любое непрерывное отображение числового отрезка в себя имеет неподвижную точку.

4.7.Пусть функция f(x) дифференцируема на R1 и jf0(x)j · k < 1. Показать, что уравнение x = f(x) имеет единственное решение.

4.8.Проверить, что следующие уравнения имеют единственные решения:

1)4x = 2(1 + x2)1=2 + sin x, 2) 10x + 5arctg x + 4 cos x = 0.

4.9.На [1; 1) рассмотрим функцию f(x) = 2¡1 ln x. Показать, что функция f(x) является сжимающей, но неподвижных точек не имеет.

4.10.Показать, что функция f(x) = 2¡1 x2 jxj¡1 является сжимающей в своей области определения, но неподвижных точек не имеет.

4.11.Пусть задана функция a 2 C[a; b]. Показать, что существует единственная функция x 2 C[a; b] такая, что 2x(t) + sin x(t) + a(t) ´ 0.

4.12.Показать, что существует единственная функция x 2 C[0; 1] такая, что 2x(t) + x(t2) + t3 ´ 0.

4.13.Пусть X – МП полное. Отображение f : B[xo; r] ! X и является

сжимающим с константой сжатия q. Пусть ½(f(xo); xo) · (1 ¡ q)r. Показать, что отображение f имеет в шаре B[xo; r] единственную неподвижную точку.

4.14. Пусть f(t; u) – функция, непрерывная по совокупности переменных t 2 [a; b] и u 2 R1. Пусть существует fu0 (t; u) такая, что 0 < m · fu0 (t; u) · M < 1 для всех t 2 [a; b] и u 2 R1. Показать, что существует единственная

9

5.12.Пусть множество A вполне ограничено в метрическом пространстве. Показать, что для любого " > 0 конечную " – сеть для A можно выбрать так, чтобы она содержалась в A.

5.13.Пусть A и B – ограниченные множества в метрическом пространстве. Показать, что в пространстве R1 относительно компактно множество f¸ =

½(x; y) j (x 2 A) ^ (y 2 B)g.

5.14.Пусть M – ограниченное в C[a; b] множество функций, удовлетворяющих условию Липшица с общей постоянной. Показать, что множество M относительно компактно в C[a; b].

5.15.Пусть M = fx(t)g – множество функций из C[a; b], удовлетворяющих

условию Липшица с общей постоянной. Пусть существует точка to 2 [a; b], что соответствующее числовое множество fx(to)g ограничено. Показать, что множество M относительно компактно в C[a; b].

5.16. Пусть M = fx(t)g – множество дифференцируемых на отрезке [a; b] функций, удовлетворяющих условию

(9K ¸ 0)(8x 2 M)(8t 2 [a; b]) [ jx0(t)j · K] ^ (8x 2 M)(9to 2 [a; b])[x(to) = 0]:

Показать, что множество M относительно компактно в C[a; b].

5.17. Пусть M – ограниченное в C[a; b] множество. Показать относительную компактность в C[a; b] множества

n Z t o y 2 C[a; b] j [y(t) = x(s) ds] ^ (x 2 M) :

a

5.18. Какие из следующих множеств относительно компактны в C[0; 1]:

7)farctg (t + ®)g®2R1 ; 8) fn [1 ¡ cos (t n¡1)]g1n=1 ?

5.19.Пусть y(t; s) – функция, непрерывная по совокупности переменных на квадрате t; s 2 [a; b]. Для каждого s 2 [a; b] определим функцию xs(t) =

y(t; s) по переменной t 2 [a; b]. Показать, что множество функций fxs(t)gs2[a;b] компактно в C[a; b].

6.Линейные пространства

6.1.Являются ли линейными пространствами следующие множества функций (с естественными алгебраическими операциями) :

1)функции x(t) непрерывны на [a; b] и x(a) = 0 ;

2)функции x(t) непрерывны на [a; b] и x(b) = 1 ?

10

6.2.Пусть A – подмножество линейного пространства. Справедливо ли для любых чисел ¸ и ¹ равенство (¸ + ¹) A = ¸A + ¹A ?

6.3.Пусть E; F – ЛП-ва. Определим линейные операции на множестве E£

F = f(x; y)j (x 2 E) ^ (y 2 F )g следующим образом: a1(x1; y1) + a2(x2; y2) = (a1x1 + a2x2; a1y1 + a2y2). Показать, что тогда E £ F – ЛП.

6.4.Доказать, что пересечение любой системы выпуклых множеств есть выпуклое множество.

6.5.Пусть A и B – выпуклые множества. Доказать, что для любых чисел

¸и ¹ множество ¸A + ¹B выпукло.

афункции 1; cos 2t; cos2 t линейно зависимы.

6.9.Показать, что в C[a; b] функции tk (k = 0; 1; :::; n) линейно независимы.

6.10.Показать, что пространства l2; m и C[a; b] бесконечномерны.

6.11.Пусть линейное пространство E = L1 © L2, где L1; L2 – ЛМ-зия. Доказать, что L1 \ L2 = f£g.

6.12.Пусть L1; L2 – ЛМ-зия в E – ЛП и L1 \L2 = f£g. Пусть всякий x 2 E допускает представление x = x1 + x2, где x1 2 L1 и x2 2 L2. Доказать, что

E = L1 © L2.

6.13. В пространстве l2 даны два множества :

Mn = fx 2 l2j [x = (x1; x2; :::)] ^ (Pnk=1 xk = 0)g ,

Nn = fx 2 l2j [x = (x1; :::; xn; 0; 0; :::)] ^ (x1 = x2 = ::: = xn)g . Показать, что Mn и Nn – ЛМ-зия в l2 и l2 = Mn © Nn.

6.14. В пространстве l2 дано множество N1 = fx 2 l2j x = (x1; 0; 0; :::)g. Показать, что N1 – ЛМ в l2 и l2 = Mn © N1, где Mn из задачи 6.13.

7.Линейные нормированные пространства

7.1.Показать, что для любой пары элементов x и y из линейного нормированного пространства выполняется неравенство

kxk · maxfkx + yk; kx ¡ ykg.

7.2.Показать, что множество M ½ E – ЛНП ограничено тогда и только тогда, когда (9C ¸ 0)(8x 2 M)(kxk · C).

7.3.Пусть E; F – ЛНП-ва. Определим в E £ F – ЛП (зад. 6.3) норму

k(x; y)k = kxkE + kykF . Показать, что тогда: a) E £ F – ЛНП;

б) если E; F – БП-ва, то и E £ F – БП.