задачник

11

7.4.Можно ли в пространстве C1[a; b] непрерывно дифференцируемых на [a; b] функций принять за норму следующие выражения :

7.5.Пусть M – ЛМ в E – ЛНП. Показать, что замыкание M – подпространство E.

7.6.Показать, что в задачах 6.13 и 6.14 множества Mn; Nn; N1 являются подпространствами в l2.

7.7.Доказать, что в линейном нормированном пространстве замыкание выпуклого множества есть выпуклое множество.

7.8.Показать, что всякий шар в линейном нормированном пространстве есть выпуклое множество.

7.9.Показать, что замыкание открытого шара в линейном нормированном пространстве есть соответствующий замкнутый шар.

7.10.Пусть для двух замкнутых шаров в линейном нормированном пространстве выполнено включение B[a1; r1] ½ B[a2; r2]. Доказать, что r1 · r2

иka1 ¡ a2k · r2 ¡ r1.

7.11.Показать, что внутренность замкнутого шара в линейном нормиро-

ванном пространстве есть соответствующий открытый шар.

7.12.Показать, что аксиому 3) в определении нормы можно заменить условием выпуклости единичного шара B[µ; 1] = fxj kxk · 1g.

7.13.Пусть A и B – множества в линейном нормированном пространстве. Доказать, что :

1)если множества A и B ограничены, то множество A + B ограничено ;

2)если множество A открыто, то для произвольного множества B множество A + B открыто ;

3)если множество A замкнуто, а множество B компактно, то множество A+B замкнуто ;

4)если множества A и B компактны, то и множество A + B компактное.

7.14.Доказать, непосредственно получая необходимые оценки, эквивалентность в Rn норм: kxk1; kxk2; kxk1.

7.15.Доказать, что в линейном пространстве C[a; b] не эквивалентны

7.16. Доказать, что в пространстве C1[a; b] эквивалентны нормы :

12

7.17. Методом последовательных приближений, считая xo(t) ´ 0, найти решения следующих уравнений Вольтерра :

Z t Z t

1) x(t) = 1 + x(s) ds; 2) x(t) = t ¡ (t ¡ s)x(s) ds:

0 0

8.Пространства со скалярным произведением

8.1.В пространстве со скалярным произведением доказать равенство параллелограмма kx + yk2 + kx ¡ yk2 = 2(kxk2 + kyk2):

8.2.Доказать, что в вещественном пространстве со скалярным произведением 4(x; y) = kx + yk2 ¡ kx ¡ yk2:

8.3.Доказать, что в комплексном пространстве со скалярным произведением 4(x; y) = (kx + yk2 ¡ kx ¡ yk2) + i(kx + iyk2 ¡ kx ¡ iyk2):

8.4.Пусть H – ПСП, x 2 H и последовательность fxng ½ H такие, что

при n ! 1 выполнено (kxnk ! kxk) ^ (8h 2 H)[(xn; h) ! (x; h)]: Доказать, что kxn ¡ xk ! 0.

8.5. Пусть H – ПСП, последовательности fxng; fyng ½ H такие, что kxnk · 1, kynk · 1 и (xn; yn) ! 1 при n ! 1. Доказать, что kxn ¡ ynk ! 0.

8.6.Пусть x; y 2 H – ПСП. Для того чтобы x ? y необходимо, а в вещественном пространстве H и достаточно, чтобы kx + yk2 = kxk2 + kyk2.

8.7.Доказать, что в комплексном пространстве со скалярным произведением для выполнения x ? y достаточно чтобы kx + ¸yk2 = kxk2 + kyk2 для

¸= 1 и ¸ = i.

8.8.Доказать, что в H – ПСП j(x; y)j = kxk kyk тогда и только тогда, когда x; y 2 H линейно зависимы.

8.9.Доказать, что в пространстве со скалярным произведением два вектора x и y лежат на одном луче (x = £ или y = ¸x при некотором ¸ ¸ 0) тогда и только тогда, когда kx + yk = kxk + kyk.

8.10.Доказать, что в H – ПСП для любого множества M ½ H выполняется включение M ½ (M?)?.

8.11.Доказать, что для произвольного множества M ½ H – ПСП множество M? является подпространством H.

8.12.Доказать, что для произвольного множества M ½ H, где H – ГП, равенство M = (M?)? выполняется тогда и только тогда, когда M – подпространство H.

13

8.13.Пусть M и N – такие подпространства H – ГП, что H = M © N. Верно ли, что тогда N = M? ?

8.14.Показать, что в l2 – ГП выполняется Nn = Mn?, где Mn и Nn из задачи

6.13.

8.15.Доказать, что элемент x 2 H – ГП ортогонален подпространству M ½ H тогда и только тогда, когда (8y 2 M)( kxk · kx ¡ yk ).

8.16.Пусть M и N – подпространства H – ГП. Пусть M ? N. Доказать, что M + N подпространство H.

8.17.Пусть M – одномерное подпространство H – ГП, элемент a 2 M и a 6= µ. Доказать, что

8.18. В C2[¡1; 1] – ПСП провести процесс ортогонализации для элементов

9.Множества меры нуль на отрезке

9.1.Доказать, что всякое конечное или счетное множество является множеством меры нуль .

9.2.Пусть B ½ A и A – ММН. Показать, что и B – ММН.

9.3.Доказать, что любой промежуток (отрезок, интервал, полуинтервал) не является множеством меры нуль.

9.4.Показать, что в определении множества меры нуль интервалы в покрытии можно заменить промежутками.

9.5.Может ли множество, имеющее хотя бы одну внутреннюю точку, быть

конечная или счетная система интервалов такая, что ¢i \ ¢j = ? (i 6= j) и Pj¢ij = b ¡ a. Доказать, что F – ММН.

i

9.7. Можно ли построить на отрезке [a; b] замкнутое множество полной меры, отличное от всего отрезка ?

9.8. Пусть множество A ½ [a; b] и A – ММН. Является ли его замыкание A также множеством меры нуль ?

9.9. Доказать, что всякое замкнутое множество меры нуль является нигде не плотным.

14

9.10.Известно, что сумма длин интервалов, смежных к замкнутому множеству F ½ [a; b], меньше b ¡ a. Показать, что F не является множеством меры нуль.

9.11.Пусть A – ММН на отрезке [0; 1] и нигде не плотно на этом отрезке. Является ли его замыкание A – ММН ?

9.12.Множество A ½ [a; b] назовем множеством меры нуль, если A можно покрыть счетной системой интервалов, с конечной суммой длин, таким образом, что любая точка множества A окажется покрытой бесконечным числом этих интервалов. Доказать эквивалентность этого определения множества меры нуль первоначальному.

9.13.Доказать, что множества Кантора (нулевой и ненулевой меры) являются нигде не плотными.

10.Измеримые на отрезке функции и класс функций C+

10.1.Показать, что всякая ступенчатая функция измерима.

10.2.Показать, что на [0; 1] измеримы функции:

характеристическая функция множества A. Пусть x(t) – произвольная конечная п.в. на [a; b] функция. Показать, что если A – ММН, то y(t) = ÂA(t) ¢x(t)

–измеримая функция.

10.5.Показать, исходя из определения, измеримость всякой непрерывной на отрезке [a; b] функции.

10.6.Показать, что ступенчатые функции принадлежат классу C+.

10.7.Показать, что функции в задачах 10.2 и 10.4 из класса C+.

п.в. +

10.8. Пусть на [a; b] функции x(t) = y(t) и x 2 C . Показать, что тогда и y 2 C+.

17

11.11.Привести пример на [0; 1] последовательности fxng ½ L такой, что

п.в. xn(t) ¸ 0 и при n ! 1 п.в. xn(t) % x(t). Функция x(t) конечна п.в. на [0; 1], но не суммируема.

[a; b] по Риману в несобственном смысле.

11.13. С помощью теоремы Лебега о предельном переходе под знаком ин-

11.14. Привести пример на [0; 1] последовательности f'ng ½ L, что :

п.в.

а) 'n(t) ! '(t) при n ! 1 и ' 2 L;

б) lim I'n = I',

n!1

в) не существует неотрицательной функции '0 2 L, что для всех n выполнено

п.в. j'n(t)j · '0(t).

11.15. Пусть функция x 2 L, а функция y(t) измерима и ограничена. Показать, что произведение x(t)y(t) – суммируемо.

11.16. Пусть функция x(t) измерима на [a; b] и существует p > 1, что xp 2 L. Показать, что функция x 2 L.

11.17. Показать, что для любой последовательности fnkg натуральных чисел таких, что nk ! 1 при k ! 1, функции sin(nkt) не сходятся на [0; 2¼] при k ! 1 ни к какой функции x(t).

12.Измеримые множества

12.1.Пусть A и B измеримые множества. Доказать, что:

1)¹(A [ B) + ¹(A \ B) = ¹A + ¹B;

2)¹(AnB) + ¹(BnA) = IjÂA ¡ ÂBj;

где I - интеграл, а ÂA, ÂB - характеристические функции.

12.2. Множество A ½ [a; b] назовем множеством меры нуль, если это множество измеримо и ¹A = 0. Показать, что это определение совпадает с первоначальным.

12.3. Пусть fAng – последовательность измеримых множеств на [0; 1] та-

кая, что (8" > 0)(9k)(¹Ak > 1 ¡ "). Доказать, что ¹( S1 An) = 1.

n=1

18

12.4.Пусть на [a; b] расположены n измеримых множеств fAigni=1. Каждая точка отрезка [a; b] принадлежит по меньшей мере p из этих множеств. Доказать, что (9k)[¹Ak ¸ (b ¡ a)p=n].

12.5.Доказать, что любое ограниченное измеримое множество A такое, что ¹A = p > 0, содержит измеримое подмножество меры q, для любого q, что 0 · q < p.

12.6.Доказать, что если A – измеримое множество на [a; b] и ¹A > 0, то на множестве A найдется хотя бы одна пара точек, расстояние между которыми рационально.

12.7.Пусть x(t) – произвольная функция на [a; b]. Доказать, что следующие свойства эквивалентны:

a) (8c 2 R1)ft 2 [a; b] j x(t) > cg – измеримо, б) (8c 2 R1)ft 2 [a; b] j x(t) ¸ cg – измеримо, в) (8c 2 R1)ft 2 [a; b] j x(t) < cg – измеримо, г) (8c 2 R1)ft 2 [a; b] j x(t) · cg – измеримо.

12.8. Пусть E – неизмеримое множество на [a; b], множество A ½ [a; b] и ¹A = 0. Доказать, что множество E \ CA неизмеримо.

12.9.Показать, что для множества A ½ [a; b] выполнено ¹¤A · ¹¤A.

12.10.Пусть множества A; B ½ [a; b] и A ½ B. Показать, что

12.13.Показать, что для неизмеримого множества Лузина Z выполнено: ¹¤Z = 0; ¹¤Z > 0. Показать, что внешняя мера множества Z зависит от выбора представителей в соответствующих классах эквивалентных множеств.

12.14.Пусть множества A; B ½ [a; b], причем ¹B = 0. Показать, что выполнены равенства ¹¤A = ¹¤(A [ B) = ¹¤(AnB).

12.15.Пусть ограниченные множества A и B такие, что: ¹A = 1=2,

следует измеримость x(t) на [a; b].

20

13.12.В квадрате 0 · x; y · 1 задана функция

Доказать, что функция '(x; y) в квадрате [¡1; 1]2 не суммируема.

14.Пространства суммируемых функций

14.1.Для каких ® 2 R1 функция x(t) = t® принадлежит пространству

Lp[0; 1], где 1 · p · 1 ?

14.2.Показать, что всякая последовательность функций fxn(t)g, сходящаяся в пространстве C[a; b], сходится и в пространствах Lp[a; b], где 1 · p · 1, причем к той же функции.

14.3.Привести пример последовательности функций fxng ½ C[0; 1], сходящейся в пространствах Lp[0; 1] (1 · p < 1), но не сходящейся в пространстве

C[0; 1].

14.4.Пусть последовательность функций fxngп.в.½ L1 и kxnk ! 0 при n ! 1. Следует ли отсюда при n ! 1, что xn(t) ! 0 ?

14.5.Показать, что последовательность функций на [0; 1]

при n ! 1 сходится к нулю для всех t 2 [0; 1] и не сходится в пространстве

L1[0; 1].

14.6. Показать, что для 1 · s < p · 1 всякая функция x 2 Lp[a; b]

принадлежит и пространству Ls[a; b], причем kxks · c(a; b; s; p) kxkp.

14.7. Пусть функции xk 2 Lpk [a; b], где 1 < pk < 1; k = 1; 2 и p¡1 1 + p¡2 1 = p¡3 1, где 1 · p3 < 1. Доказать, что произведение x1x2 2 Lp3[a; b] и

kx1x2kp3 · kx1kp1kx2kp2:

14.8. Пусть функции xk 2 Lpk [a; b], где 1 < pk < 1; k = 1; 2; 3 и p¡1 1 + p¡2 1 + p¡3 1 = 1. Доказать, что произведение x1x2x3 2 L1[a; b] и

kx1x2x3k1 · kx1kp1kx2kp2kx3kp3: