задачник

21

15.Линейные операторы и функционалы (ограниченность, норма, сходимость)

15.1.Пусть E – БП и F – ЛНП. Пусть A : E ! F линейный ограничен-

ный оператор такой, что (9c > 0)(8x 2 E)(kAxkF ¸ c kxkE): Показать, что множество значений оператора R(A) – подпространство F .

15.2.В пространстве C[¡1; 1] рассмотрим операторы

Доказать, что A, B – ЛОО-ы в C[¡1; 1] и найти их нормы.

15.3.Пусть f(x) = a x(0) + b x(1), где a; b 2 R1. Показать, что f – ЛОФ на C[0; 1] и найти его норму.

15.4.Пусть a =P(a1; a2; : : : ; ak; : : :) 2 l2. Для x = (x1; x2; : : : ; xk; : : :) 2 l2

определим f(x) = 1k=1 akxk. Доказать, что f – ЛОФ на l2 и найти его норму.

15.5. Показать, что f – ЛОФ на C[¡1; 1] и найти его норму:

15.6.Пусть a = (a1; a2; : : : ; ak; : : :) 2 m. Для x 2 l2 определим оператор Ax = (a1x1; a2x2; : : : ; akxk; : : :). Доказать, что A : l2 ! l2 линейный ограниченный оператор и найти его норму.

15.7.Пусть f(x) = R02¼ cos t x(t) dt. Показать, что f – ЛОФ на простран-

15.8.Пусть A x(t) = x(t) cos t. Показать, что A : L2(0; ¼) ! L2(0; ¼), является линейным ограниченным оператором и найти kAk.

15.9.Пусть A x(t) = x(t) sin t. Показать, что A : L1(0; ¼) ! L1(0; ¼), является линейным ограниченным оператором и найти kAk.

15.10.В H – ГП оператор ортогонального проектирования на подпространство L ½ H для x = u + v (u 2 L; v 2 L?) определяется равенством P x = u. Доказать, что P – ЛОО, действующий в H, и найти его норму.

15.11.Пусть H – ГП, L1 и L2 – два подпространства H. Пусть P1 и P2 – операторы ортогонального проектирования на L1 и L2 соответственно. Дока-

зать, что kP1 ¡ P2k · 1.

15.12. Для x = (x1; x2; : : : ; xk; : : :) 2 l2 на области определения D(A) = fx 2 l2 j P1k=1 j¸kxkj2 < 1g задан оператор Ax = (¸1x1; ¸2x2; : : :), где последовательность чисел f¸kg такая, что sup j¸kj = 1. Показать, что D(A) = l2

и A – действующий в l2 линейный неограниченный на D(A) оператор.

23

16.4.Методами теории обратимых операторов показать, что для всех

¸2 R1, достаточно малых по модулю, уравнение

Z b

x(t) + ¸ K(t; s)x(s) ds = y(t);

a

где функция K(t; s) непрерывна по совокупности t; s 2 [a; b] и функция y(t) непрерывна на [a; b], имеет единственное решение x 2 C[a; b].

б) Пусть, кроме того, A 2 L(E). Доказать, что тогда для любого x 2 E выполнено (I ¡ A)¡1x = P1k=0 Akx.

16.6.Пусть E – БП, A 2 L(E) и kI ¡ Ak < 1. Доказать, что оператор A непрерывно обратим.

16.7.Пусть E – БП. Доказать, что в пространстве L(E) множество всех непрерывно обратимых операторов открыто.

16.8.Пусть на E – ЛП заданы две нормы: kxk1 и kxk2. По отношению к каждой из них E – БП. Пусть (9c > 0)(8x 2 E)(kxk1 · ckxk2): Доказать, что нормы kxk1 и kxk2 эквивалентны.

16.9.Пусть fekgnk=1 – базис в E – ЛП. Определим оператор A : E ! E

равенствами: Ae1 = £; Aek+1 = ek; k = 1; 2; : : : ; n ¡1. Покажите, что ¸ = 0 является единственным собственным значением оператора A.

16.10.В пространстве C[0; 1] рассмотрим оператор Ax(t) = tx(t). Доказать, что его спектр ¾(A) = [0; 1], причем ни одна точка спектра не является собственным значением.

16.11.Найти ¾(A) и R(¸; A) (резольвенту) оператора A из задачи 16.2.

16.12.Пусть в C[0; 1] задан оператор дифференцирования Ax(t) = x0(t). Показать, что:

а) ¾(A) = ?, если D(A) = fx(t)j (x0 2 C[0; 1]) ^ (x(0) = 0)g;

б) ¾(A) состоит из одних собственных значений, заполняющих всю комплексную плоскость, если D(A) = fx(t)j x0 2 C[0; 1]g;

в) ¾(A) состоит из собственных значений вида 2¼ik (k 2 Z; i – мнимая единица), если D(A) = fx(t)j (x0 2 C[0; 1]) ^ (x(0) = x(1))g.

16.13.Показать, что линейный оператор A : E ! E, где E – ЛНП, и его резольвента коммутируют.

16.14.Пусть линейные операторы A; B : E ! E. Доказать, что для того чтобы A и B коммутировали, необходимо, чтобы B коммутировал с R(¸; A) для любого ¸ 2 ½(A) – регулярного множества оператора A, и достаточно, чтобы B и R(¸; A) коммутировали хотя бы для одного ¸ 2 ½(A).

24

16.15.Пусть E – ЛНП, оператор A 2 L(E) и непрерывно обратим. Доказать, что если ¸ 2 ¾(A¡1), то ¸¡1 2 ¾(A); обратно, если ¹ 2 ¾(A), то

¹¡1 2 ¾(A¡1).

17.Замкнутые операторы

17.1.Пусть E; F – ЛНП, A – замкнутый линейный оператор из E в F . Доказать, что множество нулей N(A) оператора A является подпространством пространства E.

17.2.Пусть E – ЛНП, F – БП, A – замкнутый линейный оператор из E в F , B – линейный оператор из E в F , ограниченный на D(B), и D(A) ½ D(B). Доказать, что оператор A + B с D(A + B) = D(A) замкнут.

17.3.Показать, что операторы A из задач 15.12 и 15.13 замкнуты.

17.4.В C[0; 1] задан оператор Ax(t) = x0(t) с D(A) = fx 2 C[0; 1] j

(x0 2 C[0; 1]) ^ [x(0) = x(1) = 0]g. Доказать, что оператор A замкнут.

17.5. Пусть E; F – БП-ва, A – линейный оператор из E в F . Доказать, что оператор A является замкнутым тогда и только тогда, когда множество D(A) с нормой kxkD(A) = kxkE + kAxkF является банаховым пространством.

17.6. Пусть E – ЛНП; L; M – подпространства E и E = L©M. Определим оператор P проектирования E на подпространство L параллельно подпространству M равенством P x = u, где x = u + v (u 2 L; v 2 M). Доказать, что оператор P замкнут и, если E – БП, то ограничен.

18. Продолжение функционалов. Сопряженное пространство

18.1. Пусть E – ЛНП; x; y 2 E и x 6= y. Доказать, что существует такой

f2 E¤, что f(x) 6= f(y).

18.2.Пусть E – ЛНП, x 2 E. Доказать, что kxk = sup jf(x)j, где точная верхняя граница берется по f 2 E¤ и kfk = 1.

18.3.Пусть E – ЛНП, f 2 E¤, A 2 L(E). Доказать, что kAk = sup jf(Ax)j, где точная верхняя граница берется по x 2 E с kxk = 1 и по f 2 E¤ с kfk = 1.

18.4.Доказать, что если E – ЛНП бесконечномерно, то и сопряженное пространство E¤ бесконечномерно.

18.5.В пространстве R21 на подпространстве

L = fx = (x1; x2) 2 R2j 2x1 ¡ x2 = 0g

задан линейный функционал f(x) = x1. Доказать, что существует единственное продолжение функционала f на все R21 с сохранением нормы и найти это продолжение.

18.6. Пусть H – ГП, L – ЛМ в H, f – ЛОФ, заданный на L. Доказать, что существует единственное продолжение функционала f на все H с сохранением нормы.

25

18.7.Показать, что если: а) E = Rn1 , то E¤ = Rn1;

б) E = Rnp (1 < p < 1), то E¤ = Rnq (p¡1 + q¡1 = 1).

P18.8. Доказать, что (l1)¤ = m, то есть всякий f 2 (l1)¤ имеет вид f(x) =

1n=1 xnyn, где x = (x1; x2; : : :) 2 l1, y = (y1; y2; : : :) 2 m и kfk = kykm.

19.Слабая сходимость в нормированных пространствах

19.1.Пусть E – ЛНП, xn; x 2 E; fn; f 2 E¤. При n ! 1 выполнено одно

из условий:

Доказать, что fn(xn) ! f(x).

19.2. Пусть H – ГП, xn; x; yn; y 2 H. Что можно сказать о сходимости при n ! 1 последовательности (xn; yn), если:

Доказать, что kxn ¡ xk ! 0.

19.4. Множество M ½ E - ЛНП назовем слабо замкнутым, если из того

cлабо

что fxng ½ M и xn ¡! x при n ! 1 следует x 2 M.

а) Доказать, что слабо замкнутое множество является замкнутым.

б) Привести пример замкнутого множества, которое не является слабо замкнутым.

в) Показать, что всякий замкнутый шар B[xo; r] ½ E является слабо замкнутым.

г) Показать, что всякое подпространство L ½ E – ЛНП является слабо замкнутым.

19.5. Множество M ½ E - ЛНП назовем слабо ограниченным, если

(8f 2 E¤)(9c ¸ 0)(8x 2 M)(jf(x)j · c): Доказать, что множество M слабо ограничено тогда и только тогда, когда оно ограничено.

20.Сопряженные операторы

20.1.Пусть E; F – ЛНП-ва, A; B 2 L(E; F ) и ®; ¯ – числа. Доказать, что

(®A + ¯B)¤ = ®A¤ + ¯B¤.

20.2.Пусть E; F – ЛНП-ва, A 2 L(E; F ) и B 2 L(F; E). Доказать, что

(AB)¤ = B¤A¤.

20.3.Пусть E; F – ЛНП-ва, A 2 L(E; F ) и непрерывно обратим. Доказать, что оператор A¤ непрерывно обратим и (A¤)¡1 = (A¡1)¤.

26

20.4.Найти операторы, сопряженные к следующим операторам, действу-

ющим в lp, где 1 · p < 1, и которые на x = (x1; x2; x3; : : :) 2 lp определены равенствами:

5) Ex = (0; 0; x1; 0; 0 : : :), 6) Fnx = (0; 0; x2; x3; : : : ; xn+1; 0; 0; : : :). 20.5. В пространстве l2 для x = (x1; x2; : : : ; xk; : : :) 2 l2 положим

20.7.Для оператора ортогонального проектирования P , определенного в задаче 15.10, найти сопряженный оператор P ¤.

20.8.Пусть H – ГП; y; z 2 H; y 6= £; z 6= £ – произвольные фиксированные элементы. Для x 2 H положим Ax = (x; y)z. Доказать, что A 2 L(H)

инайти оператор A¤.

20.9.Пусть A 2 L(E; F ), где E, F – рефлексивные пространства. Доказать, что A¤¤ = A.

21.Вполне непрерывные операторы

21.1.Пусть E; F – ЛНП-ва, A 2 L(E; F ); B 2 ¾(F; E). Доказать, что операторы AB и BA вполне непрерывны.

21.2.Пусть E – ЛНП бесконечномерно, оператор A 2 ¾(E). Может ли оператор A быть непрерывно обратимым ?

21.3.Какие из следующих операторов являются вполне непрерывными в

пространстве C[0; 1]:

Z t

а) Ax(t) = x(0) + tx(1), б) Ax(t) = x(s) ds, в) Ax(t) = x(t2) ?

0

21.4. Будет ли вполне непрерывным в C[¡1; 1] оператор

Ax(t) = 2¡1[x(t) + x(¡t)] ?

21.5. Будет ли оператор Ax(t) = x0(t) вполне непрерывным, если:

а) A : C1[0; 1] ! C[0; 1]; б) A : C2[0; 1] ! C1[0; 1]; в) A : C2[0; 1] ! C[0; 1] ?

27

21.6.Доказать, что оператор Ax(t) = R0t x(s) ds является вполне непрерывным в пространстве L2(0; 1).

21.7.Пусть на x = (x1; x2; : : :) 2 lp (1 · p < 1) задан оператор Ax = (¸1x1; ¸2x2; : : :), где ¸k 2 C1 и sup j¸kj < 1. Доказать, что оператор A вполне непрерывен в lp тогда и только тогда, когда ¸k ! 0 при k ! 1.

21.8.Какие из следующих операторов, которые на x = (x1; x2; : : :) 2 l2

определены равенствами: а) Ax = (0; x1; x2; : : :),

являются вполне непрерывными в l2 ?

21.9. Пусть feng – полная ортонормированная система элементов H – ГП. Пусть последовательность чисел ¸n 2 C1 такая, что ¸n ! 0 при n ! 1. Для x 2 H положим Ax = P1n=1 ¸n(x; en)en. Доказать, что оператор A является

вH вполне непрерывным.

21.10.Пусть H – ГП и оператор A 2 L(H) такой, что он всякую слабо схо-

дящуюся последовательность fxng переводит в сходящуюся fAxng. Доказать, что оператор A в H вполне непрерывный.

21.11.Пусть H – ГП и оператор A 2 L(H). Доказать, что оператор A в H

вполне непрерывен тогда и только тогда, когда для всяких последовательно-

слабо слабо

стей fxng; fyng ½ H таких, что xn ¡! x и yn ¡! y при n ! 1, выполнено

(Axn; yn) ! (Ax; y).

21.12.Пусть H – ГП, оператор A 2 L(H) и оператор A¤A – вполне непрерывен в H. Доказать, что оператор A вполне непрерывен в H.

21.13.Доказать, используя предыдущую задачу, что если оператор A вполне непрерывен в H – ГП, то вполне непрерывен в H и оператор A¤.

21.14.Пусть линейный оператор A : E ! E, где E – ЛНП конечномерное. Показать, что для уравнений Ax = y и A¤f = g справедливы три теоремы Фредгольма о разрешимости.