Парадокс дня рождения

Суть парадокса

Если собираются вместе не более, чем 365 человек, то возможно, что все они имеют различные дни рождения. Однако среди 366 человек наверняка найдутся по крайней мере два таких, у которых дни рождения приходятся на один и тот же день в году. (Предположим, что мы не рассматриваем високосные года.) Однако, если мы зададимся целью найти, сколько должно быть людей, чтобы с надежностью 99% два из них имели один и тот же день рождения, то обнаружим, что достаточно 55 человек. В то же время среди 68 человек с вероятностью 99.9% по крайней мере два имеют одинаковый день рождения. Почти не правдоподобно, что такая малая разница между вероятностями 99% и 100% может привести к столь большим различиям в числе людей. Этот парадоксальный случай иллюстрирует одну из главных причин, почему теория вероятностей применяется так широко.

Объяснение парадокса

Обозначим через n число дней в году, и пусть x – число людей в группе ( x < n ). Тогда вероятность того, что никакие два человека в этой группе не имеют одинаковых дней рождения, равна

. Следовательно, если

, то p - вероятность того, что среди x людей найдутся имеющие один и тот же день рождения. Приближенное решение этого уравнения ( при условии, что 0 < p < 1) равно

следовательно, порядок величины x есть для любого значенияp из интервала (0; 1). В то же время, если p = 1, то x = n + 1. Обобщение проблемы дня рождения состоит в следующем, вычислить нижнюю границу x так, что с вероятностью p в группе из x человек по крайней мере у k дни рождения приходятся на один и тот же день в году. Ответом здесь является , гдес постоянная, зависящая только от p и k (точнее )

9 ученик Парадокс 5

Конверт

Кто-то приготовил два конверта с деньгами. В одном денег в два pаза больше, чем в другом. Вы решили взять один из конвертов, но затем вам в голову пришли следующие мысли: "Предположим, что выбранный мною конверт содержит X долларов, тогда другой содержит или X/2 или 2Х баксов. Оба случая pавновозможны, поэтому сpедне-ожидаемое будет 0.5 * X/2 + 0.5 * 2X = 1.25X долларов, поэтому я должен передумать и взять другой конверт. Hо, тогда я могу применить свои рассуждения еще pаз. Что-то здесь не так! Где я ошибся?"

В разновидности этой задачи, вам pазpешено заглянуть в один из конвертов перед тем как сделать окончательный выбор. Предположим, что заглянув в конверт вы увидели 100 зеленых. Измените ли вы свой выбор?

Объяснение парадокса

Парадокс решается тем, что случаи 100-200 и 100-50 не равновозможны. У вашего визави не бесконечно много денег.

10 ученик Парадокс 6

Паpадокс Аллаиса

  Паpадокс Аллаиса заключается в выбоpе из двух ваpиантов:     1) 89% от неизвестной суммы.         10% от $1 миллиона (от одного миллиона зеленых)         1% от $1 миллиона.     2) 89% от неизвестной суммы (той же, что и в случае 1)         10% от $2.5 миллионов.         1% от ничего.   Какой выбоp будет более pазумным? Pезультат останется пpежним, если "неизвестная сумма" это $1 миллион? Если это "ничего"?

Объяснение парадокса

Здесь действительно, математически выгоднее вариант 2. Но, чисто психологически люди обычно очень боятся 1% и выбирают первый. А вот если искомая сумма - 0, то барьер устраняется, и все радостно выберают второй вариант.

11 ученик Парадокс 7