заседание «Клуба мудрейших»

ГПЛИ

г. Балашов, 2009

"Случай играет в мире столь большую роль, что обыкновенно я стараюсь отвести ему как можно меньше места в уверенности, что и без моей помощи он позаботится о себе."

1. Дюма

Заседание «Клуба мудрейших»

Место проведения: Гуманитарно-педагогический лицей-интернат

Целевая аудитория: 10 и11 физико-математические классы.

Ответственные за организацию и проведение заседания – 11 физ/мат класс

Учитель: Сухорукова Е.В.

Дата проведения:

Планируемое время: 1ч 20мин

Тема: Парадоксы вероятности

Цели:

• познакомить с историей появления и развития теории вероятности;

• познакомить с понятием парадокс, сделав акцент на рассмотрении парадоксов в теории вероятности;

• воспитывать патриотизм и национальное самосознание, показывая роль российских ученых в истории развития теории вероятности;

• воспитывать нравственные знания, положительное эмоциональное отношение к окружающим, принятие ценностных ориентаций извне;

• воспитывать волю, настойчивость и способность к самосовершенствованию при достижении конечных результатов;

• развивать общеучебные умения, навыки способы деятельности:

- навыки работы с дополнительной и исторической литературой;

- умение преобразовывать словесный и наглядный материал для решения нестандартных и житейских задач;

- побуждать учащихся логически мыслить, рассуждать, отстаивать свою точку зрения.

Оборудование:

• компьютер, проектор, экран,

• музыкальная заставка «Что наша жизнь – игра…»

• презентация «Основатели теории вероятности»,

• буклеты «Пионеры вероятности» (на каждого),

• листовки «Парадокс, парадокс, парадокс…»(на каждого),

• призы и грамоты.

План:

1. Орг момент

2. Начало-начал (исторические справки)

3. Парадокс- что это?

4. Парадоксы теории вероятности

5. Подведение итогов олимпиады «Вероятностный мир»

Ход заседания:

1. Орг момент

Звучит музыкальная заставка «Что наша жизнь – игра…»

Учитель: Добрый день. Итак, чередное заседание Клуба «Мудрейших» считаем открытым.

Человечество всегда стремилось к некоторого рода предсказаниям. Любая наука основана на этом. Однако предвидение фактов не может быть абсолютным, каким бы обоснованным оно не казалось. У нас не может быть абсолютной уверенности в том, что наше предвидение не будет опровергнуто опытом.

Допустим, что некоторый простой закон подтверждается для большого числа случаев. Является ли это просто случайным совпадением, или все-таки это - закономерность? Получается, что ученый часто находится в положении игрока; опираясь на метод индукции, он сознательно или не очень вычисляет вероятность.

История теории вероятности содержит очень много неожиданных парадоксов. По мнению Карла Пирсона, в математике нет другого такого раздела науки, в котором так же легко совершить ошибку. Даже само высказывание "вычислить вероятность" содержит парадокс. Ведь вероятность, в противоположность достоверности, есть то, чего не знают. Как же можно вычислять то, о чем нет никаких знаний?

С начальными понятиями вероятности мы с вами познакомились на уроках, а сегодня наше заседание мы начнем с истории зарождения и возникновения этой удивительной науки Теории Вероятности

2. Начало-начал (Исторические справки)

1 ученик: Вероятностные представления достаточно широко использовались уже древнегреческими философами Демокритом, Эпикуром, Лукрецием Каром и др.,

Демокрит	Эпикур	Лукреций

2 ученик (сообщение сопровождается записями на доске): Теория вероятностей возникла в середине XVII в. в связи с задачами расчета шансов выигрыша игроков в азартных играх.

Страстный игрок в кости француз де Мере, стараясь разбогатеть, придумывал новые правила игры. Он предлагал бросать кость четыре раза подряд и держал пари, что при этом хотя бы один раз выпадет шестерка (6 очков). Для большей уверенности в выигрыше де Мере обратился к своему знакомому, французскому математику Паскалю, с просьбой рассчитать вероятность выигрыша в этой игре.

Приведем рассуждения Паскаля. Игральная кость представляет собой правильный кубик, на шести гранях которого нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6 (число очков). При бросании кости "наудачу" выпадение какого-либо числа очков является случайным событием; оно зависит от многих неучитываемых воздействий: начальные положения и начальные скорости различных участков кости, движение воздуха на ее пути, те или иные шероховатости в месте падения, возникающие при ударе о поверхность упругие силы и т. д. Так как эти воздействия имеют хаотичный характер, то в силу соображений симметрии нет оснований отдавать предпочтение выпадению одного числа очков перед другим (если, конечно, нет неправильностей в самой кости или какой-то исключительной ловкости бросающего).

Поэтому при бросании кости имеется шесть исключающих друг друга равновозможных случаев, и вероятность выпадения данного числа очков следует принять равной (или%). При двукратном бросании кости результат первого бросания - выпадение определенного числа очков - не окажет никакого влияния на результат второго бросания, следовательно, всех равновозможных случаев будет 6 · 6 = 36. Из этих 36 равновозможных случаев в 11 случаях шестерка появится хотя бы один раз и в 5 · 5 = 25 случаях шестерка не выпадет ни разу.   Шансы на появление шестерки хотя бы один раз будут равны 11 из 36, другими словами, вероятность события А, состоящего в том, что при двукратном бросании кости появится хотя бы один раз шестерка, равна, т. е. равна отношению числа случаев благоприятствующих событиюА к числу всех равновозможных случаев. Вероятность того, что шестерка не появится ни разу, т. е. вероятность события , называемого противоположным событиюA, равна . При трехкратном бросании кости число всех равновозможных случаев будет 36 · 6 = 6³, при четырехкратном 6³ · 6 = 6⁴. При трехкратном бросании кости число случаев, в которых шестерка не появится ни разу, равно 25 · 5 = 5³, при четырехкратном 5³ · 5 = 5⁴. Поэтому вероятность события, состоящего в том, что при четырехкратном бросании ни разу не выпадет шестерка, равна , а вероятность противоположного события, т. е. вероятность появления шестерки хотя бы один раз, или вероятность выигрыша де Мере, равна

. Таким образом, у де Мере было больше шансов выиграть, чем проиграть.

Считается что теория стала развиваться лишь с середины XVII века - в работах французских ученых Б. Паскаля и П. Ферма, когда Паскаль и Ферма независимо друг от друга дали правильное объяснение так называемого парадокса раздела ставки.

3 ученик (сообщение сопровождается записями на доске): Два игрока играют в "безобидную" игру (т.е. шансы победить у обоих одинаковы), договорившись, что тот, кто первым выигрывает шесть партий, получит весь приз. Предположим, что игра остановилась до того, как один из них выиграл приз (например, первый игрок выиграл пять партий, а второй - три). Как справедливо разделить приз?

Хотя, вообще говоря, данная проблема не является парадоксом, безуспешные попытки некоторых видных ученых ее решить, а также неверные ответы создали легенду о парадоксе. Так, согласно одному решению следовало разделить приз в отношении 5:3, т.е. пропорционально выигранным партиям, согласно другому - в отношении 2:1 (здесь рассуждения велись, по всей видимости, следующим образом: поскольку первый игрок выиграл на две партии больше, что составляет третью часть от необходимых для победы шести партий, то он должен получить одну треть от приза, а оставшуюся часть нужно разделить пополам). А между тем делить надо в отношении 7:1.

И Паскаль, и Ферма рассматривали парадокс раздела ставки как задачу о вероятностях, установив, что справедливым является раздел, пропорциональный шансам первого игрока выиграть приз. Предположим, первому игроку осталось выиграть только одну партию, а второму для победы необходимо выиграть еще три партии, при чем игроки продолжают игру и играют все три партии, даже если некоторые из них окажутся лишними для определения победителя. Для такого продолжения все 2³=8 возможных исходов будут равновероятными. Так как второй игрок получает приз только при одном исходе (если он выиграл все три партии), а в остальных случаях побеждает первый игрок, справедливым является отношение 7:1.

1 ученик:   В XVII-XVIII вв. теория вероятностей развивалась незначительно, так как область ее применения, ввиду низкого уровня естествознания ограничивалась небольшим кругом вопросов (страхование, азартные игры, демография). В XIX в. и до настоящего времени, в связи с запросами практики, теория вероятностей непрерывно и быстро развивается, находя применения все в более разнообразных областях науки, техники, экономики (теория ошибок наблюдений, теория стрельбы, статистика, молекулярная и атомная физика, химия, метеорология, вопросы планирования, статистический контроль в производстве и т. д.). Также теорией вероятностей занимались голландский ученый X. Гюйгенс и швейцарский Д. Бернулли. Классическое определение вероятности случайного события было сформулировано в знаменитом труде "Наука предположений" известного швейцарского математика Д. Бернулли. Окончательно это определение оформилось позднее - в работах П. Лапласа. Геометрическое определение вероятности стали применять в XVIII веке. Существенный вклад в развитие теории вероятностей внесла русская математическая школа в XIX веке (П. Л. Чебышев, А. А. Марков, А. М. Ляпунов.)

(Сообщения сопровождаются показом презентации «Основатели теории вероятности» (Microsoft Office PowerPoint), которая заранее подготовлена первой группой группой учащихся, вторая группа оформляла журнал «Основатели теории вероятности», третья группа подготовила для всех участников мероприятия буклет «Пионеры вероятности»(Microsoft Office Publisher))

3. Парадокс- что это?

Учитель: Мы с Вами уже знаем, что теория вероятности интересная, строгая наука со своими законами и правилами. А сейчас мы услышали, что в теории вероятности есть свои парадоксы. Давайте вспомним, а что же означает слово парадокс?

4 ученик: Покопавших в различных словарях можно сделать следующую подборку для понятия «парадокс» (Всем участникам раздается листовка «Парадокс, парадокс, парадокс…»)

• Парадокс Даль

Парадокс м. греч. мнение странное, на первый взгляд дикое, озадачливое, противное общему…

• Парадокс   Словарь синонимов

Парадокс см. изречение, мысль…

• Парадокс   Брокгауз и Ефрон

Парадокс, греч., умозаключение, утверждение, не соответствующее общепринятому мнению…

• Парадокс   Общественные науки

Парадокс - в логике - высказывание, противоречащее логическим законам при сохранении логической правильности хода рассуждений. греч.Paradoxos - странный…

• Парадокс   Литературная энциклопедия

Парадокс [греч. paradoxos - "противоречащий обычному мнению"] - выражение, в котором вывод не совпадает с посылкой и не вытекает из нее, а, наоборот, ей противоречит, давая неожиданное и необычное ее…

• Парадокс   БСЭ

Парадокс (от греч. paradoxes - неожиданный, странный), неожиданное, непривычное (хотя бы по форме) суждение (высказывание, предложение), резко расходящееся с общепринятым, традиционным мнением по данному…

• Парадокс   Википедия

Парадо́кс(от др.-греч. παράδοξος —неожиданный, странный от др.-греч. παρα-δοκέω — кажусь) — высказывание, утверждение, суждение или вывод, характеризующиеся парадоксальностью

Парадоксальность — неожиданность, непривычность, оригинальность, противоречивость себе, исходным посылкам, общепринятому, традиционному взгляду или здравому смыслу по содержанию и/или по форме

5 ученик: Парадоксальность — чрезвычайно распространённое качество, присущее произведениям самых разных жанров искусства. В силу своей необычности парадоксальные высказывания, названия, содержания произведений неизменно привлекают к себе внимание людей. Это широко используется в разговорном жанре, в театральном и цирковом искусствах, в живописи и фольклоре. Хороший оратор обязательно использует этот приём в своих выступлениях для поддержания живого интереса слушателей. Комизм большинства анекдотов заключается в описании необычной, оригинальной ситуации. Популярная детская «поэзия нелепостей» Льюиса Кэрролла и Корнея Чуковского также построена на этом художественном приёме.

Парадоксальны многие афоризмы известных мыслителей. Напр., высказывания Вольтера: «Ваше мнение мне глубоко враждебно, но за ваше право его высказать я готов пожертвовать своей жизнью» или Ницше: «Нищих надобно удалять – неприятно давать им и неприятно не давать им», Фрумкера: «Мужчина от женщины отличается тем, что перед совершением ошибки он всё тщательно продумывает». Парадоксальностью отличаются и афоризмы Козьмы Пруткова, Бернарда Шоу, Оскара Уайльда

В классической музыке парадоксом принято называть изысканные, странные произведения или фрагменты, отличающиеся от традиционного звучания. Также парадоксами в древней Греции называли победителей в олимпийских состязаниях певцов и исполнителей инструментальной музыки.

Современные науки, использующие логику в качестве инструмента познания, нередко наталкиваются на теоретические противоречия либо на противоречия теории опыту. Это бывает обусловлено неверной аксиоматизацией теорий, логическими ошибками в построении суждений, несовершенством существующих в настоящее время научных методов или недостаточной точностью используемых в опытах инструментов

Наличие парадокса стимулирует к новым исследованиям, более глубокому осмыслению теории, её «очевидных» постулатов и нередко приводит к полному её пересмотру.

Парадокс в логике — это противоречие, имеющее статус логически корректного вывода и, вместе с тем, представляющее собой рассуждение, приводящее к взаимно исключающим заключениям. Логическая ошибка парадокса в отличие от паралогизма и софизма не обнаружена пока из-за несовершенства существующих методов логики.

Различаются такие разновидности логических парадоксов, как апория и антиномия.

Апория характеризуется наличием аргумента, противоречащего очевидному, общепринятому мнению, здравому смыслу.

Антиномия — наличием двух противоречащих друг другу, одинаково доказуемых суждений

Учитель: А мы с Вами сейчас попытаемся разобраться с некоторыми интересными парадоксами теории вероятности.

4. Парадоксы теории вероятности

5 ученик Парадокс 1