уп_Вабищевич_Физика ч

26.Автомобиль массой m = 1,8 т равномерно движется в гору, уклон кото- рой составляет 3 м на каждые 100 м пути. Определите: 1) работу, со- вершаемую двигателем автомобиля на пути 5 км, если коэффициент трения равен 0,1; 2) развиваемую двигателем мощность, если известно, что этот путь был преодолен за 5 мин. [1) 11,5 МДж; 2) 38,3 кВт;

уровень 3].

27.Определите работу, совершаемую при подъеме груза массой m = 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона α = 30° к горизонту на расстоя-

ние s = 4 м, если время подъема t = 2 с, а коэффициент трения 0,06. [1,48 кДж, уровень 3]

28.Насос мощностью P используют для откачки нефти с глубины h. Оп- ределите массу жидкости, поднятой за время t, если кпд насоса равен η.

[ m = ηPt ; уровень 3]. gh

29.Поезд массой m = 600 т движется под гору с уклоном α = 0,3° и за

время t = 1 мин развивает скорость υ = 18 км/ч. Коэффициент трения μ = 0,01. Определите среднюю мощность P локомотива. [195 кВт;

уровень 3].

30.Автомобиль массой m = 1,8 т спускается при выключенном двигателе

с постоянной скоростью υ = 54 км/ч по уклону дороги (угол к гори- зонту α = 3°). Определите, какова должна быть мощность двигателя

автомобиля, чтобы он смог подниматься на такой же подъем с той же скоростью. [27,7 кВт; уровень 3].

31.Тело массой m поднимается без начальной скорости с поверхности

Земли под действием силы F, меняющейся с высотой подъема у по за-

кону F = −2mg(1 − By) (где В – некоторая положительная постоянная).

Определите: 1) высоту подъема; 2) работу силы F на первой трети пути.

[1) H = B−1 , 2) A = 5mg ; уровень 4]. 9B

32.Тело скользит по наклонной плоскости с углом наклона α к горизонту с

высоты h и движется далее по горизонтальному участку. Принимая ко- эффициент трения на всем пути постоянным и равным μ, определите

расстояние s, пройденное телом на горизонтальном участке до полной остановки. [ s = μh (1 − μ tgα) ; уровень 4].

71

где i и j – соответственно единичные векторы координатных осей х и у.

Определите мощность Р (t), развиваемую силой в момент времени t.

[ P (t) = 2t3 + 3t5 ; уровень 4]. m

34.Докажите, что при неупругом соударении двух тел, одно из которых покоится, их общая кинетическая энергия K2 после соударения мень-

35. Рассчитайте, какое количество механической энергии превращается во

о неподвижное тело такой же массы. Считая удар центральным и неупру- гим, определите количество теплоты, выделившееся при ударе. [3 Дж; уровень 3].

37.Два шара массами m1 = 9 кг и m2 = 12 кг подвешены на нитях длиной l = 1,5 м. Первоначально шары соприкасаются между собой, затем меньший

шар отклонили на угол α = 30° и отпустили. Считая удар неупругим, оп- ределите высоту h, на которую поднимутся оба шара после удара.

38. Шар сталкивается с другим покоящимся шаром такой же массы. Дока- жите, что в случае упругого, но не центрального удара угол между направ- лениями скоростей после удара составляет π/2 [уровень 5].

39. При абсолютно упругом ударе костя- ных шаров одинаковой массы всегда отскакивает столько шаров, сколько налетает (см. рисунок). Докажите это.

[Уровень 5].

72

УЧЕБНЫЙ БЛОК 3. КОЛЕБАТЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Колебаниями или колебательными движениями называются движе-

ния, обладающие той или иной степенью повторяемости состояния тел во времени. Например, механические колебания тела, подвешенного на пру- жине, качания маятников, колебания струн, вибрации фундаментов зданий, электромагнитные колебания в колебательном контуре и др. Механическое колебательное движение может рассматриваться как движение материаль- ной точки под действием сил, действующих на точку, равнодействующая которых пропорциональна смещению и направлена к положению равнове- сия. Методы определения параметров колебаний и уравнений колебаний, представленные в данном разделе, имеют гораздо более широкую область применения и будут использоваться при изучении колебательного движения твердого тела, электромагнитных колебаний, волновых процессов.

При изучении данного блока студенты должны

иметь представление:

–об основных характеристиках колебательного движения – перио- де, частоте, фазе, амплитуде;

–об основных характеристиках движения и связях между ними;

–о принципе суперпозиции движений;

–о способах решения дифференциальных уравнений второго порядка;

обладать навыками:

–определения равнодействующей силы;

–решения задач с помощью второго закона Ньютона;

–примененияэлементовдифференциальногоиинтегральногоисчисления.

Учебная программа блока

73

Окончание табл.

–уравнение биений, период и частоту биений, пендикулярных колебаний время когерентности;

–сложение взаимно перпендикулярных колеба-

ний; фигуры Лиссажу

74

3.1. Краткое содержание теоретического материала

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени.

Периодом колебания Т называется наименьший промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех величин, характери- зующих колебательное движение. За это время совершается одно полное колебание.

Частотой периодических колебаний ν называется число полных

колебаний, которые совершаются за единицу времени: ν = 1 . Циклической

T

(круговой) частотой периодических колебаний называется число полных

колебаний, которые совершаются за 2π секунд: ω = 2πν = 2π .

T

Так как колебательное движение является одной из разновидностей механического движения, оно должно подчиняться законам динамики Ньютона, в частности, второму закону: ma = F .

Периодичность повторения состояния тела (в частности, его коорди- нат) при колебании обеспечивается возвращающей силой, поэтому смеще- ние тела противоположно (по направлению) действующей (возвращающей) силе. Учитывая это и вводя во второй закон Ньютона силу, например, упру- гости, уравнение движения можно записать в дифференциальном виде

2

m d x + kx = 0 , (1) dt 2

где х – координата точки (смещение точки относительно положения равно- весия), зависящая от времени t при колебательном движении тела по пря- молинейной траектории.

Дифференциальное уравнение (1) перепишем в виде

где m – масса колеблющейся материальной точки; k – коэффициент жест- кости упругого элемента.

Решением уравнения (2) является гармоническая функция

где х – смещение (координата) колеблющегося тела в момент времени t от- носительно положения равновесия; А – максимально возможное отклонение

75

где l – длина подвеса, g – ускорение свободного падения.

76

Из сопоставления с уравнением (2) следует, что циклическая частота

колебаний, т.е. при малых углах отклонения маятника из положения рав-

новесия, когда возвращающая сила пропорциональна смещению, возника-

Превращение энергий при колебании рассмотрим на примере пру- жинного маятника. Пусть колебания происходят по закону x = Acos ωt . При гармонических колебаниях пружинного маятника происходит превра- щение потенциальной энергии упруго деформированного тела (пружины)

гия колебательной системы определяется суммой энергий. Учитывая, что

т.е. полная энергия колебаний не зависит от времени:

Однако доля каждого вида энергии в полной энергии изменяется со временем. Таким образом, взаимные превращения энергий П и К при ко- лебаниях пружинного маятника происходят в соответствии с законом со- хранения механической энергии. При движении маятника от положения равновесия его потенциальная энергия увеличивается, а кинетическая уменьшается. Когда маятник проходит положение равновесия (х = 0), его потенциальная энергия может быть приравнена к нулю, а кинетическая энергия маятника имеет наибольшее значение, равное его полной энергии.

77

Циклическая частота ω затухающих колебаний меньше собствен-

положения равновесия (см. рис. 3.2).

78

Промежуток времени, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е раз, называется временем релаксации

Для количественной характеристики быстроты убывания амплитуды затухающих колебаний пользуются логарифмическим декрементом δ за-

тухания:

где N – число колебаний, в течение которых амплитуда уменьшается в е раз.

Добротностью колебательной системы называется безразмерная величина Q, равная произведению 2π на отношение энергии системы в произвольный момент времени к убыли этой энергии за промежуток времени, равный периоду затухающих колебаний:

При увеличении коэффициента затухания β период затухающих ко-

лебаний возрастает и обращается в бесконечность при β = ω0. В этом слу- чае движение системы не имеет колебательного характера и называется

апериодическим движением.

Вынужденными колебаниями называются незатухающие колебания

материальной точки, которые вызываются действием на нее внешней силы

F , периодически изменяющейся с течением времени. Вынужденными яв- ляются колебания силы тока в сети переменного тока, колебания гребных винтов, лопаток и валов турбин под действием периодически изменяю- щихся внешних сил. Второй закон Ньютона для вынужденных колебаний имеет вид

79