- •Раздел 3
- •1. Функция двух переменных
- •1.1. Основные понятия
- •1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
- •1.3. Частные производные фнп
- •1.4. Частные производные высших порядков
- •1.5. Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •2. Использование частных производных
- •2.1. Экстремум функции двух переменных
- •2.2. Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
- •Правило нахождения наибольшего и наименьшего значений в замкнутой области
- •3. Производная по направлению. Градиент
- •3.1. Производная по направлению
- •3.2. Градиент
1.2. Предел и непрерывность функции двух переменных
Для функции двух (и большего числа) переменных вводится понятие предела функции и непрерывность, аналогично случаю функции одной переменной.
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки, кроме, может быть, самой этой точки.
Определение 1.3.Числоназываетсяпределом функцииприи(или, что то же самое, при), если для любогосуществуеттакое, что для всехи, и удовлетворяющих неравенствувыполняется неравенство. Записывают:
или
.
Из определения следует, что если предел существует, то он не зависит от пути, по которому стремится к(число таких направлений бесконечно). Определения бесконечно малых и бесконечно больших величин являющихся функциями двух переменных, аналогичны соответствующим определениям для функций одной переменной.
Предел функции двух переменных обладает свойствами, аналогичными свойствам предела функции одной переменной.
Определение 1.4.Функция(или) называетсянепрерывной в точке , если она:
определена в этой точке и некоторой ее окрестности;
имеет предел ;
этот предел равен значению функции в точке, т.е.
или.
Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называютсяточками разрываэтой функции. Точки разрывамогут образовывать целыелинии разрыва. Так, например, функцияимеет линю разрыва.
Можно дать другое, равносильное приведенному выше, определение непрерывности функции в точке. Обозначим,. Значит,и. Величиныиназываютсяприращениями аргументови. Тогда. Величинаназываетсяполным приращением функциив точке.
Определение 1.5.Функцияназывается непрерывной в точке, если полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументовистремится к нулю, т.е.
.
Пользуясь определением непрерывности и теоремами о пределах, можно доказать, что арифметические операции над непрерывными функциями и построение сложной функции из непрерывных функций приводит к непрерывным функциям – подобные теоремы имели для функций одной переменной.
1.3. Частные производные фнп
Рассмотрим линию пересечения поверхностис плоскостью, параллельной плоскости. Так как в этой плоскостисохраняет постоянное значение, товдоль кривойбудет меняться только в зависимости от изменения. Дадим независимой переменнойприращение, тогдаполучит приращение, которое называетсячастным приращениемпои обозначают через(на рисунке отрезок), так что
.
Аналогично, если сохраняет постоянное значение, аполучает приращение
параллельной плоскости .
Наконец, придав аргументу приращение, а аргументуприращение, получим дляновое приращение, которое называетсяполным приращениемфункциии определяется формулой
.
На рисунке изображено отрезком.
Надо отметить, что, вообще говоря, полное приращение не равно сумме частных приращений, т.е. .
Определение 1.6.Частной производной по от функцииназывается предел отношения частного приращенияпо к приращениюпри стремлениик нулю. Обозначается:. Тогда
.
Определение 1.7.Частной производной по от функцииназывается предел отношения частного приращенияпо к приращениюпри стремлениик нулю. Обозначается:. Тогда
.
Таким образом, частная производная функции нескольких (двух, трех и больше) переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии постоянства значений остальных независимых переменных. Поэтому частные производные функции находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной (при этом соответственноилисчитаются постоянной величиной).
Пример 1.2.Для данной функции требуется найти частные производныеи. Найти значения частных производных в точке:
.
Решение.Находим частные производные в общем виде:
,.
Находим значения частных производных в точке :
,.