49

Раздел 2

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

Выше рассматривались события, состоящие в появлении того или иного числа в результате проведения некоторого вероятностного эксперимента. Например, при бросании игральной кости могли появиться числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Наперед определить число выпавших очков невозможно, поскольку оно зависит от многих случайных причин, которые полностью не могут быть учтены. В этом смысле появление числа очков на игральной кости есть величина случайная, т.е. числа 1, 2, 3, 4, 5 и 6  есть возможные значения этой величины.

Определение 1. Величина, которая в зависимости от случая может принимать те или другие числовые значения, называется случайной.

Надо отметить то, что случайные величины (сокращенно СВ)  есть математические модели вероятностных экспериментов.

Примерами случайных величин являются: количество деталей высокого качества, сошедших с конвейера в течение смены; количество зерен в случайно взятом колосе; результат измерения длины, массы, времени и т.д.

Уже из рассмотренных примеров можно заключить о целесообразности различать случайные величины, принимающие лишь отдельные, изолированные значения и случайные величины, возможные значения которых сплошь заполняют некоторый промежуток. Поэтому рассматривают дискретные и непрерывные случайные величины (обозначаются кратко СВ).

Определение 2. Дискретной (прерывной) (обозначаются ДСВ) называется случайная величина, которая принимает отдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями. Число возможных значений ДСВ может быть конечным или бесконечным.

Определение 3. Непрерывной (обозначается НСВ) называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Очевидно, число возможных значений НСВ – бесконечно.

Замечание: Настоящее определение НСВ не является точным. Более строгое определение будет дано позднее.

В дальнейшем случайные величины будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита X, Y, Z и т.д. Значения, которые эти величины могут принимать, обозначаются малыми буквами x, y, z, a, b, ,  и т.д.

1. Дискретные одномерные

СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ

1.1. Закон распределения дсв. Функция распределения дсв

Значения ДСВ можно записать в виде конечной или бесконечной последовательности . Для каждого из этих значений определяют соответствующую вероятность .

Определение 1.1. Законом распределения ДСВ называют соответствие между возможными значениями СВ и их вероятностями .

Закон распределения ДСВ можно задать таблично, аналитически (в виде формулы) и графически.

Если закон распределения ДСВ задают таблично, иначе называют рядом распределения, то таблица принимает следующий вид:

Таблица 1.1

			…		…
			…		…

Для ряда распределения должны выполняться два требования:

1) (вероятности не могут быть отрицательными величинами);

2) .

Если X принимает конечное число значений, то такая ДСВ называется конечнозначной.

В целях наглядности закон распределения ДСВ можно изобразить и графически, для чего в прямоугольной системе координат строят точки , а затем соединяют их отрезками прямых. Полученную фигуру называют многоугольником распределения.

Закон распределения ДСВ задается еще функцией распределения.

Определение 1.2. Для ДСВ X с законом распределения функция распределения имеет вид

, (1.1)

где суммирование распространяется на все те индексы , для которых .

Графиком функции распределения для ДСВ является кусочно-постоянная функция.