16

Раздел 3

ФУНКЦИЯ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ (ФНП)

1. Функция двух переменных

1.1. Основные понятия

Функции одной независимой переменной не охватывают все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить известное понятие функциональной зависимости и ввести понятие функции нескольких переменных.

Например, площадь прямоугольника есть функция двух независимо друг от друга изменяющихся переменных – длин сторон прямоугольникаи, которая выражается формулой:

.

Например, функция

есть функция от четырех переменных и.

Остановимся на случае двух переменных, которые будем обозначать и.

Каждой паре значений исоответствует точка на плоскости, координатами которой они служат. Рассмотрим некоторое множество точек на плоскостии обозначим его через, т.е.. Надо отметить, что переменныеине зависимы друг от друга.

Определение 1.1.Если каждой пареиз некоторой области их изменения, поставлено в соответствие определенное значение величины, то говорят, чтоестьфункция двух независимых переменныхи. Записывается

.

При этом иназываютсянезависимыми переменными(аргументами), азависимой переменной(функцией).

Множество пар значенийи, при которых определена функция, называетсяобластью определения функции, обозначается. Если каждую пару значенийиможно изобразить точкой на плоскости, то область определения функции изобразиться в виде некоторой совокупности точек этой плоскости. В частности, область определения может быть вся плоскость или ее часть, ограниченная некоторыми линиями. Линию, ограничивающую область, называютграницей области. Точки области, не лежащие на границе, называютсявнутренними. Область, состоящая из одних внутренних точек, называетсяоткрытой. Область с присоединенной к ней границей называетсязамкнутой.

Пример 1.1.Найти область определенияфункции

.

Решение.Областью определения данной функции является множество точек плоскости, которые удовлетворяют решению системе неравенств

.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.

Определение 1.2.Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменныхсоответствует определенной значение переменной, тоназываютфункцией независимых переменныхи записывают

.

Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных. Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел , которые представляют совокупность точек пространства. Область определения функции четырех и более числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.

Функция двух переменных, как и функция одной переменной, может быть задана разными способами: таблицей,аналитически,графически.

Рассмотрим функцию , определенную в областина плоскости, и систему прямоугольных декартовых координат. В каждой точке

двух переменных. Из курса аналитической геометрии известно, что уравнение в пространстве определяет некоторую поверхность. Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскостьв область определения функции. Каждый перпендикуляр к плоскостипересекает поверхностьне более чем в одной точке.