Баллистика

Автор: – Движение тела в поле тяжести называют баллистическим. Ещё Галилей показал, что такое движение можно описать, разделив его на горизонтальную и вертикальную составляющие.

Задача 1.4. Пусть тело брошено под углом α к горизонту с начальной скоростью V₀. Требуется определить максимальную высоту Н подъема и дальность полета L.

Начнём с традиционного вопроса. Каков характер движения тела в горизонтальном и вертикальном направлениях? Силу трения о воздух можно не учитывать.

Студент: – На данное тело действует только сила тяжести. Поэтому, тело имеет ускорение g, направленное вниз. Горизонтальная составляющая скорости не меняется. Найдём начальные проекции скоростей:

V_0x = V₀cosα, V_0y = V₀sinα.

Рис. 1.3.1

Начнём с рассмотрения вертикальной составляющей движения. Полное время полета Т = Т₁ + Т₂, где Т₁ – время подъема, Т₂ – время спуска. Вертикальная скорость в наивысшей точке (в момент времени t = Т₁ ) равна нулю. Применяя общую формулу для равнозамедленного движения, получим

V_y (t) = V₀sinα – gt.

Знак минус означает, что за положительное выбрано направление оси ОY. Для момента t = Т₁ имеем

0 = V₀sinα– gТ₁.

Отсюда

Т₁ = V₀ sinα/g.

Зная Т₁, находим

Н = V_0yТ₁ – gТ₁²/2 = V₀sinαТ₁ – gТ₁²/2 = (V₀sinα)²/2g.

Время спуска найдём, рассмотрев падение тела с уже вычисленной высоты Н, но без начальной вертикальной скорости. Величина перемещения вдоль оси ординат в этом случае равна

Н = gТ₂²/2.

Значит,

Т₂ ==V₀ sinα/g.

Видим, что время спуска равно времени падения. А полное время в пути –

Т=2V₀sinα/g.

Рассмотрим горизонтальную составляющую движения. Как уже отмечалось, горизонтальное перемещение тела равномерное.

Х(t)=V₀cosα·t.

Отсюда находим

L = V₀cosαT = 2V₀cosαV₀sinα/g = V₀²sin2α/g. (1.7)

Автор: – Если нам необходимо попасть в цель, расположенную на оси ОХ на расстоянии L, то как надо стрелять?

Студент: – Угол прицела находится из (1.7)

sin2α = Lg/V₀².

Значит, стрелять надо под углом

α=arcsin(Lg/V₀² )

Кроме того, можно заметить, что максимальная дальность получается в случае, когда sin2α=1, т. е. α=π/4.

Автор: – Это все верно, но пропущено ещё одно решение

β = (π/2) – α.

Стрелять можно двумя способами. Если угол прицела меньше 45^º, то говорят о настильной траектории, а если он больше 45^º, то такую траекторию называют навесной.

Студент: – А как можно установить вид траектории полета? В школе нам говорили, что она параболическая. Можно ли это обосновать?

Автор: – Для вывода уравнения траектории запишем зависимости координат Х и Y движущегося тела от времени:

Х = V₀cosαt; Y = V₀sinαt–gt²/2.

Исключая время с помощью первого выражения, получим:

Y = –gX²/(2V₀²cos²α) + Xtgα (1.8)

Это и есть уравнение параболы с ветвями, направленными вниз.

Студент: – Но для записи зависимости координаты Y от времени Вы использовали формулу для равнозамедленного движения. Однако во время спуска тело движется, ускоряясь.

Автор: Формула Y(t)= V₀sinαt–gt²/2 применима для любого момента времени, т. к. положительное направление оси ОY всегда противоположно вектору ускорения. Давайте убедимся в этом. Пусть Y₀ – координата высшей точки траектории, обозначим τ какое-то время спуска. Тогда, за это время произошло следующее изменение ординаты тела:

Y₀ – Y = gτ²/2.

Так как

τ = t–T₁ = t– V₀sinα/g и

Y₀ = (V₀sinα)²/2g, то

(V₀sinα)²/2g–Y = (g/2)(t–V₀sinα/g)²

или окончательно

Y = V₀sinα∙t – gt²/2.

Теперь несколько усложним ситуацию.

Задача 1.5. На тело массой М, также брошенное под углом к горизонту, действует такой попутный горизонтальный ветер, что создает ускорение а. Найдите время полета Т, высоту Н и дальность L.

Студент: – По-моему, вертикальное движение совсем не изменилось, и можно воспользоваться некоторыми предыдущими результатами. Но в горизонтальном направлении тело испытывает ускорение а.

Автор: Правильно. Теперь догадайтесь, какие результаты предыдущей задачи можно использовать.

Студент: – ◄Н = (V₀sinα)²/2g; Т = 2V₀sinα/g►,

т. к. эти величины определяются только особенностями вертикального движения.

Автор: – Замечательно. Вам остается найти дальность полета.

Студент: – Зная горизонтальное ускорение и полное время полета, находим дальность:

◄L = V₀cosα·T + aT²/2 = V₀²sin2α(1+tg α)/g►.

Автор: – Это правильный ответ. И ещё одна дополнительная задача.

Задача №1.6.

Тело бросают под углом α к наклоненной плоскости, которая образует с горизонтом угол β. Начальная скорость – V₀. Найти расстояние L от точки бросания до точки падения тела.

Рис. 1.3.2

Студент: – Мне кажется, что это сложная задача.

Автор: – Не торопитесь. Эта ситуация подобна предыдущей и легко сводится к ней. Действительно, выберём ось ОХ вдоль наклонной плоскости, а ось ОY перпендикулярно ей. Разложим векторы начальной скорости V₀ и ускорения свободного падения g на направления этих осей:

V_ox = V₀cosα, V_0y = V₀sinα, g_x = gsinβ, g_y = gcosβ.

Мы свели задачу к предыдущей. Но, в отличие от неё, здесь ускорение по оси ОХ вызывается не ветром, а составляющей силы тяжести gsinβ. Ускорение по оси ОY – силой gcosβ. Для определения L воспользуемся уже полученным результатом, сделав замену: a → gsinβ и g → gcosβ. Находим

◄L = V₀²(1 + tgα·tgβ)/g►.

При β = 0 этот результат совпадает с предыдущим ответом.

В заключение проведем исследование "границ поражения".

Задача 1.7. Как следует стрелять, допустим, из ружья, чтобы попасть в цель, находящуюся на расстоянии l по горизонтали и на высоте h?

Для начала ответьте, сколько может быть способов стрельбы?

Студент: – Мы уже встречались с ситуацией, когда мишень находилась на оси ОХ, и поняли, что возможны две траектории полета: настильная и навесная. Возможно, это распространяется и на другие случаи.

Автор: – Ваши качественные соображения верны. И ещё один предварительный вопрос. Если мишень расположена так, как определено условием задачи, то с какой минимальной скоростью можно стрелять, чтобы поразить мишень?

Студент: – На этот вопрос я могу ответить сразу. Стрелять надо так, чтобы наивысшая точка траектории пули совпала с координатами мишени (l, h). Получаем систему уравнений:

h = (V₀sinα)²/2g,

l = L/2 = V₀²sin2α/2g.

Разделив левые и правые части уравнений, получим:

h/l = ∙tgα,

выразив sin²α через значение tgα = 2h/l, найдем начальную скорость.

Автор: – А почему Вы считаете, что из условия минимальности начальной скорости следует совпадение высшей точки траектории с положением мишени?

Студент: – Мне показалось, это очень естественно.

Автор: – К сожалению, Вы допустили ошибку, а Ваши чисто интуитивные соображения подвели. Поэтому будем считать "по-честному", не делая необоснованных предположений. Уравнение траектории Вам известно (1.8). Запишите условие выполнения этого соотношения для координат (l, h).

Студент: – Подставляю вместо Y значение h , а в качестве Х беру l . Получаю

h = –g l ²/(2V₀²cos²α) + l tgα.

Автор: – Здесь удобно выразить cos²α через tgα, чтобы уравнение содержало только одну тригонометрическую функцию.

Студент: – 1/cos²α = 1 + tg²α. Значит,

h = – (1 + tg²α)g l ² /(2V₀² ) + (tgα)l.

Автор: – Вы правильно получили квадратное уравнение относительно tgα. Для удобства решения сделайте переобозначение и найдите корни.

Студент: Пусть tgα=Z, тогда уравнение примет вид:

g l²Z² /(2V₀² )– lZ + gl²/2V₀² + h = 0.

Умножим это уравнение на V₀²/l:

glZ²/2 – V₀²Z + gl/2 + hV₀²/l = 0

D = V₀⁴ –g(gl²+2V₀²h).

Если D > 0, то при данной начальной скорости пуля может попасть в цель двумя способами. При D < 0 пуля вообще не попадет в цель, т. е. ни одна из траекторий семейства (1.8) не достигает этой цели. Равенство дискриминанта нулю определяет ту минимальную начальную скорость, при которой ещё можно попасть в данную цель, т. к. D(V₀²) – монотонно возрастающая функция при V₀² > gh:

V²_min=g(h+) (1.9)

Для возможных углов выстрела получаем выражения

Z = (V₀² ±):

Автор: – Найдите критический угол при минимально возможной скорости и сравните с Вашим прежним предположением.

Студент: – Z_кр= tgα_кр= V²_min /gl = +. Это действительно отличается от того, что я писал раньше.

Автор: – Как бы Вы ответили на вопрос: может ли пуля попасть в цель с координатами (500 м, 500 м), если её начальная скорость 200 м/с?

Студент: – Я подставлю значения h=500 и l=500 в (1.9), если минимальная скорость получится меньше 200 м/с, то пуля попадет в мишень.

g(h+)=10·(500+·500)≈2,4·5000=12000;V≈110 м/с.

Вывод: скорость вполне достаточная, чтобы пуля попала в такую мишень.

Автор: – Верно. Можно написать уравнение границы поражения в общем виде. Выражая из (1.9) h и принимая начальную скорость V₀, находим:

h= V₀² /(2g) – g l² /2 V₀² (1.10)

Эта формула определяет наибольшую высоту цели, находящейся на расстоянии l от ружья, в которую ещё можно попасть при данном значении V₀. Поэтому на мой вопрос о попадании пули в конкретном случае можно ответить, подставив l и V₀ в (1.10). Если получится значение, большее или равное 500 м, то пуля попадёт. В другом случае – нет. Проверьте свой вывод по этой формуле.

Студент: – 4·10⁴/20 – 25·10⁵ /8·10⁴ =2·10³ – 125/4>500. Вывод подтвердился.

История.

Нильс Бор с женой и молодым физиком Казимиром возвращались поздним вечером из гостей. Казимир был завзятым альпинистом и с удовольствием рассказывал о скалолазании, а затем предложил продемонстрировать свое мастерство, избрав для этого стену дома, мимо которого вся компания в тот момент проходила. Когда он, цепляясь за выступы, поднялся уже выше второго этажа, за ним, раззадорившись, двинулся Бор. Маргарита Бор с тревогой наблюдала за ними снизу. В это время послышались свистки, и к дому подбежало несколько полицейских. Здание оказалось отделением банка.

Вопросы и задания

3.1. При каком направлении начальной скорости дальность полета брошенного тела будет наибольшей? Обеспечит ли такое направление начальной скорости наибольшую дальность при броске из точки, находящейся на некоторой высоте над землей?

3.2. Мальчик захотел оценить скорость вылета камня из рогатки (не своей). Как это сделать, пользуясь только линейкой?

3.3. В какой точке своей траектории снаряд имеет наименьшее значение а) скорости, б) ускорения?

3.4. Докажите, что время подъёма мячика, брошенного под углом к горизонту, можно вычислить по той же формуле, что и время падения с наивысшей точки траектории, находящейся на высоте Н. То есть Н=gt²/2 как для подъёма, так и для спуска. Рекомендуем пользоваться этим свойством.

Задачи

3.5. Мальчик бросил мячик строго горизонтально из окна дома, находящегося на высоте 20 м. Сколько времени летел мяч до земли? С какой скоростью мяч был брошен, если упал он в 6 метрах от основания дома?

3.6. Из одной и той же точки вертикально вверх с интервалом времени τ выброшены два шарика со скоростью V. Через какое время после вылета второго шарика они столкнутся?

3.7. Шарик подбрасывают вертикально вверх с некоторой скоростью V. Известно, что на высоте h этот шарик побывал дважды с интервалом времени t₀. Найдите начальную скорость шарика V.

◄V=(2gh + (gt₀)²/4) ^1/2►

3.8. Свободно падающее тело пролетело мимо точки А со скоростью V_a. С какой скоростью оно пролетит мимо точки В, находящейся на высоте Н ниже А?

3.9. Камень бросают со скоростью V под углом φ к горизонту. Через какое время скорость будет составлять угол α с горизонтом?

3.10. Из миномёта ведут стрельбу по объектам, расположенным на склоне горы. На каком расстоянии от миномета будут падать мины, если их начальная скорость – V, угол наклона горы – α и угол стрельбы по отношению к горизонту – β?

§ 1.4