- •А. Н. Дахин Обучение и движение Учебное пособие для студентов колледжей, учащихся лицеев и гимназий
- •Рецензент:
- •Введение
- •Глава 1. Кинематика
- •Физическая модель. Понятие скорости и ускорения
- •Вопросы задания
- •Равноускоренное прямолинейное движение
- •Баллистика
- •Движение по окружности
- •Вопросы и задания
- •Преобразование Галилея
- •Первые физические картины мира
- •Глава 2. Динамика
- •Первый закон Ньютона
- •Второй закон Ньютона
- •Какие силы приложены к телу?
- •Вопросы и задания
- •Законы Ньютона и … яблоко
- •Еще раз про расстановку сил
- •Вопросы и задания
- •Существует ли центробежная сила?
- •Задачи на законы Ньютона
- •Вопросы и задания
- •Обобщим сведения о трении
- •Теорема о кинетической энергии
- •Мощность: средняя и мгновенная
- •Закон сохранения импульса
- •Глава 3. Механика в задачах
- •Вращение и закон сохранения энергии
- •Вращение и трение
- •Падение центра масс
- •Решение
- •Кинематические связи
- •Список литературы
- •Оглавление
Вращение и трение
Задача 3.3.
На краю наклонной плоскости с углом наклона α лежит тело. Плоскость равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Расстояние от тела до оси вращения плоскости равно R. Требуется найти наименьший коэффициент трения k, при котором тело удержится на вращающейся наклонной плоскости.
Рис.3.2.1
Студент: – К телу приложены три силы: сила тяжести G, сила реакции опоры N и сила трения Fтр .
Автор: – Хорошо, что Вы не добавили к ним центростремительную силу.
Студент: – Далее я разложу силы на направления вдоль плоскости и перпендикулярно ей.
Автор: – Здесь следует остановиться. Скажите, куда направлено ускорение?
Студент: – Ускорение направлено по горизонтали, т. к. это центростремительное ускорение.
Автор: – Правильно. Поэтому следует проецировать силы на горизонтальное и вертикальное направления. Мы уже говорили об этом.
Студент: – Я понял. Мой чертеж представлен на рис. 3.2.1. Вертикальные составляющие сил уравновешиваются, а горизонтальные компоненты обусловливают центростремительное ускорение. Получаем систему:
.
Учитывая, что Fтр=kN, V2/R= ω2R, G=mg, перепишем эти соотношения в виде:
.
Но здесь только два уравнения и три неизвестных: k, m, N.
Автор: – Тем не менее эти уравнения решить можно. Ведь нам надо найти не все эти три неизвестные, а только одно – коэффициент трения. Параметры m и N можно исключить, разделив первое уравнение на второе.
Студент: После деления получим
=.
Отсюда k=. Это окончательный ответ.
Автор: – Немного проанализируем его. Во-первых, видим, что должно выполняться условие (gcosα–ω2Rsinα)>0.
Или tgα< .
Если это условие не выполняется, то никакая сила трения не в состоянии удержать тело на вращающейся наклонной плоскости.
Обратим внимание на два частных результата.
1. Если α=0, тело находится на горизонтальном вращающемся диске. Получаем k= ω2 R/g.
2. Если ω =0, тело находится на неподвижной наклонной плоскости и "хочет" соскользнуть вниз при выполнении условия tgα=k. Этот результат мы часто будем встречать.
Задача 3.4. На проволочное кольцо радиусом R нанизана маленькая бусинка массой m. Кольцо вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через диаметр, с угловой скоростью ω. Где будет находиться бусинка?
Рис.3.2.2
Студент: – Обозначим угол отклонения бусинки от вертикали α. Тогда радиус вращения тела в горизонтальной плоскости r=Rsinα. Центростремительная сила создается только горизонтальной составляющей силы взаимодействия с обручем, поэтому можно записать:
Nsinα=mV2/r=mω2r= mω2Rsinα. Сокращая на sinα, имеем выражение: N=mω2R.
Приравняв вертикальные компоненты сил тяжести и реакции опоры, получим Nсоsα=mg. Значит, N= mg/соsα. Сравним оба выражения для N: mg/соsα= mω2R. Окончательно имеем соsα=g/(ω2R).
Автор: – Это правильный ответ, но обратите внимание на любопытную деталь. По определению косинуса |соsα |≤1. Из Вашего ответа следует, что всегда можно подобрать такую угловую скорость ω, что выражение g/(ω2R) станет больше единицы. Как это понимать?
Студент: – Я в полной растерянности и не понимаю, почему ответ теряет смысл при медленном вращении.
Автор: – Всё дело в несколько небрежном сокращении на sinα. Как Вы помните, это можно делать только в случае, если sinα≠0. Иначе возможна потеря корня, что у Вас и произошло. Таким образом, ответ запишется так:
◄α=arccos[g/(ω2R)] при g/(ω2R)≤1,
α=0 при g/(ω2R)>1►.
История.
Когда Нильс Бор выступал в ФИАНе, то на вопрос о том, как удалось ему создать первоклассную школу физиков, он ответил: «По-видимому, потому, что я никогда не стеснялся признаваться своим ученикам, что я дурак …».
Переводивший речь Бора Лифшиц донес эту фразу до аудитории в таком виде: «По-видимому, потому, что я никогда не стеснялся заявить своим ученикам, что они дураки …».
Эта фраза вызвала оживление в аудитории, тогда Лифшиц, переспросив Бора, поправился и извинился за случайную оговорку. Однако сидевший рядом Капица глубокомысленно заметил, что это не случайная оговорка. Она фактически выражает принципиальное различие между школами Бора и Ландау, к которой принадлежал и Лифшиц.
§ 3.3