Лабораторная работа № 10-К

«Исследование нормальных колебаний струны»

1. Введение

Распространение в пространстве различных возмущений состояния вещества или поля называется волновым процессом или волной. Примерами волн являются звук (упругие волны) и свет (электромагнитные волны).

Довольно часто наблюдаются стоячие волны, образующиеся в результате сложения падающих и отраженных волн. Так, например, каждый тон звучания музыкальных инструментов является стоячей волной струны или столба воздуха. На приемной антенне телевизора и в рабочем объеме лазера устанавливаются стоячие электромагнитные волны.

В настоящей работе изучаются нормальные колебания струны, являющиеся стоячими упругими волнами.

2. Основные понятия

2.1. Уравнение гармонической плоской волны, распространяющейся вдоль оси OX , имеет вид

(1)

где - смещение частиц от положения равновесия;

A - амплитуда колебания;

к - волновое число, равное , где- длина волны;

_ω- циклическая частота колебаний, ;

- начальная фаза колебаний.

Скорость волны V, длина волны и частота колебанийсвязаны соотношением

. (2)

2.2. Рассмотрим пример образования стоячей упругой волны на струне. Предположим, что струна длиной L натянута вдоль оси OX, причем ее концы жестко закреплены (рис. 1).

Возбудим на струне гармоническую волну с начальной фазой , бегущую вдоль осиOX слева направo

Если отражение волны от правого конца происходит без потери энергии, отраженная волна имеет такую же амплитуду, что и падающая, и описывается уравнением

,

где определяется изменением фазы при отражении.

При сложении ивозникает интерференция и результирующая стоячая волна имеет вид

.

Величина

(3)

является амплитудой стоячей волны и зависит от координат точки. В случае, когда концы струны жестко закреплены, граничные условия имеют вид

. (4)

При отражении от закрепленного конца фаза волны меняется на , (). Тогда уравнение (3) примет вид

. (5)

2.3. Покажем, что стоячая волна может существовать только при строго определенных частотах колебаний. Из второго граничного условия следуети, гдеn - целое число. Следовательно, волновое число и длина волны могут иметь только следующие строго определенные значения:

.

Таким образом, на струне возможны только те стоячие волны, половина длин которых укладывается на длине струны L целое число раз (рис. 1).

. (6)

а

б

в

Рис. 1

Соответствующие этим длинам волн частоты колебаний называются собственными частотами колебаний струны, а частота- основной частотой. Возбужденные в струне колебания с собственными частотами называются нормальными колебаниями струны (модами) или гармониками. Форма мод дляn = 1, 2 и 3 показана на рис. 1. Первая мода называется основной.

Точки, для которых амплитуда равна нулю, называются узлами стоячей волны. Точки, где амплитуда колебаний максимальна и равна 2A , называются пучностями. В пределах одной полуволны колебания всех точек происходят в фазе, при переходе к соседней полуволне фаза скачком меняется на π.

2.4. Отношение определяет фазовую скорость волны, для гармонических волн совпадающую по величине со скоростью распространения волнV.

2.5.Можно показать (см. приложение), что скорость распространения волны по струне зависит от силы натяжения струны T и ее погонной плотности ρ₀ (массы на единицу длины) следующим образом:

. (7)

2.6. При воздействии на струну внешней гармонической силы на ней установится определенная мода колебаний, если ее частота совпадет с частотой вынуждающей силы.

2.7. В настоящей лабораторной работе изучаются закономерности нормальных колебаний струны, а именно: рассчитывается погонная плотность струны, сравниваются экспериментально найденные и теоретически рассчитанные скорости распространения волны при различных силах натяжения струны.