223
В результате имеем теоретическое уравнение регрессии
y 22,09 5,40x , |
(6.169) |
график которой приведен на рисунке 6.46.
6.8.3 Парная нелинейная регрессия
Рассмотрим случай нелинейной связи, которая описывается уравнением гиперболы (см. ф. (6.164)).
224
Исходные данные помещены в таблице 6.29. В результате n = 50 наблюдений получено 50 пар случайных чисел (x, y). Случайная величина X (факторный признак) изменяется от 4 до 20, ее можно разбить на 8 интервалов: 4 – 6; 6 – 8; …; 18 – 20. Для каждого интервала вычисляется среднее значение xi = 5; 7; …, 19. Случайная величина Y (результативный признак) изменяется от 3,4 до 6,6, ее можно разбить на 8 интервалов: 3,4 – 3,8; 3,8 – 4,2; …; 6,2 – 6,6. Для каждого интервала вычисляется среднее значение yj = 3,6; 4,0, …, 6,4.
В ячейки, образованные пересечением строк и столбцов, заносится частоты попаданий пар (x, y) в соответствующие интервалы по x и y. В столбец, обозначенный my, и строку, обозначенную mx, заносятся суммы частот по каждому интервалу y и x соответственно. В результате заполнения получают корреляционную таблицу. Правильность заполнения таблицы контролируется выполнением условия n = mx = my = 50.
Из анализа корреляционной таблицы следует, что имеет место обратная регрессия, так как частоты располагаются по диагонали, идущей с нижнего угла в верхний угол таблицы.
По аналогии с линейной корреляцией строят корреляционное поле (рисунок 6.47) и эмпирическую линию регрессии (рисунок 6.48). По ее виду можно сделать предположение о форме связи. В данном случае эмпирическую линию регрессии можно аппроксимировать гиперболой.
Рисунок 6.47 - Корреляционное поле случайных величин X и Y
225
Коэффициенты уравнения нелинейной регрессии, а
именно, гиперболы, |
a0 и a1 (см. ф. (6.164)) определяются по |
|||
методу наименьших квадратов. |
|
|
|
|
Система нормальных уравнений имеет вид |
|
|||
|
n a0 1/ x a1 |
y, |
(6.170) |
|
|
|
2 |
y / x. |
|
|
|
|||
1/ x a0 1/ x |
|
|
||
|
|
|
|
|
Так как случайные величины X и Y разбиты на интервалы и подсчитаны частоты попадания пар значений mxy, систему нормальных уравнений можно представить в следующем виде
|
m a |
|
|
1/ x m a |
|
|
ym , |
(6.171) |
|||||||
|
xy |
0 |
|
|
|
x |
|
1 |
|
y |
|
||||
|
|
|
|
. |
|||||||||||
|
x |
0 |
|
|
|
2 |
x |
|
|
|
|
xy |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
1/ x m |
a |
|
|
1/ x m |
|
|
1/ x ym |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим все необходимые суммы (см. таблицу 6.29) и, подставляя их значения в (6.171), получим
50 a0 5,52 a1 241,2, 5,52 a0 0,73 a1 28,37.
Решая систему уравнений по методу Крамера, получим значения коэффициентов уравнения регрессии a0 = 3,18 и a1 = 14,88. В результате имеем теоретическое уравнение регрессии
y 3,18 14,88 / x , |
(6.172) |
график которой приведен на рисунке 6.48.
Рисунок 6.48 – Эмпирическая и теоретическая линии регрессии
Рассмотрим общий случай нелинейной зависимости между случайными величинами X и Y – многочлен k - й степени от x:
y a |
0 |
a x a |
2 |
x2 |
a |
k |
xk . |
(6.173) |
|
1 |
|
|
|
|
Коэффициенты регрессии a0, a1,…, ak определяются по методу наименьших квадратов. Система нормальных уравнений имеет вид:
226
|
a0 n a1 x a2 x 2 ak x k y; |
|
|||||||
|
a0 xn a1 x2 |
a2 x3 ak xk 1 |
yx; |
(6.174) |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|||||||
|
|
||||||||
a0 x |
a1 x |
|
a2 x |
|
ak x |
|
yx |
. |
|
|
k |
|
k 1 |
|
k 2 |
|
2k |
k |
|
Вычислив коэффициенты системы уравнений, ее можно решить относительно коэффициентов уравнения регрессии одним из способов решения систем алгебраических уравнений.
Продемонстрируем применение многочлена 2-й степени (парабола) на конкретном примере. Исходные данные представлены в таблице 6.30.
Таблица 6.30 - Корреляционная таблица для связи вида парабола
Система нормальных уравнений имеет вид
|
n a0 x a1 x2 a2 y, |
(6.175) |
||||
|
|
2 |
3 |
a2 |
yx, |
|
|
x a0 x |
a1 x |
. |
|||
x |
a0 x |
a1 x |
a2 |
yx |
||
|
2 |
3 |
4 |
|
2 |
|
Все суммы, необходимые для составления системы нормальных уравнений, приведены в таблице 6.30. Подставляя их в систему уравнений (6.175), получим следующую систему