415_osnovn_mat_model
.pdf9.ВОПРОСЫ К ЗАЧЕТУ
1.Понятие случайного события. Алгебра событий.
2.Определение вероятностей (классическое).
3.Основные свойства вероятности.
4.Независимые события. Условия независимости.
5.Теоремы о вероятности.
6.Независимые испытания, схема Бернулли (вероятность успеха).
7.Случайная величина и функция распределения.
8.Дискретные случайные величины, их характеристики.
9.Непрерывные случайные величины. Плотность распределения.
10.Характеристики положения случайной величины.
11.Характеристики рассеяния случайной величины.
12.Нормальное распределение и его основные свойства.
13.Независимость случайных величин. Условие независимости.
14.Коэффициент корреляции и его свойства.
15.Закон больших чисел. Теорема Чебышева.
16.Смысл центральной предельной теоремы (теорема Ляпунова).
17.Статистическая совокупность: выборочная и генеральная.
18.Средние статистических совокупностей..
19.Характеристики рассеяния совокупностей.
20.Первичная обработка данных. Вариационный ряд. Эмпирическая
21.функция распределения.
22.Графическое представление вариационных рядов.
23.Выборочные наблюдения. Способы формирования выборки.
24.Точечная оценка параметра. Свойства состоятельности, несмещенности, эффективности и достаточности.
25.Методы нахождения точечных оценок.
26.Интервальная оценка параметра. Ее суть.
40
27.Интервальная оценка средней генеральной совокупности нормального распределения.
28.Общая постановка задачи о проверке статистических гипотез.
29.Общая схема проверки гипотез.
30.Статистический критерий. Критическая область.
31.Проверка гипотезы на сравнение средней с нормативом.
32.Сравнение двух дисперсий нормальных совокупностей.
33.Критерий согласия.
34.Модели эксперимента.
35.Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента
36.Уравнение парной регрессии.
37.Коэффициент корреляции. Ранговая корреляция.
38.Сглаживание временных рядов.
41
10.ТЕСТОВЫЕ ЗАДАНИЯ
1.Бросают два кубика. Возможные события: А – «на первом кубике выпала четверка», событие В – «на втором кубике выпала пятерка» являются:
Варианты ответов:
1)Совместными.
2)Независимыми.
3)Несовместными.
4)Зависимыми.
2.Несовместные события А, В, С не образуют полную группу событий, если их вероятности равны:
Варианты ответов:
1)P( A) = P(B) = P(C) =1 / 3. P(A) =1/ 2
2)P(B) =0,2 . P(C) =0,3 P(A) = 0,2
3)P(B) = 0,2 . P(C) = 0,3 P(A) = 0,4
4)P(B) = 0,1 . P(C) = 0,3
3.В партии 10 деталей, 5 из них бракованные. Какова вероятность из трех наугад выбранных деталей, что одна окажется бракованная?
Варианты ответов:
1) |
8/252. |
4) |
5/21. |
2) |
5/33. |
5) |
16/252. |
3) |
5/12. |
|
|
42
4.Слово «стена» составлено из букв, каждая из которых нанесена на отдельной карточке. Найти вероятность того, что буквы, взятые в случайном порядке, составят это слово.
Варианты ответов:
1)1/40.
2)1/120.
3)3/240.
4)1/360.
5.Радист трижды вызывает станцию. Вероятность того, что будет принят первый вызов, равна 0,2, второй 0,3, третий 0,4. По условиям приема все успешные вызовы независимы. Найти вероятность того, что радист свяжется со станцией хотя бы один раз.
Варианты ответов:
1)0,748.
2)0,608.
3)0,712.
4)0,664.
5)0,705.
6.Первый стрелок поражает мишень с вероятностью Р1 = 0,6; второй – с вероятностью Р2 = 0,5; третий – с вероятностью Р3 = 0,4. Какова вероятность того, что все стрелки поразили мишень?
Варианты ответов:
1)0,14.
2)0,12.
3)0,192.
4)0,1.
5)0,096.
6)0,22.
7.Есть 3 завода, производящих одну и ту же продукцию. При этом 1-
йзавод производит 25%, 2-й завод – 35% и 3-й завод – 40% всей производимой продукции. Брак составляет 5% от продукции 1-го завода, 3% от продукции 2-го и 4% от продукции 3-го завода. Вся продукция смешивается и поступает в продажу. Найти вероятность купить бракованное изделие.
Варианты ответов:
1)0,14.
2)0,039.
3)0,0495.
4)0,041.
5)0,045.
6)0,04.
8.Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трех касс. Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местоположения и равны соответственно:
p (Н1 )= 0, 4; p (Н2 )= 0, 4; p (Н3 )= 0, 2 .
Вероятность того, что к приходу в кассу пассажира будут в кассе билеты равна соответственно:
P( A / H1 ) = 0, 7; P( A / H 2 ) = 0, 4; P( A / H 3 ) = 0,8 .
Пассажир направился за билетом и приобрел его в одной из касс. Найти вероятность того, что это была первая касса.
Варианты ответов:
1)1/3.
2)0,47.
3)0,59.
4)0,2.
5)0,41.
6)0,34.
44
9.Найти математическое ожидание и дисперсию для дискретной случайной величины, ряд распределения которой имеет вид:
|
X |
0 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
Pi |
0,2 |
|
0,4 |
|
0,2 |
|
0,2 |
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|||
1) |
E( X ) = 2, 2; D( X ) =1,76 . |
|
|
|
|
|
||
2) |
E( X ) =1, 4; D( X ) = 4, 24 . |
|
|
|
|
|
||
3) |
E(X ) =2,8; D(X ) =1,76 . |
|
|
|
|
|
||
4) |
E( X ) = 2,8; D( X ) = 4,16 . |
|
|
|
|
|
||
5) |
E(X ) =1,2; D(X ) =5,76. |
|
|
|
|
|
||
6) |
E( X ) =1, 2; D( X ) = 4,76 . |
|
|
|
|
|
||
10. Задана функция распределения случайной величины |
|
|||||||
|
|
|
|
0, при x ≤0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F(x) = x / 4,при 0 < x ≤4 . |
|
|||||
|
|
|
|
1, при x >4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Найти математическое ожидание и дисперсию. |
|
|||||||
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|||
1) |
E( X ) = 2, 2; D( X ) =1,76 . |
|
|
|
|
|
||
2) |
E( X ) = 2; D( X ) = 4 / 3. |
|
|
|
|
|
||
3) |
E( X ) = 0; D( X ) = 2 / 3. |
|
|
|
|
|
||
4) |
E( X ) = 0; D( X ) = 4 / 3. |
|
|
|
|
|
||
5) |
E( X ) = 2; D( X ) = 211 . |
|
|
|
|
|
||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
6) |
E( X ) = 7; D( X ) = 4 / 3. |
|
|
|
|
|
||
11. Функция распределения случайной величины X задана следующим образом:
|
0, при x ≤ 0 |
|
Аsin x,при 0 < x ≤π/ 2 . |
F(x) = |
|
|
1, при x > π/ 2. |
|
45
Найти А и плотность распределения случайной величины.
Варианты ответов:
A=1;
1)p(x) = cos x, x [0, π/ 2].0, x [0, π/ 2]
A=1;
2)p(x) = sin x, x [0, π/ 2].0, x [0, π/ 2]
|
A = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
2sin x, x |
[ |
0, |
π/ 2 |
]. |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
p(x) = |
0, x [0, π/ 2] |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = 2; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
2cos x, x |
|
0, |
π/ 2 |
]. |
|||
|
[ |
|
|
|
||||
|
p(x) = |
0, x [0, π/ 2] |
|
|
||||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12.Построить ряд распределения для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, если число испытаний = 4, а вероятность успеха в одном испытании p = 0,4.
Варианты ответов:
1)
Xi |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
pi |
0,1296 |
0,3456 |
0,3456 |
0,1536 |
0,0256 |
2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Xi |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
pi |
0,0625 |
0,25 |
0,375 |
0,25 |
0,0625 |
3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Xi |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
pi |
0,0256 |
0,1536 |
0,3456 |
0,3456 |
0,1296 |
4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
Xi |
0 |
1 |
2 |
4 |
|
pi |
0,2401 |
0,4116 |
0,2646 |
0,0756 |
0,0081 |
46
13. Найти моду вариационного ряда:
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
3 |
Варианты ответов:
1)2;
2)3;
3)4;
4)5;
5)8.
14.Найти медиану вариационного ряда:
1 |
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
6 |
5 |
8 |
3 |
Варианты ответов:
6)2;
7)3,5;
8)4,5;
9)5;
10)8.
15.Если каждый элементы выборки уменьшить в 4 раза, то:
Варианты ответов:
1)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия
в8 раз;
2)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия
в4 раза;
3)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия не изменится;
4)Выборочное среднее уменьшится в 4 раза, выборочная дисперсия
в16 раз.
47
16. |
Найти выборочное среднее вариационного ряда: |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
1 |
|
2 |
|
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
8 |
3 |
|
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
|
|
||||
|
1) |
2; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) |
4; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
4,5; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4) |
5; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5) |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17. Найти выборочное среднее для интервального вариационного ряда:
Интервал |
|
[0,4] |
|
[4, 8] |
[8,12] |
[12,16] |
[16,20] |
|
Частота |
|
5 |
|
20 |
25 |
25 |
5 |
|
Варианты ответов: |
|
|
|
|
||||
1) |
10; |
|
|
|
|
|
|
|
2) |
10,25; |
|
|
|
|
|
|
|
3) |
12; |
|
|
|
|
|
|
|
4) |
14; |
|
|
|
|
|
|
|
5) |
16. |
|
|
|
|
|
|
|
18. |
Найти исправленную выборочную дисперсию вариационного ря- |
||||||||||
|
да. Точность вычисления до двух десятичных знаков. |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
3 |
4 |
5 |
5 |
8 |
3 |
||
Варианты ответов:
1)2,11;
2)4,22;
3)4,5;
4)7,3;
5)8,1.
48
19.Найти доверительный интервал оценки математического ожидания для выборки размером 100 наблюдений, если квантиль распределения равен 1,96. Среднее арифметическое равно 12,5; а среднеквадратическое отклонение равно 2.
Варианты ответов:
1)[12,108;12,892]
2)[12,108;13,892]
3)[11,108;12,892]
4)[10,108;14,892]
20.Решите следующее задание и дайте свободный ответ. При вводе ответа указать левую и правую границы через пробел.
Сточностью до одного десятичного знака найти доверительный интервал оценки дисперсии для выборки, если выборочная дисперсия равна 16, а число наблюдений равно 20. При числе степеней свободы ν = 20 −1 определены критические значения:
χ2кр1 (1−α/ 2,ν) = χ2кр(0,95,19) =10,1;
χ2кр2 (α/ 2,ν) =χ2кр(0,05,19) =30,1.
21.Проверить статистическую гипотезу о том, что математическое ожидание случайной величины равно 20 при условии, что рассматривается двусторонняя критическая гипотеза, если размер выборки равен 100, известна дисперсия случайной величины 36, а также критическое значение статистического критерия равно 1,96. Выборочное среднее равно 19,5.
Варианты ответов:
1)Выполняется нулевая гипотеза;
2)Выполняется единичная гипотеза;
3)Нельзя принять решение о гипотезе;
4)Необходимо изменить уровень значимости.
49