задачи по вариантам

ВАРИАНТ №12.

1. Имеется 6 коробок с шарами и 4 пустых коробки. Какова вероятность того, что из 2-х наугад выбранных коробок окажется 1 с шарами и 1 пустая?

2. В урне 6 белых и 4 красных шара. Вынимается один шар, затем возвращается обратно. Снова вынимается один шар. Какова вероятность того, что шары в обоих случаях одного цвета?

3. Студент сдает экзамен по теории вероятностей. У экзаменатора на столе 30 билетов. Вероятность успешной сдачи при вытягивании одного из 6-ти билетов равна 1, при вытягивании одного из других 9 билетов - 0.8, а при вытягивании одного из остальных 15-ти - 0.4. Студент сдал успешно экзамен. Из какой группы вероятнее всего он вытянул билет?

5. Известно, что инспектор ГИБДД Хватов за час остановил 5 машин. Известно, что с вероятностью 0.6 инспектор выписывает квитанцию на штраф, и сумма всегда одинакова – 100 рублей. Какова вероятность того, что общий счет выписанных инспектором штрафов не менее 400 рублей? Для ДСВ – общего счета выписанных инспектором штрафов построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

Найти коэффициент А, функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<π/4). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

7. Найти плотность распределения суммы двух независимых нормальных случайных величин с параметрами N(40, 41) и

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X /4 0 Y /8 .

10. Если диаметр шарика меньше 5 мм и больше 7 мм, то он бракуется. Известно, что диаметр шарика есть нормальная случайная величина с параметрами N(6,1) . Определить вероятность того, что хотя бы один шарик из трех будет забракован.

21

ВАРИАНТ №13.

1.В аудитории присутствуют 4 студента из группы 224 и 5 студентов из группы 223. Какова вероятность того, что 3 случайно выбранных студента в этой аудитории окажутся из одной группы?

2.Три студента сдают каждый по 2 экзамена (Математика и История). Вероятность сдачи экзамена для первого студента

равна 0.3 (по каждому предмету), для второго - 0.6, для 3-го - 0.8. Найти вероятность того, что хотя бы один экзамен (из шести) будет сдан.

3. На складе лежит 10 деталей фирмы «А», 6 деталей фирмы «Б» и 4 детали фирмы «С». Вероятности безотказно отработать положенный ресурс, для деталей каждой фирмы равны соответственно 0.4, 0.6 и 0.9. Наудачу выбранная деталь взята со склада, установлена на агрегат и при эксплуатации успешно отработала положенный ресурс. Какой фирмы, наиболее вероятно, эта деталь?

5. Пять стрелков делают по цели по одному выстрелу. Вероятность попадания для каждого из них равна 0.4. Для поражения цели необходимо хотя бы два попадания. Какова вероятность поражения цели? Для ДСВ – количества попаданий построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

Найти коэффициент А, функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<1). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X ln2 1 Y 2.25 .

10. Три парашютиста должны приземлиться в круг радиуса 10м. Какова вероятность того, что хотя бы один парашютист приземлиться в круг, если отклонения по осям x,y, проведенным на поверхности приземления из центра круга распределены по нормальному закону N(0,8).

22

ВАРИАНТ №14.

1.В урне 100 шаров, из них 5 белые, остальные - черные. Какова вероятность того, что из 4-х наугад выбранных шаров два окажутся белыми?

2.В каждой из трех урн 2 черных шара и 1 белый. Из каждой урны вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что все 3 вынутых шара белые?

3.Вероятность осуществления некоторого проекта после выборов губернатора равна 1, если будет избран претендент «А». Если будет избран претендент «Б», то эта вероятность равна 0.8. А если будет избран претендент «В», то – 0.6. Вероятность стать губернатором для «А» равна 0.25, для «Б» – 0.45. Всего трое являются претендентами на пост губернатора на этих выборах. Проект оказался осуществленным после выборов. Кто из претендентов вероятнее всего стал губернатором?

5.Семья Ивановых раз в неделю ест грибной суп. Известно, что вероятность отравления равна 0.1. Какова вероятность того, что за 5 недель они ни разу не попадут в больницу? Предполагается, что Ивановы не изменяют традиции даже после отравления и каждую неделю едят собранные накануне грибы. Для ДСВ – количества отравлений построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

Найти коэффициент А, функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<π/4). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

2

7. В условиях задачи 6 найти p(y) случайной величины Y X 3 .

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X 2ln2 1 Y 1 .

10. Случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами N(1, ). Известно, что P(1<X<3)=0,4 Найти, P(-1<X<1).

23

ВАРИАНТ №15.

1.Из 10 шаров два являются полыми, остальные сплошными. Вынимаются 5 шаров. Определить вероятность того, что среди них один полый.

2.Студенту Иванову предстоит сдавать 2 экзамена. Вероятность успешной сдачи каждого из экзаменов для него равна 0.7. Студенту Петрову предстоит сдать 3 экзамена, а вероятность успешной сдачи каждого из экзаменов для него равна 0.8. Какова вероятность успешной сдачи всех экзаменов обоими студентами?

3.Имеется синий ящик, в котором 4 белых и 4 черных шара, а также красный ящик, в котором 6 белых и 2 черных шара. Бросается игральная кость. Если число очков больше или равно пяти, то берется красный ящик, в противном случае берется синий ящик. Из выбранного ящика изъяли случайным образом два шара и оба оказались белыми. Какова вероятность, что был взят синий ящик?

5.В каждом экзаменационном билете два вопроса из списка в 30 вопросов. Известно, что первый вопрос берется из первых 15-ти вопросов списка, а второй из второй половины списка. Студент перед экзаменом не знает два вопроса из первой половины списка и три вопроса из второй половины. Какова вероятность того, что студенту попадется билет, где он не знает оба вопроса? Для ДСВ – количества вопросов в билете, которые студент знает, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

6.Случайная величина X имеет непрерывную функцию распределения, причем на промежутке [0;2] она определяется

формулой: F(x) Ax42 . Найти коэффициент А, плотность распределения, дисперсию и математическое ожидание

случайной величины X. Найти P(0<X<1). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

7. В условиях задачи 6 найти p(y) случайной величины Y X 1 . 9. ФР для СНСВ выражается формулой

F(x, y) 14 21 [arctg(x) arctg(y)] 12 arctg(x)arctg(y)

Определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), p(x,y). Найти P(-1<x<1, -1<y<1).

10. Случайная величина имеет нормальное распределение N(2 , 2). Найти границы равномерного распределения ( , ), у которого математическое ожидание и вероятность попадания в интервал (0, 4) равны соответствующим величинам нормального распределения.

24

ВАРИАНТ №16.

1. В урне из 30 шаров 5 зеленые. Какова вероятность того, что из 7 наугад выбранных шаров один окажется зеленым?

2.Три стрелка делают по одному выстрелу в мишень с дальнего расстояния. Вероятность попадания для первого стрелка 0.2, для второго - 0.3, для третьего - 0.4. Найти вероятность того, что по мишени будет хотя бы одно попадание.

3.В группе 4 отличника, 4 учатся на «хорошо» , 5 посредственных и 7 слабых. Вероятности выполнить упражнение без ошибок составляют для каждой категории соответственно 0.9, 0.75, 0.5 и 0.3. Наудачу вызванный студент из двух упражнений выполнил два упражнения без ошибок. Какова вероятность того, что этот студент отличник?

5.Проходит конкурс красоты. У одной из претенденток есть скрытый недостаток. В жюри сидят 6 человек. Каждый из них обнаруживает скрытый недостаток с вероятностью 0.1. Член жюри, обнаруживший недостаток поставит на балл меньше. Баллы складываются. Определить вероятность того, что недостаток отразится на решении жюри. Для ДСВ – количества баллов, снятых из-за недостатка, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

6.Плотность случайной величины X задана следующим образом:

Ax2 , 0 x 1 p(x)

0, x 0; x 1

Найти А, функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<1/3 2 ). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

7.В условиях задачи 6. найти ПР для СВ y x 1 2

2

10. Известно, что при трех испытаниях центрированной НСВ, распределенной по нормальному закону вероятность того, что значение НСВ ни разу не окажется внутри интервала (0, 3) равно 0,216. Найти вероятность попадания в интервал (3 ,6) для этой величины.

25

ВАРИАНТ №17.

1.В шахматном турнире участвуют 24 человека и по жребию разбиты на 2 группы по 12 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных игроков будут играть в одной группе.

2.Некоторый процесс проходит 3 стадии. Успех в процессе считается достигнутым только в случае, если все стадии прошли успешно Успешное прохождение предыдущей стадии является условием начала следующей. Вероятность успешного прохождения каждой стадии равна Р. Какова вероятность неуспеха в этом процессе?

3.В группе 4 отличника, 4 учатся на «хорошо», 5 «посредственных» и 7 слабых. Вероятности выполнить упражнение без ошибок составляют для каждой категории соответственно 0.9, 0.8, 0.5 и 0.3. Наудачу вызванный студент из двух упражнений не выполнил ни одно. Какова вероятность того, что этот студент «посредственный»?

5. Вероятность попадания одного метеорита в спутник за интервал времени Т равна 0.002e 0.002 . Найти вероятность того, что за время 500T в спутник попадет не менее одного и не более двух метеоритов. Для ДСВ – количества попавших в спутник метеоритов за время 500T, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения. При построении ряда распределения и графиков ограничиться значениями ДСВ 0 – 5.

Найти x0 , функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<1). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

10. Известно, что диаметр шариков для подшипников описывается нормальным законом с параметрами N(5, 0.005). При контроле бракуются все шарики, диаметр которых отличается от среднего больше чем на 0.01. Определить, какой процент шариков в среднем бракуется.

26

ВАРИАНТ №18.

1. В урне из 30 шаров 10 белых. Какова вероятность того, что три наудачу взятых шара будут не белыми?

2. Имеется коробка с девятью новыми теннисными мячами. Для игры берут 3 мяча; после игры их кладут обратно. При выборе мячей, игранные от неигранных не отличают. Какова вероятность, что после трех игр, в коробке не останется неигранных мячей?

3. Студент явился на экзамен. Прием ведут два преподавателя. Вероятность того, что студент попадет к первому преподавателю, равна 0.4. Первый преподаватель задает два дополнительных вопроса, вероятность успешного ответа на каждый из которых для студента равна 0.7. Второй преподаватель задает 3 дополнительных вопроса, вероятность успешного ответа на каждый из которых, для студента равна 0.8. Студент ответил на все дополнительные вопросы. Какому преподавателю он вероятнее всего сдавал экзамен?

5. В каждом из двух окон некоторого игрового автомата с равной вероятностью выпадает одна из цифр: 1,2,3,4. Какова вероятность того, что сумма цифр в этих двух окнах будет не менее трех? Для ДСВ – сумма цифр в этих двух окнах, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

6. Плотность НСВ X на промежутке 0;x0 выражается формулой p(x) sin(x), а вне этого промежутка равна нулю.

Найти x0 , функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти P(0<X<π/4).

Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

3

7. . В условиях задачи 6 найти p(y) случайной величины Y X 12 .

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X 2ln2 0 Y 2ln2 .

10. Три парашютиста должны приземлиться в круг радиуса 20м. Какова вероятность того, что хотя бы один парашютист приземлиться в круг, если радиальное отклонение распределено по закону Релея с параметром b=8м?

27

ВАРИАНТ №19.

1. В урне 14 шаров, 6 из них синие. Какова вероятность того, что два наугад выбранных шара окажутся синими?

2. Игрок играет по одной игре с каждым из трех партнеров. Вероятности выиграть равны 0.3 0.5 и 0.9 соответственно. Какова вероятность того, что игрок выиграет ровно два раза?

3. Имеется красная урна, в которой 5 черных и 5 белых шаров и 2 синих урны, в каждой из которых по 6 черных и по 4 белых шаров. Из наугад выбранной урны вынуты 2 шара, и оба оказались белыми. Какой цвет вероятнее всего был у урны, из которой вынимали шары?

5. Рабочий разгружает фургон с арбузами. Арбуз при разгрузке может разбиться с вероятностью 0.001. В вагоне 2000 арбузов. Какова вероятность того, что будет разбито не более двух арбузов? Для ДСВ – количества разбитых арбузов, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения. При построении графика ограничиться областью 0<=X<=7.

6. Плотность НСВ X на промежутке 1;x0 выражается формулой p(x) 73 x2 , а вне этого промежутка равна нулю. Найти x0 , функцию распределения, дисперсию и математическое ожидание случайной величины X. Найти

P 3 7.5 X 3 4 . Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

10. Вероятность того, что хотя бы один из трех парашютистов приземлится в круг радиуса 10м равна 0.999. Написать закон распределения радиального отклонения парашютиста от центра круга (закон Релея).

28

ВАРИАНТ №20.

1.В урне из 10 шаров 4 зеленых. Какова вероятность того, что два наугад выбранных шара будут разного цвета?

2.Студент пытается решить задачу и сравнивает полученный ответ с известным из задачника. При несовпадении ответов студент пытается решить задачу снова. Если после третьей попытки ответ не совпадает, то студент прекращает пытаться решить задачу. В каждой попытке вероятность получить правильный ответ для данного студента равна 0.4. Какова вероятность того, что студент добьется успеха?

3.Три студента (Иванов, Петров и Семенов) сдают экзамен по теории вероятностей. Вероятность того, что Иванов сдаст экзамен, равна 0.7, Петров - 0.6, Семенов - 0.5. Двое студентов сдали экзамен, а один не сдал. Что наиболее вероятно: “сдал Семенов экзамен или не сдал? “

5.Бросаются два игральных кубика. Каково распределение суммы выпавших чисел? Определить вероятность того, что сумма больше восьми. Для ДСВ – суммы выпавших чисел, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

6. ФР для НСВ X на промежутке [-1;1] выражается формулой: F(x) A B arcsin(x). При x<-1 F(x)=0, а при x>1

F(x)=1. Найти A, B, ПР, МО и D для этой НСВ X. Найти P(0<X<1/2). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X 1 0 Y 1 .

10. Известно, что X N 5, и P 5 X 8 0.3413. Найти P 1 X 5

29

ВАРИАНТ №21.

1. На стадионе тренируются 8 прыгунов в длину и 7 прыгунов в высоту. Какова вероятность того, что два наугад выбранных спортсмена окажутся прыгунами в длину?

2. Спортсмен на тренировке делает 3 попытки взять вес. Вероятности успеха равны 0.7 0.6 и 0.5 при этих попытках соответственно. Какова вероятность того, что в процессе тренировки вес будет взят ровно 1 раз?

3. В наличии имеется 4 дискеты фирмы «А», 6 дискет фирмы «Б» и 10 дискет фирмы «В». Вероятности безотказной, работы в течение полугода при перезаписи равны 0.9 0.8 и 0.6 для дискет этих фирм соответственно. Наудачу выбранная дискета одной фирмы проработала безотказно более полугода. Какой фирмы наиболее вероятно была эта дискета?

5. Аппаратура состоит из 10000 микросхем. Вероятность отказа одной микросхемы в течении гарантийного срока равна 0.0003 и не зависит от отказов других микросхем. Какова вероятность отказа не менее трех микросхем в течении гарантийного срока? Для ДСВ – количества отказов микросхем, построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения. При построении ряда распределения и графиков ограничиться областью 0<=X<=5.

10. Известно, что X N 0, , P(0<X<1,5)=0,3. Найти , P(-1<X<1).

30