задачи по вариантам

ВАРИАНТ №2.

1.В партии из 10 ламп 4 бракованные. Какова вероятность того, что из 2-х наугад выбранных ламп окажутся: 1 исправная и 1 бракованная?

2.Спортсмен делает не более 3-х попыток взять высоту. Вероятность успеха при каждой попытке равна 0.4. Какова вероятность того, что высота будет взята, если последующая попытка осуществляется только при неуспехе предыдущей? Какова вероятность того, что высота будет взята со второй попытки?

3.В отделе 5 «отличных», 7 «хороших», 4 «удовлетворительных» и 4 «слабых» сотрудников. Вероятности того, что сотрудники выполнят некое поручение, для каждой категории соответственно равны 0.9 0.7 0.6 и 0.5. Наудачу вызванный сотрудник из трех однотипных поручений выполнил все три поручения. Какова вероятность того, что этот сотрудник «отличный»?

5.Известно, что в районе находится подводная лодка. Вероятность обнаружения лодки за один вылет вертолетаразведчика р=0.3. Производятся последовательные вылеты до обнаружения лодки. Для ДСВ – числа сделанных вылетов построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность обнаружения за не более чем три вылета. Показать эту вероятность на графике функции распределения.

P 1 X 1 1 Y 1 . Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y).

10. Погрешность измерения некоторой величины прибором имеет систематическую ошибку две условных единицы. СКО прибора равно одной условной единице. Ошибка имеет нормальный закон распределения. Если истинное значение измеряемой величины равно 100, то какова вероятность того, что показания прибора будут лежать в пределах от 99 до 101 условных единиц?

11

ВАРИАНТ №3.

1.Из урны, содержащей 4 белых, 5 черных, 6 красных шаров извлекают 3 шара. Какова вероятность того, что 3 шара будут одного цвета?

2.Произведено по два выстрела по цели из каждого из трех орудий. Вероятность попадания из первого орудия равна 0.4,

из второго - 0.6, из 3-го - 0.25. Найти вероятность того, что произошло хотя бы одно попадание в цель.

3. В группе 10 лыжников, 6 велосипедистов, 4 бегуна. Вероятности выполнения квалификационной нормы для каждой категории спортсменов равны соответственно 0.7, 0.8 и 0.9. Наудачу выбранный спортсмен выполнил норму. К какому виду спорта наиболее вероятно относится этот спортсмен?

5.Студент пытается сдать труднодоступный ему экзамен по теории вероятностей. Преподаватель разрешает сделать не более четырех «попыток» в течении полугода. Вероятность сдать экзамен равна 0.3 при каждой попытке. Для ДСВ – количества сделанных попыток построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность сдачи экзамена за не более чем две попытки. Показать эту вероятность на графике функции распределения.

6.Длина помещения измеряется рулеткой таким образом, что измеренная длина округляется до ближайшего числа,

или нет. Найти P(x) и P(y), F(x), F(y), p(x,y). Найти P 1 X 2 1 Y 2 .

10. СHСВ X,Y распределена по нормальному круговому закону с параметрами x= y=4 EX=EY=0. Производится два испытания с этой СHСВ. Найти вероятность того, что хотя бы один раз значения HСВ удовлетворят условию

X 2 Y 2 4.

12

ВАРИАНТ №4.

1.В партии из 100 изделий 5 бракованные. Какова вероятность того, что из 4-х наугад выбранных изделий два окажутся бракованными?

2.Слово "шалаш" составлено из букв, каждая из которых нанесена на отдельной карточке. Найти вероятность того, что буквы взятые в случайном порядке составят это слово.

3.Первый стрелок поражает мишень с вероятностью Р1=0.6, второй с вероятностью Р2=0.5, третий с вероятностью

Р3=0.4. Стрелки дали залп по мишени и 2 пули попали в цель. Что вероятнее, попал третий стрелок в мишень или нет?

5.Четыре спортсмена делают по одной попытке бросить мяч в корзину. Вероятность попадания для каждого спортсмена равна 0.9. Для ДСВ – числа удачных бросков построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность того, что мяч побывает в корзине по крайней мере три раза. Показать эту вероятность на графике функции распределения.

6.НСВ задана графиком ПР (равнобедренный треугольник). Написать выражения для ПР и ФР. Найти МО, СКО для этой НСВ. Определить вероятность P(4<X<5). Построить график ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

7.Найти плотность распределения cлучайной величины Y (X 2)2 если X есть нормальная случайная величина с

параметрами N(0,3).

9. ПР для СНСВ выражается формулой.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 1 X 2 1 Y 2 .

10. Мишень состоит из трех концентрических квадратов со сторонами 1, 2 и 3. Попадание в центральный квадрат оценивается в 10 очков, в средний – 6 очков, в крайний – 2 очка и вне квадратов - 0 очков. Вероятность отклонения от центра квадратов вдоль сторон описывается одним и тем же нормальным законом с параметрами N(0,1). Найти математическое ожидание числа очков, выбитых при одном выстреле.

13

ВАРИАНТ №5.

1.Из десяти билетов выигрышными являются два. Одновременно приобретаются любые 5 билетов. Определить вероятность того, что среди них один выигрышный.

2.За круглый стол случайным образом рассаживается 5 человек. Найти вероятность того, что два определенных лица окажутся соседями.

3.Минная позиция состоит из 3-х последовательно расположенных участков заграждения, протяжения которых вдоль

фронта следующие: L1=2,5 км, L2=4 км, L3= 3,5 км. Вероятности подрыва на этих участках соответственно равны P1=0.6, P2=0.5, P3=0.4. Корабль подорвался на мине. Какова вероятность того, что это произошло на втором участке?

5.На АТС аварийной службы вызовы поступают в среднем 0.2 вызова в минуту. Для ДСВ – количества вызовов в течении десяти минут построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность того, что количество вызовов будет не менее одного и не более чем три. Показать эту вероятность на графике функции распределения. Вызовы на АТС считать простейшим потоком событий Пуассона.

6.В условиях задачи 5 рассмотреть НСВ – время ожидания следующего вызова. Найти МО, СКО для этой НСВ. Определить вероятность P(0<X<5мин). Построить график ФР и ПР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

7. Найти плотность распределения суммы двух независимых нормальных случайных величины с параметрами N(2, 9)и

N(3, 7).

14

ВАРИАНТ №6.

1.В партии из 30 изделий 5 бракованные. Какова вероятность того, что из 7 наугад выбранных изделий одно окажется бракованным?

2.Радист трижды вызывает станцию. Вероятность того, что будет принят первый вызов равна 0.2, второй 0.3, третий 0.4. По условиям приема все успешные вызовы независимы. Найти вероятность того, что радист вообще свяжется со станцией хотя бы один раз.

3. На складе имеется 20 приборов «А», 6 приборов «Б» и 4 прибора «В». Вероятность успешно провести опыт с прибором «А» равна 0.5, с прибором «Б» - 0.8, с прибором «В» - 0.9. С наугад взятым прибором провели два испытания, и оба оказались успешными. Какова вероятность того, что испытания проводили с прибором «В»?

5.На контрольной работе по математическому анализу студент получил пять примеров для решения. Вероятность правильно решить любой пример для этого студента равна 0.8. Для ДСВ – количества правильно решенных примеров построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность того, что количество решений будет не менее одного и не более чем четыре. Показать эту вероятность на графике функции распределения.

6.НСВ задана графиком ПР. Написать выражения для ПР и ФР. Найти МО, СКО для этой НСВ. Определить вероятность P(5<X<7). Построить график ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X ln22 0 Y ln32 .

10. X,Y – независимые отклонения отверстий от центра мишени по соответствующим координатам, распределенные по одному и тому же нормальному закону с параметрами (в сантиметрах) N(0,2). Найти в данных условиях вероятность попадания в мишень, если ее радиус составляет 3 см?

15

ВАРИАНТ №7.

1.В шахматном турнире участвуют 20 человек и по жребию разбиты на 2 группы по 10 человек. Найти вероятность того, что двое наиболее сильных игроков будут играть в разных группах.

2.Спортсмен кидает мяч в корзину. Если он не попал с первого раза, то бросает второй раз. Всего не более трех бросков. Вероятность попадания равна Р в каждом броске. Какова вероятность того, что мяч побывает в корзине?

3.В группе 2 отличника, 4 учатся на «хорошо» , 6 посредственных и 8 слабых. Вероятности выполнить упражнение без ошибок составляют для каждой категории соответственно 0.9, 0.8, 0.5 и 0.3. Наудачу вызванный студент из двух упражнений одно выполнил без ошибок, а одно не выполнил. Какова вероятность того, что этот студент не отличник?

5.На автостраде средняя плотность потока автомобилей в одном направлении равна 20 машин на километр. Для ДСВ – количества автомобилей на участке 100 метров построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность того, что на этом участке наблюдается не менее одной и не более трех машин. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

6.НСВ задана графиком ПР. Написать выражения для ПР и ФР. Найти МО, СКО для этой НСВ. Определить вероятность P(0<X<5). Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность.

нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), p(x,y). Найти P 1 X 2 1 Y 2 .

10. Случайная величина распределена по нормальному закону N(0, ). Вероятность попадания случайной величины в интервал (-1,5; 1,5) равна 0,9. Найти .

16

ВАРИАНТ №8.

1.В партии из 20 изделий 4 бракованных. Какова вероятность того, что две наудачу взятых детали будут отвечать стандарту?

2.Набирая семизначный номер телефона, абонент забыл три последние цифры и, помня лишь, что эти цифры различны, набрал их наудачу. Какова вероятность того, что набраны нужные цифры?

3.Имеется три красных ящика, в каждом из которыз 4 белых и 4 черных шарика, а также имеется два синих ящика, в каждом из которыз 5 белых и 3 черных шарика. Некто наугад выбрал один из имеющихся ящиков, вынул из него наугад три шарика. Оказалось, что вынуты два белыз и один черный шарик. Какая вероятность, что шарики вынимались из красного ящика?

5.Спортсмен поражает мишень с вероятностью 0.9 при каждом выстреле. На огневой позиции спортсмен израсходовал 4 патрона. Для ДСВ – количества удачных выстрелов построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Определить вероятность того, что это количество будет не менее одного и не более трех. Показать найденную вероятность на графике функции распределения.

10. Известно, что X N 1,1 . Найти границы ( , ) равномерного распределения, у которого математическое ожидание и вероятность попадания в интервал (0, 2) равны соответствующим величинам нормального распределения.

17

ВАРИАНТ №9.

1.В партии 14 деталей. 6 из них бракованные. Какова вероятность того, что 2-е наугад выбранные детали окажутся бракованными?

2.Игрок играет по одной игре с каждым из трех партнеров. Вероятности выиграть равны 0.4 0.6 и 0.8 соответственно. Какова вероятность того, что игрок выиграет ровно 1 раз?

3.Рассматривается посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, наблюдая за аэродромом визуально. В этом случае вероятность благополучной посадки равна 0.96. Если аэродром затянут низкой облачностью, летчик сажает самолет вслепую по приборам. Надежность (вероятность безотказной работы) приборов слепой посадки равна 0.9. Если приборы слепой посадки сработали нормально, то самолет садится благополучно с той же вероятностью, что и при визуальной посадке. Если же приборы слепой посадки не сработали, то летчик может благополучно посадить самолет только с вероятностью 0.2. Известно, что в 40% случаях аэродром затянут низкой облачностью. Найти вероятность отсутствия облачности в день посадки, если известно, что самолет благополучно совершил посадку.

5.Завод изготавливает изделия, каждое из которых с вероятностью P=0.001 независимо от других оказывается дефектным. Определить вероятность того, что в партии из 2000 изделий будет не менее одного и не более двух дефектных. Для ДСВ – количества обнаруженных дефектных изделий среди отобранных построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения. При построении ряда

распределения и графиков ограничиться значениями ДСВ 0 – 6.

10. Два игрока по очереди наносят по одному удару в створ ворот шириной 6 метров. Вероятности попадания игроков в створ ворот описываются нормальными законами с параметрами N(0,2) и N(2,1) относительно центра ворот. Вероятность отражения удара первого игрока вратарем равна 0.7, удара второго игрока равна 0.6. Какова вероятность взятия ворот?

18

ВАРИАНТ №10.

1.В урне 6 красных и 4 зеленых шара. Какова вероятность того, что два наугад выбранных шара будут разного цвета?

2.Вероятность того, что студент сдаст экзамен, равна 0.4 независимо от дня сдачи. Студент делает не более трех последовательных попыток сдать экзамен (следующая попытка предпринимается при неуспехе предыдущей). Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен?

3.Три студента (Иванов, Петров и Семенов) сдают экзамен по теории вероятностей. Вероятность того, что Иванов сдаст экзамен, равна 0.6, Петров - 0.5, Семенов - 0.4. Двое студентов сдали экзамен, а один не сдал. Что вероятнее сдал Семенов экзамен или не сдал?

5.При въезде в новое помещение в осветительную сеть было включено 5 электроламп. Каждая лампа в течение года перегорает с вероятностью 0.6. Определить вероятность того, что количество перегоревших за год ламп будет не менее двух и не более трех. Для ДСВ – количества перегоревших в течении года ламп построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения. При построении ряда распределения и графиков ограничиться значениями ДСВ 0 – 6.

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 1 X 2 1 Y 2 .

10. Случайная величина X (ошибка измерительного прибора) распределена по нормальному закону с дисперсией 16 мк2. Систематическая ошибка прибора отсутствует. Найти вероятность того, что в пяти независимых измерениях ошибка X хотя бы один раз окажется в интервале (20,25) мк.

19

ВАРИАНТ №11.

1.На стадионе тренируются 7 спринтеров и 5 стайеров. Какова вероятность того, что два наугад выбранных спортсмена окажутся стайерами?

2.Три студента сдают экзамен по теории вероятностей. Вероятности успеха равны 0.4 0.6 и 0.8 для этих студентов соответственно. Какова вероятность того, что экзамен сдаст только один студент?

3.В наличии имеется 3 процессора типа «А», 5 процессоров типа «Б» и 12 процессоров типа «В». Вероятности безотказной работы при каждом тесте для каждого типа процессоров равны 0.9 0.7 и 0.6 соответственно. Наудачу выбранный процессор выполнил 2 теста и не выполнил 1 тест. Какова вероятность того, что данный процессор – процессор типа «В»?

5.В пожарную часть поступает в среднем 6 вызовов за два часа. Найти вероятность того, что в течении 40 минут произойдет не менее одного и не более трех вызовов. Поток событий считать простейшим. Для ДСВ – числа вызовов за указанное время построить ряд распределения и график функции распределения, найти МО и D. Показать найденную вероятность на графике функции распределения. При построении ряда распределения и графиков ограничиться значениями ДСВ 0 – 4

6.В условиях задачи 5 найти вероятность того, что следующий вызов произойдет не более чем через 20 минут и не менее чем через час. Найти МО, СКО для этой НСВ – времени ожидания следующего вызова. Построить графики ПР и ФР и показать на каждом из графиков найденную вероятность

7. Найти плотность распределения случайной величины Y X 3 если X есть нормальная случайная величина с

Найти А, определить являются ли X и Y независимыми СВ или нет. Найти p(x) и p(y), F(x), F(y), F(x,y). Найти

P 0 X /4 0 Y /4 .

10. Два парашютиста должны приземлиться в круг радиуса 10м. Какова вероятность того, что хотя бы один парашютист приземлиться в круг, если отклонения по осям x,y, проведенным на поверхности приземления из центра круга распределены по нормальному закону N(0,8).

20