ЛР1_Комбинаторика
.pdf
Лабораторная работа № 1
по дисциплине «Математика и информатика»
ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ
Цель: получить представления о комбинаторных задачах, о соединениях: перестановки, размещения, сочетания, научиться решать комбинаторные задачи с применением формул для вычисления перестановок, размещений и сочетаний.
I.Понятие факториала
Факториалом натурального числа называется произведение последовательных натуральных чисел, первое из которых равно 1, последнее – самому числу.
Обозначается тn!=1*2*3*…*nт, где n – натуральное число. Пример: 4!=1*2*3*4=24.
Принято, что т0!=1т Несложно заметить, что 9!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=6!*7*8*9
6!
Значит, n!=(n-1)!*n=(n-2)!*(n-1)*n.
Задание 1. Вычислить: а). 3!+0!-6!; б).
6!−5! |
|
16!*9! |
|
0! |
; |
в). 14!*10! |
; |
II.Понятие комбинаторики
Комбинаторикой называется раздел математики, изучающий вопрос о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных объектов.
III.Перестановки
Перестановками из n элементов называются комбинации, состоящие из n элементов и отличающиеся порядком расположения элементов.
Перестановки обозначаются Pn и их количество вычисляется по формуле:
тPn=n!т
Задание 2. Решить задачи:
1).Алхимик использует 7 ингредиентов для приготовления эликсира жизни. Сколько существует различных порядков вливания их в сосуд?
2).Сколько различных комбинаций можно получить путем перестановки букв, входящих в слово «WORD»?
3).10 различных книг расставляют на полке наудачу. Сколькими способами их можно разместить, чтобы три данные книги стояли рядом?
4).Сколько различных перестановок можно получить из букв слова «вальс», в которых буква «в» на первом месте, а буква «с» - в конце слова?
IV. Размещения
Размещениями из n элементов по m называются комбинации, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга либо элементами, либо порядком расположения элементов.
Размещения обозначаются Аnm и их количество вычисляется по формуле:
Anm = |
n! |
|
|
(n − m)! |
|||
|
|||
Задание 3. Решить задачи:
1).В соревновании участвуют 8 команд. Разыгрываются три медали: золотая, серебряная и бронзовая. Сколько существует различных вариантов распределения мест?
2).Сколько различных буквосочетаний, состоящих из двух различных букв, можно составить из букв слова «СЛОН»?
3).Сколько можно составить различных трехзначных чисел из цифр 0, 1, 2, 3, 4 при условии, что в каждом из этих чисел все цифры разные? Исключить случаи, когда первой цифрой является 0.
V.Сочетания
Сочетаниями из n элементов по m называются комбинации, состоящие из m элементов и отличающиеся друг от друга хотя бы одним элементом, но не порядком расположения элементов.
Сочетания обозначаются Сnm и их количество вычисляется по формуле:
Сnm = |
n! |
|
|
m!(n − m)! |
|||
|
|||
Задание 3. Решить задачи:
1).Сколькими способами можно заполнить карточки «Спортлото» (зачеркнуть 6 номеров из 49)?
2).В группе из 15 человек надо выделить 7 человек для дежурства. Сколькими способами это можно сделать?
3).В вазе стоят 7 красных и 4 розовых гвоздики. Сколькими способами можно выбрать 3 цветка из вазы, чтобы среди выбранных была одна розовая гвоздика?
VI. Задачи для самостоятельной работы:
1.Из 20 пилотов составляют экипаж, состоящий из штурмана, радиста и стрелка. Сколькими способами может быть укомплектован экипаж?
2.Сколькими способами могут разместиться 4 пассажира в четырехместной каюте?
3.Сколько различных буквосочетаний, состоящих из трех различных букв, можно составить из букв слова «СОЙКА», причем каждое буквосочетание должно оканчиваться буквой Й?
4.Сколько различных двузначных чисел можно составить из цифр 1, 2, 3, 4 (все цифры в числе разные)?
5.Из пункта А в пункт В можно попасть по одной из трех дорог. Сколькими способами можно добраться из А в В и обратно?
6.В кондитерской 10 сортов пирожных. Покупатель попросил 6 пирожных разного вида. Сколькими способами продавец может сделать такой набор?