2. Графики функций

Пример 13. Исследовать функцию y =

x2

−2x + 2

и построить график функции.

x −2

1.

Df = R \{2}. Точка x = 2 является точкой разрыва второго рода.

2.

Для точек пересечения графика с осью oy имеем x = 0 . Подставляя значение

x = 0 в

функцию, получаем y = −1, поэтому

A(0;−1)

- точка пересечения графика с осью oy . Для точек

пересечения графика с осью

ox

имеем

y = 0. Подставляя значение

y = 0,

получаем

x2 −2x + 2 = 0. Это уравнение не имеет корней, поэтому график не пересекает ось ox .

3.

y(−x) =

(−x)2 −2(−x) +

2

= −

x2

+ 2x + 2

. Внешний вид функций y(x)

и y(−x)

(−x) −

2

x + 2

отличается. При x =1 получаем y(1) = −1, при x = −1

получаем y(−1) = −5

, поэтому нашлось

3

4. а)

lim

x2 −

2x + 2

= +∞,

lim

x2

−2x + 2

= −∞.

x

−2

x −2

x→2+

x→2

−

Прямая x = 2 является вертикальной

асимптотой для графика функции.

y′

+

-

-

+

б) lim

x2

−2x

+ 2

=

∞, поэтому график не

2 −

2

2 +

x −2

x→∞

имеет горизонтальной асимптоты.

Рис. 16

x2 −2x + 2

в) k

= lim

=1,

(x

−2)x

x→∞

2

− 2x + 2

2

x

lim

= 0 . Уравнение наклонной асимптоты принимает вид

b = lim

x − 2

− x =

x→∞

x→∞ x − 2

функции y =

x2

−2x + 2

=

x(x −2) + 2

= x +

2

.

x −2

2

x −2

x −2

При x → ∞ функция

является бесконечно малой, поэтому данная функция

x − 2

эквивалентна функции y = x . График данной функции при x → ∞ приближается к асимптоте

y = x . При x → 2 поведение данной функции определяется слагаемым

2

, поэтому прямая

x −2

5. y′ =

x2 −4x + 2

. y′ = 0 x2 −4x + 2 = 0 (x −2)2 −2 = 0 x = 2 ±

2 .

(x −2)2

6. y′′ =

4

, причем

y′′ ≠ 0, поэтому на

y

(x −2)3