Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сургутский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПГС Математика 2 сем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

390.43 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

При AC − B 2 = 0 требуется дополнительное исследование. Для некоторых функций экстремум существует, а для некоторых не существует.

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области, надо:

1)найти стационарные точки и вычислить в них значения функции;

2)найти наибольшее и наименьшее значение функции на линиях, образующих границу области;

3)из всех найденных значений выбрать наибольшее и наименьшее значения.

4. Интегральное исчисление

(∫ f (x) dx)′ = f (x) , ∫ f ′(x) dx = f (x) +C

Дифференцирование и интегрирование – две взаимно обратные операции

∫(cf (x))dx = c∫ f (x)dx ,

∫(f + g)dx = ∫ fdx + ∫gdx , где c −const

- свойства неопределенного интеграла

Таблица интегралов:

∫0 dx = C ,

∫dx = x +C ,

∫xn dx =

xn+1

+C, n ≠ −1 , ∫

dx2

= − 1

+C ,

∫

= 2

n +1

∫ex dx = ex

+C ,

∫a x dx =

a x

+C ,

∫dx = ln

+C ,

∫cos x dx =sin x + C ,

ln a

∫sin x dx = −cos x + C ,

∫tg x dx = −ln

cos x

+C ,

∫ctg x dx = ln

sin x

+C ,

∫

= tgx + C ,

∫

= −ctgx + C ,

cos

sin

∫

= arcsin

+C, a > 0 ,

∫

= −arccos

+C, a > 0 ,

− x

∫

arctg

+ C, a

≠ 0 ,

∫

= −

arc сtg

+ C, а ≠ 0 ,

+ x

x −a

+C, a ≠ 0 ,

+C ,

= ln

x +

∫

x2 + a

−a

x +a

x2 + a

∫sh x dx = ch x +C ,

∫ch x dx = sh x +C ,

∫th xdx = ln

ch x

+ C

∫cth x dx = ln

sh x

+C ,

∫

= th x + C ,

∫

= −cth x + C .

∫

dx =

+ a2 arcsin

, ∫

2n −3

∫

a2 − x2

− x2

2 2

)

2(n −1)a

)

n−1

2n − 2

)

n−1

+ a

∫u dv = uv −∫v du

- интегрирование по частям

Если x =ϕ(t) , то

∫ f (x)dx

= ∫ f (ϕ(t))ϕ (t) dt

- интегрирование заменой переменной

∫ f

′

(ϕ(t))ϕ (t) dt = ∫ f (ϕ) dϕ - интегрирование методом подведения под знак

′

дифференциала.

∫b

f (x) dx

fср

- среднее значение функции

f (x) на отрезке [a;b] .

b −a

Интегрирование правильных рациональных дробей

P(x)

Q(x)

а) разложение знаменателя на множители

Q(x, y) =(x −a)m(x2 + p x +q)n ;

б) запись дроби в виде

P(x)

+... +

B1x + C1

Q(x)

(x − a)m

(x − a)m−1

x − a

(x2 + px + q)n

B2 x + C2

+... +

Bn x + Cn

(x2 + px + q)n−1

x2 + px + q

Интегрирование иррациональных выражений

а) Если корни в подынтегральном выражении имеют вид nxm , qx p , то оно преобразуется в рациональную дробь подстановкой x = t k , где k - НОК показателей корней n, q .

б) Если подынтегральное выражение содержит только корни n(ax +b)m , q(ax +b) p , то

оно преобразуется в рациональную дробь подстановкой ax +b = t k , где k - НОК показателей корней n, q .


в) Если подынтегральное выражение содержит только корни		ax +b m		ax +b p	, то
	n		, q
		cx + d		cx + d

оно преобразуется в рациональную дробь подстановкой ax +b = t k , где

k - НОК показателей

корней n, q .

cx + d

г) Пусть подынтегральное выражение является дифференциальным биномом, т.е. имеет

вид xm (a +bxn ) p dx , где m, n, p - рациональные числа.

г1) если p Z, то x = t s , s – НОК знаменателей дробей т и п,

г2)

если

m +1

Z , то подстановка a +bxn = t s ,

s - знаменатель дроби р,

г3)

если

m +1

+ p Z , то подстановка ax−n

+b = t s ,

s - знаменатель дроби р.

Интегрирование тригонометрических выражений:

Неопределенные интегралы вида

∫sin ax sin bx dx, ∫sin ax

cosbx dx, ∫cos ax

cosbx dx

с помощью тригонометрических формул

sinα sin β = cos(α − β) −cos(α + β) ; cosα cos β = cos(α − β) +cos(α + β) ;

sinα cos β = sin(α + β) +sin(α − β)

приводятся к интегралам

∫sin kx dx = −cos kx

+C, ∫cos kx dx = sin kx

+C .

Неопределенные интегралы вида Im,n = ∫sinm x cosn x dx , где m и

n - натуральные числа

находятся с помощью следующих замен:

1−cos 2x

,cos2 x = 1+ cos 2x

,sin x cos x = sin 2x ,

а) если m и n

- четные числа, то sin 2 x =

б)

если хотя бы одно из чисел m и n

- нечетное, то от нечетной степени отделяется

множитель и вводится под дифференциал. Например

Im,2k +1 = ∫sinm x cos2k +1 x dx = ∫sinm x cos2k x cos x dx =

= ∫sin m x (1−sin 2 x)k d(sin x) = (sin x = t)= ∫t m (1 −t 2 )k dt

- сводится к интегралу от многочлена.

Интеграл вида ∫R(sin x,cos x) dx , где R(sin x,cos x) - рациональная функция от sin x и cos x с

помощью

замены

приводится

интегралу

от

рациональной

функции:

,1−t

2dt

∫R

1+t

а) Вычисление площади фигуры

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции y = f (x)

( f (x) ≥ 0 ), слева и справа соответственно прямыми x = a

и x = b , снизу – отрезком [a;b]			оси ox (рис. 2)
вычисляется по формуле S = ∫b			f (x) dx .
		a
	Если y = f1 (x)	и y = f2 (x)		непрерывные функции
на [a;b] и выполняется условие				f2 (x) ≥ f1 (x) для любого
x [a;b] (рис. 3), то площадь фигуры, заключенной
между линиями вычисляется по формуле
у	y = f2 (x)			r = r (ϕ)
у				r = r (ϕ)
				β
	y = f1 (x)	х		α	ρ
О a		х		О
О a	Рис. 3	b		Рис. 4
	Рис. 3

формуле

S= 1 ∫β r2 (ϕ) dϕ .

2 α

y = f (x)

		х
О a	Рис. 2	b
	Рис. 2

S = ∫b ( f2 (x) − f1 (x))dx .

Площадь криволинейного сектора (рис. 4), ограниченного линией, заданной в полярных координатах уравнением

r = r(ϕ) и двумя лучами ϕ =α и ϕ = β , α < β , вычисляется по

б) Вычисление длины кривой

Если линия задана на плоскости уравнением y = f (x) или x =ϕ(y) , то длина l дуги линии между точками A(a; c), B(b, d) вычисляется по формуле

b				d
l = ∫	1+(y )		dx	или l = ∫	1+(x )		dy .
	′	2			′	2
a				c
Если линия задания параметрическими уравнениями
x = x(t), y = y(t) ,				то длина l дуги линии между
точками M1 (t1 ), M 2 (t2 )				вычисляется по формуле

l = ∫(x′)2 +(y′)2 dt .

Если линия задания уравнением r = r(ϕ) в полярных

координатах, то длина l дуги линии между точками M1 (ϕ1 ), M 2 (ϕ2 ) вычисляется по формуле

y = f (x)

Оa

ϕ2					dϕ .
l = ∫	r	2	′	2
l = ∫	r		+(r )
ϕ1
в) Вычисление объема

Объем тела вращения, полученного при повороте криволинейной трапеции (ограниченной графиком функции y = f (x) , прямыми x = a, x = b и осью ox ) вокруг оси

b х

ox (рис.

5), равен V =π∫b	f 2 (x) dx .
a

г) Площадь поверхности вращения, полученной при вращении криволинейной линии,

заданной уравнением y = f (x)

на отрезке [a;b] , вокруг оси ox , равна

P = 2π∫b

f (x)

dx .

1+ f ′2 (x)

y = f (x)

r = r(ϕ)

x = x(t), y = y(t)

S -площадь фигуры

∫ f (x)dx

∫r 2 (ϕ)dϕ

∫2

y(t)x′(t) dt

ϕ2

l - длина линии

∫

′

∫

+(r′)

dϕ

∫

(x′)

(y′)

1+( f )

ϕ1

2π

V -объем тела вращения

π∫ f 2 (x)dx

∫r

3 sin ϕdϕ

π ∫2 y 2 (t)x′(t) dt

P - площадь поверхности

2π

∫ f (x) 1+( f ′)2 (x)dx

2π∫r sinϕ r 2 +(rϕ′)2 dϕ

2πy∫y(t) (x′)2 +(y′)2 dt

вращения

Для четной функции f (x)

на отрезке [−a; a] выполняется равенство ∫a

f (x) dx = 2∫a

f (x) dx .

−a

Для нечетной функции f (x) на отрезке [−a; a] выполняется равенство

∫a

f (x) dx = 0 .

−a

Если функция

f (x)

имеет период T и на отрезке [0;T ]

существует первообразная для

f (x) , то

для любого a

справедливо равенство a∫+T

f (x) dx = T∫ f (x) dx .

V. Решение некоторых примеров

I. Методы вычисления пределов

1. Вычисление пределов на основе определения и свойств предела

Пример 1. Доказать, что

lim (3x +5) = 2 .

x→−1

Решение. а) Пусть ε

произвольное

положительное

число.

Составим

неравенство

(3x +5) −2

< ε

3x +3

< 3

x +1

ε .

x +1

< ε

число δ =

Рассмотрим

. Если выполняется неравенство

из

него

получаем

(3x +5) −2

< ε .

Таким

образом

доказано, что

любого положительного

числа

нашлось

положительное число δ = ε

, такое,

что если переменная

x удовлетворяет неравенству

x +1

< δ ,

(3x +5) −2

то функция

f (x) = 3x +5

удовлетворяет

неравенству

< ε ,

поэтому

lim (3x +5) = 2 .

x→−1

2x −7 ; б)

2x−5

lim sin 2x

1 .

Пример 2. Найти а) lim

lime

x−4

; в)

; г)lim xcos

x→5

x −3

x→3

x→∞

x→0

а) Существует lim(2x −7) = 3, существует
x→5			lim f (x)
	f (x)		lim f (x)
от нуля. Применяя равенство lim	f (x)	=	x→x0
от нуля. Применяя равенство lim	g(x)	=	lim g(x)
x→x0	g(x)		lim g(x)
			x→x0

lim(x −3) = 2 , причем этот предел отличен
x→5
, получаем lim	2x −7	=	3 .
x→5	x −3		2

		2x−5			y = eu ,			2x −5
б)	Функцию y = e	x−4	представим в виде сложной функции			где	u =	2x −5	.
б)	Функцию y = e	x−4	представим в виде сложной функции			где	u =		.
								x −4
Функция	y = eu непрерывна на всей числовой оси,			функция u = 2x −5 непрерывна в точке
				x −4
x = 3. Будем использовать равенство lim f [ϕ(x)] = f [ lim ϕ(x)],					которое	для	непрерывной
			x→x0	x→x0

функции y = f (u) означает, что под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу:

	2x−5	lim	2x−5	1 .
lime x−4		lim	x−4 = e−1 =
lime x−4		= ex→3	x−4 = e−1 =
x→3				e

в) При x → ∞ числитель дроби является ограниченной функцией sin 2x ≤1, а знаменатель является бесконечно большой функцией, поэтому их отношение является бесконечно малой функцией

при x → ∞, следовательно lim sin 2x		= 0 .
x→∞	x								1
г) Произведение бесконечно малой величины x при x → 0 на ограниченную величину cos									1
						1 = 0 .			x
является бесконечно малой величиной, поэтому lim xcos						1 = 0 .
				x→0		x
2. Выделение выражений, стремящихся к нулю, в качестве множителей
Пример 3. Найти а) lim	x3 −8		; б)	lim	2x3 +9x2 +14x +8		.
Пример 3. Найти а) lim			; б)	lim			.
x→2 x2 −5x +6				x→−2		x + 2
а) Предел вычисляется при x → 2, но x ≠ 2 .						При x → 2 числитель стремится к 0			и
знаменатель также стремится к нулю. Получаем неопределенность вида								0
								. Пытаемся выделить в
								0

числителе и в знаменателе множитель (x −2), чтобы потом упростить дробь.
lim	x3	−8	= lim	(x −2)(x2 + 2x + 4)	= lim	(x2	+ 2x + 4)	=	12	= −12 .
		5x +6		(x −2)(x −3)			(x −3)		−1
x→2 x2 −			x→2		x→2

б) Первый способ. Чтобы выделить в числителе

множитель x + 2, разделим числитель на этот одночлен “столбиком”.

lim	2x3	+ 9x2 +14x + 8		=
			x + 2
x→−2				.
= lim (2x2			+ 5x + 4) = 2
x→−2

- 2x3 +9x2 +14x +8 x + 2
2x3 + 4x2					2x2	+5x + 4
-	5x	2	+	14x	2x2	+5x + 4
-	5x		+	14x
	5x2 +10x
			-	4x +8
				4x +8

Второй способ. Представим числитель дроби в	0
виде произведения одночлена x + 2 на многочлен

второй степени ax2 +bx +c , т.е.

2x3 +9x2 +14x +8 = (x + 2)(ax2 +bx +c) ,

2x3 +9x2 +14x +8 = ax3 +(2a +b)x2 +(c + 2b)x + 2c . Два многочлена равны при

любом значении переменной x , тогда и только тогда, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях:

Сравнивая коэффициенты при x3 , получим 2 = a или a = 2 .

Сравнивая коэффициенты при x2 , получим 9 = 2a +b или b = 5. Сравнивая коэффициенты при x , получим 14 = c + 2b или c = 4.

Сравнивая коэффициенты при x0 , т.е. сравнивая константы, получим 8 = 2c или c = 4. Следовательно 2x3 +9x2 +14x +8 = (x + 2)(2x2 +5x + 4) . Далее вычисление предела

проводится аналогично первому способу.

Запомните этот метод разложения многочлена на множители как метод неопределенных коэффициентов.

Третий способ. Введем обозначение x + 2 = t , тогда x = t −2.

2x3 +9x2 +14x +8 = 2(t −2)3 +9(t −2)2 +14(t −2) +8 = 2t3 −3t2 + 2t = t(2t2 −3t + 2)

lim

2x3 +9x2 +14x +8

= lim

t (2t2 −3t + 2)

= lim(2t2 −3t

+ 2) = 2 .

x + 2

x→−2

t→

t→0

−

−1

7 − x

Пример 4. а) lim

; б) lim

x2 −9

x→3

x→1

x −1

Решение. а) Для упрощения в числителе неопределенности вида (∞ −∞) умножим числитель

и знаменатель на сопряженное число

−

= lim

(

−

)(

lim

x +1

7 − x

x +1

− x

x +1

7 − x

x→3

x2 − 9

x→3

(x2 − 9)(

x +1 + 7 − x )

= lim

2(x − 3)

= lim

x→3 (x − 3)(x + 3)(

x +1 + 7 − x )

→3

(x +3)( x +1 + 7

− x )

б) Первый способ. Используя формулы сокращенного умножения, умножим числитель и

знаменатель дроби на такие выражения,

чтобы выделить выражение (x −1) ,

стремящееся к нулю и

затем сократить на него

2 +3

−1

−1)(3

+1)(

+1)

(x −1) (

+1)

= lim

lim

= lim

x −1

x→1

x→1 (

−1)(

+1) (3

+1)

→1 (x −1) (3

+1)

(

+1)

= lim

2 +3

x→1 (3

+1)

Второй способ. Рассмотрим замену 6

= t , тогда 3

= t2 ,

= t3 . При x →1 получаем

t →1. После замены переменной получаем

−1

t2 −1

(t −1)(t +1)

t +1

lim

= lim

3 −1

(t −1)(t2

+t +1)

2 +t

x→1

x −1

t→1 t

t→1

x→1 t

Замечание.

Для

показателей

корней

n, m

выбираем

наибольшее общее

кратное

k= НОК(n, m) и обозначаем kx = t .

3.Использование бесконечно малых величин

−1

arctg 2x

x +1

Пример 5. Найти а) lim

; б)

lim

sin 3x

→0

x +1

−1

x→0

Решение. а) При x → 0 получаем 3

+ 1 x ,

~1+ 1 x , поэтому

1+ x

−

lim

x +1

x +1 −

x→0

б) При x → 0 имеем 2x → 0 , 3x → 0 , поэтому arctg 2x ~ 2x , sin3x ~ 3x

lim arctg 2x

= lim

2x = 2

.

x→0

sin3x

x→0

4. Использование формулы Тейлора для вычисления пределов

Пример 6. Найти lim

sin x − x

x→0

Используя разложение функции y = sin x в ряд Тейлора, получим

sin x − x

x −

− R

(x) − x

−

− R (x)

lim

= lim

= −

.

x→0

→0

5. Использование поведения величин при стремлении аргумента к бесконечности

Пример 7. а) lim

2x2 + x −3

; б) lim

2x+1 +5x+1

; в)

lim

2x+1 +5x+1

; г) lim xsin

+5x

x→∞ 5x4 −2x +1

x→+∞

x→−∞

x→∞

а) Имеем неопределенность

∞

x → ∞ поведение числителя

и знаменателя

∞

. При

определяется членами с наибольшими показателями степеней (соответственно 2x2 и 5x4 ). Разделим

числитель и

знаменатель

на

x4 ,

т.е.

на

наибольшим показателем степени числителя и

знаменателя.

2x2 + x −3

∞

−

+ 0

lim

= lim

− 0

= 0.

x→∞ 5x4 − 2x +1

∞

x→∞

−

∞

б) При

x → +∞

имеем неопределенность вида

. Поведение числителя и знаменателя

∞

определяется вторыми слагаемыми, которые возрастают быстрее первых слагаемых. Разделив числитель и знаменатель на 5x , получим

2x+1 +5x+1

∞

0 +5

2 x

lim

= 5

, т.к.

и lim

= 0 .

2x +5x

0 +1

x→+∞

∞

x→+∞

в) При x → −∞
в) При x → −∞	имеем неопределенность вида	. Поведение числителя и знаменателя

определяется первыми слагаемыми, которые убывают медленнее вторых слагаемых. Разделив числитель и знаменатель на 2x , получим

2x+1

+ 5x+1

2 + 5

2 + 0

lim

= 2, т.к.

>1 и

lim

= 0.

+ 5x

1 + 0

x→−∞

1 +

x→−∞

г)

sin x

обозначим

= t.

sin t

lim xsin

= (∞ 0) = lim

= lim

=1.

x→∞

Если x → ∞, тоt

t→0

→ 0

6. Использование замечательных пределов

sin5x

3x − 2

Пример 8. Найти а) lim

; б)

lim

3x + 4

x→0

x→∞

а)

Если

x → 0,

то

5x → 0 .

Выделим

знаменателе

дроби

выражение

5x ,

чтобы

использовать затем первый замечательный предел

lim

sin5x

= lim

sin5x

=1 lim

∞.

x→0

x→0 x

б) Используем второй замечательный предел

3x −

2 x

∞

(3x

+4) −6 x

3x +4

lim

3x +

)= lim

3x +4

= lim

3x +4

−

x→∞

→∞

x→∞

3x +4

3x+4

−

lim

−6x

3x+4

−2

= lim

−

= lim 1

−

= ex→∞

3x+4

= e

.

3x + 4

x→∞

7. Использование правила Лопиталя

Пример 9. а) lim

shx

, б)

lim

, в)

lim

xln x .

→0

x→+∞

x→0+0

shx

′

chx

Решение а) lim

= lim

(shx)

= lim

′

x→0

б)

lim

∞

lim

(x2 )′

lim

∞

lim

(x)′

lim

= 0.

(3x )′

∞

ln3

x→+∞ 3x

∞

x→+∞

ln3 x→+∞ 3x

x→+∞ (3x )′

ln2 3 x→+∞ 3x

ln x

в)

lim

xln x =(0 ∞)=

lim

lim (−x) = 0 .

x→0+0

x→0+0 −

x→0+0

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.05.2015308.74 Кб16ОФВ Окончание лекции по теме №2.doc
#
31.07.20192.36 Mб6Паперно. Самоубийство как культурный институт..rtf
#
15.08.2019113.66 Кб7папка студ. практиканта ЛД 3 курс.doc
#
13.05.201540.03 Кб12парламентское расследованиеd.docx
#
13.05.201551.21 Кб42пато 14,15,16 ,25,36,,42,.docx
#
13.05.2015390.43 Кб27ПГС Математика 2 сем.pdf
#
13.05.20152.77 Mб894ПГС Химия.doc
#
20.08.201979.36 Кб10Переваривание и всасывание.Липиды крови.doc
#
13.05.201530.25 Кб133Перевозки (МЧП).docx
#
14.11.2019186.88 Кб8ПЕРЕЧЕНЬ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ПРЕПАРАТОВ_2007.doc
#
13.05.2015299.01 Кб18Питание орг. групп населения.doc