Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Сургутский Государственный Университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ПГС Математика 2 сем.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

13.05.2015

Размер:

390.43 Кб

Скачать

☆

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Математика 2й семестр Специальность – Промышленное и гражданское строительство

Номер варианта должен совпадать с последней цифрой номера зачетной книжки. Например, по номеру 0 зачетной книжки следует решать задачи № 10, 20, 30, 40, 50. В тетрадь переписывается условие задачи и уравнение из своего задания. Затем следует решение данной задачи.

I. Контрольная работа № 1

№№ 10-19. Найти предел функции:

−

−cos x

x + 2

− x

1+ x

10. а) lim

б) lim

в) lim

xsin x

x −1

x→0

x→∞

		−2		arcsin 2x		2x −1	3x
	2 + x
11. а)lim			б) lim		в) lim
	x −2			3x		2x +3
x→2			x→0		x→∞

−1

1− x2

2x +1 3x

1+ x

12.

а) lim

б) lim

в) lim

x→0

x→1 sinπx

x→∞

13.

а) lim

б) lim

в) lim(2x +1)x

x→0

1−

1+ 2x

x→0 arctgx

x→0

−3

1 2x

x2 −7

sin x −cos x

3x +

14.

а)lim

в)

lim

г)

lim

x2 −16

1−tgx

x→4

x→π

x→∞

−

x2ctg

−1

1+ 2x

1− x

15.

а) lim

в) lim

г)

lim

x2 + x

sin 2x

x→0

x→∞ x

x+1

1+ x3 −1

1−cos 4x

x +1

а) lim

в) lim

г) lim

16.

1−cos8x

2x −1

x→0

x→∞

1+ x −

в) lim arctg2x

17.

а) lim

г) lim x e x

−1

x −1

x→1

x→0

sin x

x→∞

4n −1

sin x −

ln(1 + x)

18.

а) lim

в) lim

г) lim

ex −1

n→∞ 22n

x→π3

cos x −

x→0

19.

а) lim(

9x2 +1 −3x)

г) lim(2 − x)1−x

в) lim 1−sin x

x→2 cos

x→∞

x→1

№№ 20-29. Провести полное исследование и построить графики функций:

2x2

20.

y =

−1

21.

1− x

22.

y =

23.

y =

x2 −1

24.

y =

1−

1+ x

1− x2

−2

y =

1−2x

2x2

−1

y =

4x3

y =

x2 −1

y =

−5

25.

26.

27.

28.

29.

−1

x +1

2x + 2

x −3

№№ 30-39. Найти производную функции z = f (x, y) в точке M по направлению к точке N :

30.

z = x3 −3x2 y +3xy 2 − y3 ,

M (1,1), N(2,2) .

31.

z = 6x2 +12xy + y 2 ,

M (0,1), N(0,2) .

32.

z = arctg (xy),

M (1,0), N(0,1) .

33.

z = arctg

M (0,1), N(1,0) .

34.

z = ln (x2 + 2y 2 ),

M (1,1), N(0,0) .

35.

z = sin(x −2y),

M (0,0), N(2,1) .

36.

z = x3 +12x2 y + xy2 ,

M (1,1), N(0,0) .

37.

z = x ln (x2 + y 2 ),

M (1,0), N(0,2) .

38.

z = y ln (2x2 + y 2 ),

M (0,2), N(0,1) .

39.

z = (x − y) ln (x2 + y 2 ),

M (1,0), N(2,0) .

№№ 40-49. Найти неопределенный интеграл

40.

а)

∫xsin 2x dx ,

б)

∫

xdx

в)

∫sin3 x cos2 xdx .

x −1

41.

а)

∫x cos 2x dx ,

б)

∫

в)

∫sin3 x cos2 xdx .

x +1

42.

а)

∫xe−3x dx ,

б)

∫

в)

∫ cos3 xdx .

x +1

sin x

43.

а)

∫x arc ctgx dx ,

б)

∫

в)

∫

dx .

1−

1−cos x

44.

а)

∫ln(1+ x2 )dx ,

б)

∫

в)

∫

sin x

dx .

x +

1+cos x

45.

а)

∫ arcctg

dx , б)

∫

в)

∫

cos x

dx .

1−sin x

x +1

46.

а)

∫x ln x dx ,

б)

∫

в)

∫sin x (1−cos x) dx .

x −

47.

а)

∫ln2 x dx ,

б)

∫

в)

∫

sin2 x

dx .

−x

1 + e

cos

48.

а)

∫xsin x2 dx ,

б) ∫

xdx

в)

∫

cos2 x

dx .

1−

sin x

49.

а)

∫x cos x2 dx , б)

∫

xdx

в)

∫

sin

x cos

II.Экзаменационные вопросы по математике (2й семестр)

1.Числовая последовательность.

2.Предел функции.

3.Производная функции.

4.Асимптоты графика функции.

5.Выпуклость функции.

6.Исследование функции и построение графика функции.

7.Функция двух переменных.

8.Производная по направлению. Градиент функции.

9.Экстремум функции двух переменных.

10.Первообразная и неопределенный интеграл.

11.Метод замены в интеграле.

12.Интегрирование по частям.

13.Интегрирование рациональных выражений.

14.Интегрирование тригонометрических выражений.

15.Интегрирование иррациональных выражений.

16.Определенный интеграл.

III. Литература

1.Баврин И.И. Курс высшей математики. М.: Владос, 2004

2.Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Т.2, Дифференциальное и интегральное исчисление. М. Дрофа. 2004.

3.Дубовик О.А., Совертков П.И. Математический анализ – II (функции нескольких переменных, интегральное исчисление функции одной переменной): методическое пособие для заочного отделения. Сургут, Изд-во СурГУ, 2009.

4.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н. Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 1 курс. М.: Айрис-пресс, 2003.

5.Лунгу К.Н., Письменный Д.Т., Федин С.Н. Шевченко Ю.А. Сборник задач по высшей математике. 2 курс. М.: Айрис-пресс, 2003.

6.Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов. Т.1. М.: Наука,

1985.

7.Шипачев В.С. Высшая математика М.: Высшая школа.1996.

VI. Справочные материалы

1. Элементарная математика

		0				π			π						π							π 2π														3π				5π			π 3π				2π
sin x						6			4						3						2					3									4					6					2
		0				1															1																			1			0		-1		0
		0				1						2						3			1								3								2			1			0		-1		0
						2																																		2
cos x		1				2				2						2					0						2									2				2			-1		0		1
															1														1
								3				2			1											−			1						−				2	−		3
															2														2
						2																																2
tgx						2				2																												2			2
		0				1			1													∞													-1						1		0		∞		0
		0				1			1								3					∞				-				3					-1					−	1		0		∞		0

ctgx			∞					3	1							1					0										1				-1							3	∞		0		∞
ctgx			∞					3	1							1					0					−					1				-1					-	3		∞		0		∞

																		3															3
1														1					; sin				2		α +cos									2	α =1; 1						2				1
secα =					; cosecα =																																			+tg α =							;
secα =	cosα				; cosecα =								sinα																											+tg α =				cos2		α	;
sin(α ± β) = sinα cos β ±cosα sin β ; cos(α ± β) = cosα cos β sinα sin β ;
tg(α ± β) =				tgα ±tgβ							; tg2α									=			2tgα									;
			1 tgα tgβ																		1−tg 2α
sin 2α = 2sinα cosα ; cos 2α = cos2 α −sin 2 α ;
2cos2 α =		1+cosα							; tg α					=					sinα							=		1−cosα										;
2cos2 α =		1+cosα							; tg α					=		1+cos							α			=												;
2									2							1+cos							α									sinα
	2tg			α										1−tg 2 α
sinα =				2			; cosα =														2			;
sinα =				2 α			; cosα =							1+tg 2 α										;
1+tg				2 α										1+tg 2 α
				2																	2

sinα sin β = cos(α − β) −cos(α + β)			; cosα cos β = cos(α − β) +cos(α + β)	;
	2		2
sinα cos β = sin(α + β) +sin(α − β)		;
	2
sin x = a	x = (−1)k arcsin a + kπ ,		k Z ;
cos x = a	x = ±arccosa + 2kπ , k Z ;
tgx = a	x = arctga + kπ , k Z .

2. Пределы и производная

lim sin x =1 - первый замечательный предел.

x→0 x

		1		x			1
		1					1
lim	1+		= e		- второй замечательный предел,	lim(1	+ y)		= e	.
lim	1+	x	= e		- второй замечательный предел,	lim(1	+ y)	y	= e	.
x→∞		x				y→0

x sin x ,

x ~ tgx ,

cox 1

−

(1+ x) ,

(1+ xln a),

ln(1+ x) x , n

1+ x

эквивалентные величины при x →0 .

lim

′

Для неопределенностей типа

∞

f (x)

(x)

используют правило Лопиталя

lim

x→x0

′

x→x0

g(x)

∞

lim g (x)

x→x0

′

n−1

1 ′

′

(с)

= 0, (x)

=1, (x

)

= nx

= −

, (

x )

2 x

′

x ′

′

)

= e

, (a

)

= a

ln a ,

(ln x)

(loga x)

xln a

′

(sin x) = cos x ,

(cos x)

= −sin x ,

(tgx)

(ctgx) = −

cos2 x

sin2 x

(arcsin x)′ =

(arccos x)′ = −

1− x2

(arctgx)′ =

(arcctgx)′ = −

1+ x2

- таблица производных

′

− fg

′

( f

′

f g

= f

± g

g )

(сf (x)) = cf ′(x) , ( f ± g )

= f g +

- правила дифференцирования.

yt′

′

Для параметрического задания x = x(t) ,

y = y(t) →

xt′ .

угла

наклона

осью

Геометрический смысл

производной

(x)

тангенс

′

tgϕ = f (x) .

касательной в точке (x, f (x)) графика функции y = f (x) , т.е.

′

y − f (x0 ) = f ′(x0 ) (x − x0 )

- уравнение касательной к линии y = f (x) в точке (x0 , y0 ) .

y − f (x ) = −

(x − x ) - уравнение нормали к линии y = f (x)

в точке (x , y ) .

f ′(x0 )

Уравнение

наклонной

асимптоты

y = kx +b

для

графика

функции

y = f (x) ,

где

k = lim

f (x)

, b = lim( f (x) −kx) .

x→∞

смысл

производной

s (t) -

скорость

материальной точки,

если путь

Физический

′

определяется по закону s = s(t) ,

t - время.

= f

(x)dx .

Дифференциал функции

f (x)

равен df

′

f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x)∆x .

Для приближенных вычислений используют формулу

′

f (x) = f (0) +

f ′(0)

x +

f ′′(0)

f ′′′(0)

+... +

f (n) (0)

xn + R

(x) - формула Маклорена с

3 !

остаточным членом Rn+1 (x) .

3. Функция двух переменных

z′x = lim

f (x + ∆x, y) − f (x, y)

- частная производная функции z = f (x, y) в точке (x, y) по переменной x .

∆x→0

∆x

Другие обозначения этой производной: f x′, ддfx , ддxz , дхд f .

z′y	= lim	f (x, y + ∆y) − f (x, y)	- частная производная функции z = f (x, y) в точке (x, y) по переменной y .
		∆y
	∆y→0

Другие обозначения этой производной: f y′, ддfy , ддyz , ддy f .

z − z0 = f x′(x0 , y0 )(x − x0 ) + f y′(x0 , y0 )(y − y0 )

уравнение

касательной

плоскости

поверхности,

заданной уравнением z = f (x, y) в точке N(x0 , y0 , z0 )

поверхности, где z0 = f (x0 , y0 ) .

x − x0

y − y0

z − z0

- уравнение нормали к поверхности, заданной уравнением

z = f (x, y)

f x′(x0 , y0 )

f y′(x0 , y0 )

−1

точке N(x0 , y0 , z0 ) поверхности, где z0 = f (x0 , y0 ) .

Fx′(x0 , y0 , z0 )(x − x0 ) + Fy′(x0 , y0 , z0 )(y − y0 ) + Fz′(x0 , y0 , z0 )(z − z0 ) = 0 - уравнение касательной

плоскости

поверхности, заданной общим уравнением F(x, y, z) = 0

в точке

N(x0 , y0 , z0 )

поверхности,

т.е.

для которой

F(x0 , y0 , z0 ) = 0 .

x − x0	=	y − y0	=	z − z0	уравнение нормали .	y
Fx′(x0 , y0 , z0 )		Fy′(x0 , y0 , z0 )		Fz′(x0 , y0 , z0 )			M1

Производная функции z = f (M ) в точке M (x, y)

в направлении вектора l :

дz

= lim

∆z

lim

f (M1 ) − f (M )

, где

∆l = ±

MM1

т.е. длина отрезка MM1 ,

дl

∆l

∆l→0

M1 →M

взятая со знаком (+), если MM1 ↑↑ l и со знаком (-), если MM1 ↑↓ l (рис 1).

Если l(cosα; cos β) , то

β	l
	α
	x
Рис. 1

дz

cosα +

дz

cos β

–

формула

для

вычисления

производной

дl

дx

дy

направлении вектора l .

grad

z =

(z′x ; z′y )- градиент функции z = f (M )

в точке M (x, y) .

Градиент

функции z = f (M )

точке

M (x, y)

характеризует направление и величину максимальной

скорости возрастания этой функции в данной точке.

Для функции u = f (x, y, z)

дu

дu cosα +

дu cos β + дu cos γ ,

где

α, β,γ

- углы,

образованные

вектором

соответственно с

дl

дx

дy

дz

координатными осями Ox, Oy,

Oz .

grad u =

(u′x ;u′y ;u′z

)

′′

д2 z

дz

′′

д2 z

дz

zxx

дx

дх

zxy =

дyдx

дy

дx

′′

д z

дz

′′

д z

дz

- производные второго порядка от функции z = z(x, y) .

z yx

дxдy

дx

дy

z yy

дy

Если производные

′′

(x, y) существуют в некоторой окрестности точки M (x, y) и непрерывны

zxy

(x, y) , z yx

в самой точке M , то в этой точке

′′

zxy

= z yx .

Функция

z = f (x, y)

имеет в точке

M 0 (x0 , y0 )

локальный максимум (минимум), если существует такая

окрестность точки M 0 , в которой для любой точки M (x, y) выполняется неравенство

f (x, y) ≤ f (x0 , y0 )

(f (x, y) ≥ f (x0 , y0 )).

Точки локального максимума и локального минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума. Если функция z = f (x, y)

имеет в точке M 0 (x0 , y0 )

экстремум и имеет

в точке M 0

частные производные первого порядка, то в этой точке

f x′(x0 , y0 ) = 0 и f y′(x0 , y0 ) = 0 .

Точка, в которой выполняется условие

f x′(x0 , y0 ) = 0 и

f y′(x0 , y0 ) = 0

называется точкой возможного

экстремума (стационарной точкой).

Достаточные

условия

экстремума. Пусть

M 0 (x0 , y0 )

- точка возможного экстремума функции

z = f (x, y) и в

некоторой

окрестности

этой

точки

существуют

непрерывные

частные

производные второго

порядка. Обозначим

′′

(x0 , y0 ) = B ,

′′

f xx (x0 , y0 ) = A ,

f xy

f yy (x0 , y0 ) = C .

Если AC − B 2

> 0 , то в точке

M 0

функция имеет экстремум,

причем при A < 0 - локальный максимум, при

A > 0 - локальный минимум. Если AC − B 2 < 0 , то в точке M 0 нет экстремума.

1 / 31 2 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
13.05.2015308.74 Кб16ОФВ Окончание лекции по теме №2.doc
#
31.07.20192.36 Mб5Паперно. Самоубийство как культурный институт..rtf
#
15.08.2019113.66 Кб7папка студ. практиканта ЛД 3 курс.doc
#
13.05.201540.03 Кб12парламентское расследованиеd.docx
#
13.05.201551.21 Кб42пато 14,15,16 ,25,36,,42,.docx
#
13.05.2015390.43 Кб26ПГС Математика 2 сем.pdf
#
13.05.20152.77 Mб892ПГС Химия.doc
#
20.08.201979.36 Кб10Переваривание и всасывание.Липиды крови.doc
#
13.05.201530.25 Кб129Перевозки (МЧП).docx
#
14.11.2019186.88 Кб8ПЕРЕЧЕНЬ ЛЕКАРСТВЕННЫХ ПРЕПАРАТОВ_2007.doc
#
13.05.2015299.01 Кб17Питание орг. групп населения.doc