Задание 1.

Имеются данные численности наличного населения города Г за 2003–2011 гг. (на начало года), тыс. чел.

2003	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010	2011
106,8	106	105,4	103	102,8	102,7	102,7	102,6	102,5

1. Постройте прогноз численности наличного населения города В на 2012-2013 гг., используя методы: скользящей средней, экспоненциального сглаживания, наименьших квадратов.

2. Постройте график фактического и расчетных показателей

3. Рассчитайте ошибки полученных прогнозов при использовании каждого метода.

4. Сравните полученные результаты, сделайте выводы

Решение:

Метод скользящей средней.

Определим величину интервала сглаживания, например равную 3 (n=3).

Годы	Численность населения города, тыс. чел. y1	Скользящая средняя M	Расчет средней относительной ошибки |y1-m|*100 Y1
2003	439,2	-	-
2004	437,4	436,77	0,14
2005	433,7	428,33	1,24
2006	413,9	419	1,23
2007	409,4	410,2	0,2
2008	407,3	406,73	0,14
2009	403,5	403,47	0,01
2010	399,6	399,63	0,01
2011	395,8	397,92	0,55
Итого	3739,8		3,25
Прогноз
2012	398,36
2013	398,77

Рассчитав скользящую среднюю для всех периодов, строим прогноз на 2012-2013 г.

Прогноз на 2012г

= 399,63+1/3*(395,8-399,6)=398,36

Прогноз на 2013г

=397,92+1/3*(398,36-395,8)=398,77

Рассчитываем среднюю относительную ошибку:

є =3,25* 1/8=0,41%

Границы доверительного интервала на 2012г.

Нижняя =398,36-0,41=397,95

Верхняя=398,36+041=398,77

Границы доверительного интервала на 2013г.

Нижняя=398,77-0,41=398,36

Верхняя=398,77+041=399,18

Вывод:

По расчетам прогноза видно, что численность населения практически не меняется и составляет в среднем 398,36тыс.челл на 2012г. и 398,77 тыс.чел. на 2013г. Так как средняя относительная ошибка равна 0,41%, то точность данного прогноза является высокой.

Метод наименьших квадратов.

Для решения используем следующую таблицу.

Годы	Численность населения города, тыс. чел. y1	Условное обозначение времени Х	y1*X	х2	У расч.	Расчет средней относительной ошибки
1	2	3	4	5	6	7
2003	439,2	1	439,2	1	438,53	0,15
2004	437,4	2	874,8	4	432,78	1,06
2005	433,7	3	1301,1	9	427,03	1,54
2006	413,9	4	1655,6	16	421,28	1,78
2007	409,4	5	2047	25	415,53	1,5
2008	407,3	6	2443,8	36	409,78	0,61
2009	403,5	7	2824,5	49	404,03	0,13
2010	399,6	8	3196,8	64	398,28	0,33
2011	395,8	9	3562,2	81	392,53	0,83
Итого	3739,8	45	18345	285	3739,77	7,93
Прогноз
2012	101,1	10			386,78
2013	100,5	11			381,03

У расч. определим по формуле y_t+1 = aX+b, а коэффициенты a и b по формулам:

a = 18354-(45*3739,8)/9 = -345/60= -5,75

285-45²/9

b = 3739,8/9-(-5,75)*45/9 =444,28

y ₂₀₀₃ =-5,75*1+444,28=438,53

y ₂₀₀₄ =-5,75*2+444,28=432,78

y ₂₀₀₅ =-5,75*3+444,28=427,03

y ₂₀₀₆ =-5,75*4+444,28=421,28

y ₂₀₀₇ =-5,75*5+444,28=415,53

y ₂₀₀₈ =-5,75*6+444,28=409,78

y ₂₀₀₉ =-5,75*7+444,28=404,03

y ₂₀₁₀ =-5,75*8+444,28=398,28

y ₂₀₁₁ =-5,75*9+444,28=392,53

Определяем прогнозное значение.

y₂₀₁₂=-5,75*10+444,28=386,78

y₂₀₁₃=-5,75*11+444,28=381,03

Рассчитываем среднюю относительную ошибку

є

є=7,93/9=0,88%

Вывод:

По рассчитанному прогнозу видно, что численность населения имеет тенденцию к снижению, также из расчета средней относительной ошибки можно определить, что точность прогноза является высокой, так как её значение ниже 10%.

Метод экспоненциального сглаживания.

Определяем значение параметра сглаживания:

α = 2/(n+1)=2/(9+1)=0,2

Определяем начальное значение U₀ двумя способами:

I способ (средняя арифметическая) U₀ =3739,8 : 9=415,53;

II способ (принимаем первое значение базы прогноза) U₀ =439,2.

Рассчитываем экспоненциально взвешенную среднюю для каждого года, используя формулу

y_t+1= α  y_t+(1- α) U_t.

I способ: U₂₀₀₄ =439,2*0,2+(1-0,2)*415,53=420,26

U₂₀₀₅ =437,4*0,2+(1-0,2)*420,26=423,69

U₂₀₀₆ =433,7*0,2+(1-0,2)*423,69=425,69

U₂₀₀₇ =413,9*0,2+(1-0,2)*425,69=423,33

U₂₀₀₈ =409,4*0,2+(1-0,2)*423,33=420,54

U₂₀₀₉ =407,3*0,2+(1-0,2)*420,54=417,89

U₂₀₁₀ =403,5*0,2+(1-0,2)*417,89=415,01

U₂₀₁₁ =399,6*0,2+(1-0,2)*415,01=411,93

II способ: U₂₀₀₄ =439,2*0,2+(1-,02)*439,2=439,2

U₂₀₀₅ =437,4*0,2+(1-0,2)*439,2=438,84

U₂₀₀₆ =433,7*0,2+(1-0,2)*438,84=437,81

U₂₀₀₇ =413,9*0,2+(1-0,2)*437,81=433,03

U₂₀₀₈ =409,4*0,2+(1-0,2)*433,03=428,3

U₂₀₀₉ =407,3*0,2+(1-0,2)*428,3=424,1

U₂₀₁₀ =403,5*0,2+(1-0,2)*424,1=419,98

U₂₀₁₁ =399,6*0,2+(1-0,2)*419,98=415,9

Рассчитываем прогнозное значение, используя формулу

y_t+1= α  y₂₀₁₁+(1- α) U_t.

I способ: U₂₀₁₂=395,8*0,2+0,8*411,93=408,7

U₂₀₁₃=395,8*0,2+0,8*408,7=406,12

II способ: U₂₀₁₂=395,8*0,2+0,8*415,9=411,88

U₂₀₁₃=395,8*0,2+0,8*411,88=408,66

Составим таблицу.

Годы	Численность населения города, тыс. чел. Y1	Экспоненциально взвешенная средняя Ut		Расчет средней относительной ошибки
		I Способ	II Способ	I Способ	II Способ
2003	439,2	415,53	439,2	5,39	0
2004	437,4	420,26	439,2	3,92	0,41
2005	433,7	423,69	438,84	2,31	1,19
2006	413,9	425,69	437,81	2,85	5,78
2007	409,4	423,33	433,03	3,4	5,77
2008	407,3	420,54	428,3	3,25	5,16
2009	403,5	417,89	424,1	3,57	0,05
2010	399,6	415,01	419,98	3,86	5,1
2011	395,8	411,93	415,9	3,99	5,08
Итого	3739,8	3773,87	3876,36	32,54	28,54
Прогноз
2012		408,7	411,88
2013		406,12	408,66

Средняя относительная ошибка

є

I способ: є =32,54:9=3,62%

II способ: є =28,54:9=3,17%

Вывод:

По рассчитанной средней относительной ошибке видно, что наиболее точность прогноза по методу экспоненциальной взвешенной наблюдается во втором способе расчета (є=3,17).

Общий вывод по заданию №1:

Наиболее точным является метод скользящей средней, здесь наблюдается наименьшее значение по расчету средней относительной ошибки, значение расчета = 0,41%.