Работа № 1 определение момента инерции маятника максвелла

Цель работы: определить экспериментально момент инерции маятника Максвелла и сравнить полученный результат с теоретическим.

Приборы и принадлежности: маятник Максвелла типа ГРМ-03, снабженный электромагнитом, двумя фотоэлектрическими датчиками и миллисекундомером.

Теория метода и описание установки

Маятник Максвелла представляет собой массивный диск, закрепленный на оси, к концам которой прикреплены две нити. Концы нитей подвешиваются к неподвижной опоре (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Маятник Максвелла

Если нити намотать на ось, а затем отпустить маятник, то под действием сил тяжести и упругости он будет ускоренно спускаться, одновременно совершая вращательное движение вокруг своей оси. В крайнем нижнем положении, когда нити полностью размотаны, диск продолжает по инерции вращаться в том же направлении, нити наматываются на ось и маятник замедленно поднимается в исходное положение.

Таким образом, сложное движение маятника включает поступательное перемещение его оси и вращения диска вокруг оси. Ускорение маятника а, следовательно, время движения от крайней верхней до крайней нижней точки его траектории зависит от массы и момента инерции маятника. Момент инерции характеризует инертные свойства тела во вращательном движении. Это позволяет экспериментально определить момент инерции маятника Максвелла известной массы, измерив время его движения с заданной высоты.

Определим ускорение маятника, используя законы кинематики и динамики поступательного и вращательного движения и связь между кинематическими характеристиками этих движений.

Рассмотрим силы, действующие на маятник. На рис. 1.2 изображено боковое сечение маятника Максвелла. Диаметр оси, на которую насажен диск – D. На маятник массы m действуют сила тяжести mg, приложенная к центру тяжести О, и сила натяжения нити Т, приложенная к оси в точке А и направленная вдоль нити.

Рис. 1.2. Силы, действующие на маятник Максвелла

Ускорение поступательного движения центра тяжести диска определяется вторым законом Ньютона: , или в скалярной форме, спроектировав на направление ускорения:

. (1.1)

Динамика вращения диска относительно оси О описывается вторым законом Ньютона для вращательного движения:

, (1.2)

где – момент силы тяжести;– момент силы натяжения;I – момент инерции маятника;  – его угловое ускорение.

Момент силы тяжести относительно оси вращения равен нулю: M_mg = 0, а момент M силы натяжения нити T равен произведению силы на плечо:

. (1.3)

Для равнопеременного движения из состояния покоя путь h, пройденный маятником при спуске за время t, определяется формулой

,

откуда его ускорение

. (1.4)

Угловое ускорение связано с линейным соотношением

. (1.5)

С учетом (1.1) и (1.5) равенство (1.3) запишется в виде

. (1.6)

Подставляя в последнее равенство выражение (1.4), получим:

, (1.7)

откуда выразим искомый момент инерции I:

или , (1.8)

где m – масса маятника; D – диаметр оси; t – время движения маятника с высоты h; g – ускорение свободного падения.

Измерив время падения маятника t с известной высоты h, зная массу и диаметр оси, можно на основе законов движения экспериментально определить момент инерции системы – I_эксп.

В данной лабораторной установке маятник Максвелла снабжен сменными дополнительными кольцами, позволяющими изменять его массу и момент инерции. Очевидно, что масса маятника

m = m₀ + m₁ + m₂,

где m₀ – масса оси; m₁ – масса диска; m₂ – масса сменного кольца.

Момент инерции маятника:

I = I₀ + I₁ + I₂, (1.9)

где I₀ – момент инерции оси; I₁ – момент инерции диска; I₂ – момент инерции кольца.

Значение момента инерции маятника может быть рассчитано и по его геометрическим размерам, так как момент инерции определяется распределением массы тела относительно оси вращения. Известно, что для тела цилиндрической формы момент инерции относительно его центра тяжести

,

где R – радиус.

Для кольца момент инерции определяется его массой, внешним R₁ и внутренним R₂ радиусами:

.

Следовательно, момент инерции оси маятника

,

момент инерции диска

,

момент инерции кольца

.

Суммируя эти величины согласно выражению (1.9), рассчитаем теоретическое значение момента инерции маятника I_теор.