5ДУ
.doc
4.Пример решения варианта типового расчета
Задача 26.
Найти общий интеграл дифференциального
уравнения
.
Данное уравнение является уравнением с разделяющимися переменными
Тогда
,
.
Заметим, что
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
После вычисления
интегралов имеем:
.
Ответ:
.
Задача 27. .Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Данное уравнение
является однородным. Будем искать
неизвестную функцию
в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в
исходное уравнение, получаем:
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем правую и левую части
+
.
(В нашем случае
произвольную постоянную удобнее
обозначит не С, а
,
где
.
Вычисляя интегралы в правой и левой
частях уравнения, получаем
.
Потенцируя, имеем
.
Избавляясь от знака модуля, получаем
.
Поскольку
,
то полученное соотношение может быть
представлено в виде
.
Данное выражение преобразуем к виду
Заметим, что в
уравнении
,
выражение
при
.
Следовательно, функция
является решением дифференциального
уравнения для неизвестной функции
,
а значит, функция
является решением исходного
дифференциального уравнения.
Решение
содержится
в решении
,
если положить С=0.
Ответ:
,
где С – произвольная постоянная.
Задача 28. Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию y(0)=1.
Вначале найдем
общее решение этого уравнения. Будем
искать
в виде
.
Тогда
=
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
+
;
.
Выберем функцию
из условия
.
Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися
переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
.
Найдем функцию
:
;
;
;
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Произвольную
постоянную С определим из условия
:
.
Ответ:
.
Задача 29..Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее начальному условию
y(0)=2.
Данное уравнение
является уравнением Бернулли. Будем
искать
в виде
.
Тогда, подставляя
и
в
исходное уравнение, получим
:.
Функцию
определяем из условия:
;
;
;
;
.
Определим
:
;
;
+С;
;
.
Следовательно,
общее решение имеет вид
.
Из условия
определяем произвольную постоянную С:
;
С=0.
Ответ:
.
Задача 30..Найти
общее решение дифференциального
уравнения
.
Это уравнение явно
не содержит y
. Обозначим
.
Тогда:
.
Подставляя в исходное уравнение, получаем
.
Уравнение для
определения функции
линейным дифференциальным уравнением
первого порядка. Будем искать
в виде
.
Тогда
=
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
+
;
.
Выберем функцию
из условия
.
Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися
переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
.
Найдем функцию
:
;
;
;
.
Тогда для функции
имеем выражение
.
Так как
,
то
=
.,
где
- произвольные постоянные.
Задача 31. Найти решение дифференциального уравнения
,
удовлетворяющее
начальным условиям y(0)=
,
.
Так как исходное
уравнение явно не содержит независимую
переменную
,
будем искать
в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем
.
Полученное для
уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными. Найдем его
решение:
,
,
,
.
Определим произвольную постоянную С.
Так как при
имеем
,
а
,
то
при
.
Тогда
,
С=
.
Следовательно,
или
. Знак плюс при извлечении корня выбран
потому, что
- положительное число. Неизвестную
функцию
определяем из уравнения
.
Найдем его решение:
,
,
,
.
Так как
,
то
,
.
Следовательно,
,
.
Ответ:
.
Задача 32.
Найти решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Найдем решение
однородного уравнения. Составляем
характеристическое уравнение:
.
Найдем его корни:
.
Однородное
уравнение имеет два линейно независимых
решения
и
.
Частное решение
ищем в виде
,
где функции
и
удовлетворяют системе уравнений:
.
Решая систему,
получаем:
,
.
Находим
и
:
,
.
Для вычисления первого интеграла сделаем
замену переменной
.
Тогда
,
.
Подставляя в выражение для интеграла,
получаем
При вычислении второго интеграла сделаем аналогичную замену переменных.
.
Тогда
Общее решение
однородного уравнения равно:
.
Общее
решение исходного уравнения запишется
в виде:
Из условия
получаем
.
Найдем производную
общего решения:
+
Из условия
получаем:
.
Для определения
и
имеем систему уравнений
Решая эту систему, получаем
,
.
+
+
=
+
=
.
Ответ:
.
Задача 33.
Найти общее решение дифференциального
уравнения
.
Вначале найдем
общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Составляем характеристическое уравнение
.
Найдем его корни:
;
;
.
Общее решение
однородного уравнения запишется в виде:
.
Исходное уравнение
имеет правую часть первого типа:
,
,
.
Число
не встречается среди корней
характеристического уравнения, значит
кратность s=0.
Будем искать
в виде
=
,
где
- многочлен второй степени. Тогда
=
.
Коэффициенты А , В и С определим из
условия, чтобы частное решение
удовлетворяло исходному уравнению.
Найдем
:
;
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем:
Приводим подобные в левой части уравнения:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях, получаем:
Следовательно
А=1, В=0, С=3. Тогда частное решение запишется
в виде
=
.
Следовательно, общее решение исходного уравнения равно:
+
.
Ответ:
+
.
Задача 34.
Найти решение дифференциального
уравнения
,
удовлетворяющее начальным условиям
.
Вначале найдем
общее решение соответствующего
однородного уравнения. Составляем
характеристическое уравнение:
.
Найдем его корни:
;
;
.
Общее решение
однородного уравнения запишется в виде:
.
Найдем частное
решение. Правую часть представим как
сумму двух функций
и
,
где
=
,
.
Рассмотрим уравнение
.
Функция
=
соответствует правой части первого
типа:
,
,
n=1.
Число =1
не встречается среди корней
характеристического уравнения, значит
кратность s=0.
Будем искать
в виде
=
,
где
- многочлен первой степени. Тогда
=
.
Коэффициенты А и В определим из условия,
чтобы частное решение удовлетворяло
исходному уравнению. Найдем
:
;
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем:
=
Сокращаем правую
и левую части на
и
приводим подобные в левой части:
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в правой и левой частях, получаем:
.
Следовательно А=1, В=0. Тогда частное
решение запишется в виде
=
.
Рассмотрим уравнение
.
Функция
=
соответствует правой части первого
типа:
,
,
n=0.
Число =2
один раз встречается среди корней
характеристического уравнения, значит
кратность s=1.
Будем искать
в виде
=
,
где
- многочлен первой степени. Тогда
=
.
Коэффициенты А и В определим из условия,
чтобы частное решение удовлетворяло
исходному уравнению. Найдем
:
;
.
Подставляя
в исходное уравнение, получаем:
Сокращаем правую
и левую части на
и
приводим подобные в левой части:
.
Следовательно
А=1. Тогда частное решение запишется в
виде
=
.