3ДУ
.doc
2. Уравнения высших порядков
Далее перейдем к уравнениям более высокого порядка.
Дифференциальным уравнением порядка , разрешенным относительно старшей производной, называется дифференциальное уравнение вида
.
Частным решением дифференциального уравнения называется любая функция , при подстановке которой в дифференциальное уравнение, оно превращается в тождество.
Задачей Коши для дифференциального уравнения порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего условиям
, , ,…, при .
Доказано, что при определенных условиях задача Коши имеет решение и при том единственное.
Общим решением дифференциального уравнения называется совокупность функций , где - произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:
1. При любом наборе произвольных постоянных функция является частным решением дифференциального уравнения;
2. Для любых начальных условий задачи Коши , , ,…, при существует такой набор значений произвольных постоянных , что выполнены условия , ,…….,
5.Уравнения, допускающие понижение порядка.
Пусть дано уравнение порядка n вида
,
то есть в данное уравнение явно не входят неизвестная функция и производные этой функции до порядка k-1 включительно. Введем новую неизвестную функцию . Производные функции выразятся через производные функции следующим образом: ,…, . Подставляя в исходное уравнение, получаем . Полученное уравнение для функции является уравнением более низкого порядка. Если функция определена, то функция определяется интегрированием соотношения =.
Задача 14. При x>0 найти общее решение дифференциального уравнения
.
Это уравнение явно не содержит y и . Обозначим . Тогда: , . Подставляя в исходное уравнение, получаем
.
Уравнение для определения функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: ; ; ; ; ; ; .
Так как , то =. Тогда .
Обозначим .
Ответ: , где - произвольные постоянные.
Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Данное уравнение не содержит явно неизвестную функцию . Введем новую неизвестную функцию . Тогда и уравнение преобразуется к виду
.
Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем:
; .
Выберем функцию из условия . Уравнение для функции является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , ; ; ; , .
Найдем функцию :
; ; .
Тогда
=.
Определим .
=
==
.
Так как является так же произвольной постоянной, то окончательный ответ может быть записан в виде
.
Ответ: .
Второй тип уравнений, допускающих понижение порядка, - это уравнения, которые явно не содержат независимую переменную . (Мы будем рассматривать только уравнения второго порядка, однако предложенный метод применим и для уравнений более высокого порядка.) Пусть дано уравнение вида
.
Будем искать производную как функцию в виде , где - неизвестная функция. Тогда
===.
Подставляя и в исходное уравнение, получаем
.
Полученное уравнение является уравнением первого порядка для функции . Если нам удастся найти функцию , то для определении имеем уравнение , которое является уравнением с разделяющимися пере6менными.
Замечание. При изложенном методе могут быть потерянны решения , то есть . Поэтому такие решения рекомендуется выписывать отдельно.
Задача 16. Найти решение задачи Коши:
, , .
Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем
. Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , , , . Определим произвольную постоянную С. Так как при имеем , а , то при . Тогда 32=32+С, С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выбран потому, что - положительное число. Неизвестную функцию определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , , . Так как , то , . Следовательно, .
Ответ: .
Задача 17. Найти решение задачи Коши:
, , .
Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем
.
Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение:
, , , . Определим произвольную постоянную С. Так как при имеем , а , то при . Тогда =+С, С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выберем потому, что - положительное число. Неизвестную функцию определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , , . Так как , то , . Следовательно, .
Ответ: .
Задача 18. Решить задачу Коши
, , .
Будем искать в виде . Тогда . Подставляя и в исходное уравнение, получаем
.
Полученное для уравнение является уравнением с разделяющимися переменными. Найдем его решение: , , , , . Определим произвольную постоянную С. Так как при имеем , а , то при . Тогда , С=0. Следовательно, или . Знак плюс при извлечении корня выберем плюс потому, что - положительное число. Тогда . Неизвестную функцию определяем из уравнения . Найдем его решение: , , , . Так как , то , .
Следовательно, .
Ответ: .