2ДУ
.doc
1.Дифференциальные уравнения первого порядка
Прежде чем перейти к решению конкретных типов задач, напомним некоторые общие положения, касающиеся дифференциальных уравнений первого порядка.
Дифференциальным уравнением первого порядка, разрешенным относительно производной, называется соотношение вида
.
Частным решением
дифференциального уравнения называется
любая функция
,
при подстановке которой в дифференциальное
уравнение, оно превращается в тождество.
Задачей Коши для дифференциального уравнения первого порядка называется задача отыскания решения дифференциального уравнения
,
удовлетворяющего
условиям,
при
.
Доказано, что если
в некоторой области функция
непрерывна вместе со своей частной
производной
,
то в этой области задача Коши имеет
решение и при том единственное.
Общим решением
дифференциального уравнения первого
порядка в некоторой области называется
совокупность функций
(С – произвольная постоянная),
удовлетворяющая двум условиям:
1.При любом значении
произвольной постоянной С функция
является частным решением дифференциального
уравнения;
2. Для любых начальных
условий задачи Коши
при
найдется такое значение произвольной
постоянной
такое что
.
Если общее решение
неявно определятся соотношением вида
,
то такое соотношение называется общим
интегралом дифференциального уравнения
первого порядка.
Теперь перейдем к конкретным типам дифференциальных уравнений первого порядка
1.Уравнения с разделяющимися переменными.
Определение. Уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение, которое может быть записано в виде:
.
Можно предложить следующую схему решения этого уравнения. Разделяем переменные, то есть уравнение переписываем в виде:
.
Интегрируя левую и правую части этого уравнения, получаем:
,
где С – произвольная постоянная.
Полученное соотношение является общим интегралом исходного дифференциального уравнения.
Замечание. Если
функция
равна нулю в точках
,
то функции
,
,….,
являются решениями исходного уравнения.
При изложенном методе такие решения
могут быть потеряны, поэтому их
рекомендуется выписать отдельно.
Задача
1. Найти
общий интеграл дифференциального
уравнения. (Ответ представить в виде
(x,y)=C).
.
Для того, что бы
убедиться, что данное уравнение
действительно является уравнением с
разделяющимися переменными, выразим
.
Имеем
Тогда
,
.
Заметим, что
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
Приведем схему
вычисления интеграла:
=
.
После вычисления
интегралов имеем:
.
Ответ:
.
Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
.
Уравнение запишем в виде
.
Тогда
,
.
Заметим, что
при
.
Следовательно, функция
является решением данного дифференциального
уравнения.
В случае
разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
Приведем схему вычисления интеграла
После вычисления
интегралов имеем:
.
Потенцируя данное
выражение, получаем
.
Отметим, что решение
содержится в полученном выражении
общего решения при С=0.
Ответ:
.
Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Тогда
,
.
Заметим, что
.
Разделяем переменные:
.
Интегрируя правую и левую части, получаем
.
После вычисления
интегралов имеем:
.
Ответ:
.
Задача 4. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Поясним, что такая
запись подразумевает под
дифференциал независимой переменной,
под
- дифференциал неизвестной функции
(
=
).
Перенесем
выражения, содержащие
в левую часть уравнения, выражения,
содержащие -
в правую часть. После некоторых простых
преобразований, получаем
.
Разделяем переменные
.
Интегрируя правую
и левую части, получаем 
.
Приведем схему вычисления интеграла
.
После вычисления интегралов имеем
.
Потенцируя
полученное выражение, имеем
.
Ответ:
.
2. Однородные уравнения.
Определение. Однородным уравнением называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде:
.
Можно предложить
следующий метод его решения. Неизвестную
функцию
будем искать в виде
,
где
- неизвестная функция. Тогда
.
Подставляя
и
в
исходное уравнение, получаем:
.
Данное уравнение представим в виде
.
Полученное
уравнение является уравнением с
разделяющимися переменными для функции
.
Метод его решения рассмотрен ранее.
Задача 5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Данное уравнение
является однородным. Будем искать
неизвестную функцию
в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в
исходное уравнение, получаем:
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
.
Разделяем переменные
.
Интегрируем правую и левую части
+
.
(В нашем случае
произвольную постоянную удобнее
обозначит не С, а
,
где
.
Вычисляя интегралы в правой и левой
частях уравнения, получаем
.
Потенцируя, имеем
.
Избавляясь от знака модуля, получаем
.
Поскольку
,
то полученное соотношение может быть
представлено в виде
.
Заметим, что в
уравнении
,
выражение
при
,
.
Следовательно, функции
и
являются решениями дифференциального
уравнения для неизвестной функции
,
а значит, функции
и
являются решениями исходного
дифференциального уравнения.
Решение
содержится
в решении
,
если положить С=0.
Ответ:
,
,
где С – произвольная постоянная.
Задача 6. Найти общий интеграл дифференциального уравнения.
.
Поскольку данное
уравнение является однородным, то
неизвестную функцию
будем искать в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в
исходное уравнение, получаем:
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
Разделяем переменные
Интегрируем правую и левую части
.
Вычисляя интегралы в правой и левой частях уравнения, получаем
.
Поскольку
,
то полученное соотношение может быть
представлено в виде
.
Ответ:
,
где С – произвольная постоянная.
Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения
.
Данное уравнение
является однородным. Будем искать
неизвестную функцию
в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
.
Данное уравнение преобразуем к виду
.
Поскольку правая
часть не равна нулю ни при каких значениях
,
то, разделяя переменные, получаем
.
Интегрируя, имеем
+С.
Приведем схему вычисления интеграла
.
После вычисления интегралов получаем
.
Поскольку
,
то выражение записываем в виде
.
Ответ:
.
3. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, которое может быть записано в виде
,
где Р(х) и Q(х) – известные функции.
Можно предложить
следующий метод решения этого уравнения.
Неизвестную функцию y(x)
будем искать в виде
,
где
неизвестная
функция, а
- некоторая функция, выбранная специальным
образом. (Способ выбора
будет описан позже). Производная
равна:
=
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем
+
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
.
Подберем функцию
так, чтобы было выполнено:
.
(Это уравнение для
определения функции
является уравнением с разделяющимися
переменными и нас интересует не его
общее решение, а какое либо частное
решение не тождественно равное нулю).
Тогда для определения
имеем уравнение
.
Из этого уравнения при известной функции
находим
:
=
,
где С – произвольная постоянная.
Тогда общее решение
имеет вид:
Задача 8. Найти решение задачи Коши:
,
.
Вначале найдем
общее решение этого уравнения. Будем
искать
в виде
.
Тогда
=
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
+
;
.
Выберем функцию
из условия
.
Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися
переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
.
Найдем функцию
:
;
;
;
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Произвольную
постоянную С определим из условия
:
;
.
Ответ:
.
Задача 9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.
Данное дифференциальное
уравнение является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка. Будем искать
в виде
.
Тогда
=
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
;
.
Выберем функцию
из условия
.
Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися
переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
.
Найдем функцию
:
;
;
;
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Ответ:
Задача 10. Найти решение задачи Коши
,
.
Данное дифференциальное
уравнение является линейным дифференциальным
уравнением первого порядка. Будем искать
в виде
.
Тогда
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем:
;
.
Выберем функцию
из условия
.
Уравнение для функции
является уравнением с разделяющимися
переменными. Найдем его решение:
,
;
;
;
,
.
Найдем функцию
:
;
;
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид
.
Определим произвольную постоянную С.
Так как
,
то имеем
,
Ответ:
4. Уравнение Бернулли.
Определение. Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка, которое может быть записано в виде
.
Можно предложить
следующий метод решения этого уравнения.
Неизвестную функцию y(x)
будем искать в виде
,
где
-
неизвестная функция, а
- некоторая функция, выбранная специальным
образом. (Способ выбора
будет описан позже). Производная
равна:
=
.
Подставляя
и
в исходное уравнение, получаем
+
.
Полученное уравнение преобразуем к виду
.