- •1.Числовой ряд, его сходимость.
- •3.Остаток ряда.
- •5.Теорема (необходимые признаки сход-ти).
- •6. Линейные операции с рядами.
- •7.Признак сравнения в форме нер-ва.
- •13.Теорема об абсолютной сходимости.
- •16.Теорема Дирихле о перестановочности абсолютно сх-ся ряда.
- •17. Функциональные ряды. Равномерная сходимость.
- •Определение Множество всех х при которых функциональный ряд (1) сх-ся (т.Е. Получаются сх-ся числовые ряды) - область сходимости функционального ряда.
- •19. Признак Вейерштрасса о равномерной сх-ти.
- •20. Свойства равномерно сходящихся рядов.
- •21. Теорема об интегрировании ряда.
- •22. Теорема о дифференцируемости ряда.
- •23. Радиус сход-ти, интервал сход-ти, область сход-ти.
- •24. Свойства степенных рядов. Теорема о равномерной сход степенного ряда.
- •25. Теорема Абеля
- •26. Формула Тейлора.
- •32. Ряд Фурье для тригонометрических функций.
- •33. Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
- •34. Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
- •35. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
- •36. Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, l).
33. Разложение функций в тригонометрические ряды на произвольном промежутке.
Часто возникает задача разложения функций в тригонометрический ряд на произвольном промежутке
y[a,b] (a,b < ,a < b)
x=y+; [-,] переходит в [a,b].
,m, f(y+)=f*(y); dx=dy, an=f*(y)cosn(y+)dy
bn=f*(y)sin n(y+)dy, f*(y)=+(ancos n(y+)+bnsin n(y+))
Разложив cos и sin по формулам:
f*(y)=+(a*ncos ny+b*nsin ny), где нужно вычислить a*n , b*n и a*0 .
34. Разложение четных функций в тригонометрический ряд.
f(x)=f(-x) , xR1
an=f(x)cos nxdx=f(x)cos nxdx
bn=0
f(x)= +ancos nx - разложение по косинусам.
35. Разложение нечетных функций в тригонометрический ряд.
f(x)= - f(-x); a0=0, an=0
f(x)= bnsin nx
bn=f(x)sin nxdx- разложение по синусам.
Примеры: 1) f(x)=x
a0=1dx=2; an=1cos nxdx=0
f(x)= =1
2) Функция:
bn=1sin nxdx
36. Разложение функций в ряд по синусам в несимметричном промежутке (0, l).
f(x) , x[0, L]. Доопределим функцию на промежутке [-L,0] (нечетным образом)
В ряд по синусам.
f(x)= bnsin, где
bn=f(x)sindx
В ряд по косинусам (четным образом).
f(x)= +ancos, где
an=f(x)cosdx